Chuyên đề chỉnh hợp, tổ hợp - Ôn thi THPTQG môn Toán

 CHUYấN ĐỀ CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
 1. Bài toỏn lập số
Cõu 1. Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú tỏm chữ số trong đú cú ba chữ số 0, khụng cú hai 
chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và cỏc chữ số khỏc chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
 A. 151200 B. 846000C. 786240D. 907200
Cõu 2. Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 8 cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn lẻ cú bốn 
chữ số đụi một khỏc nhau và phải cú mặt chữ số 3?
 A. 36 sốB. 108số C. 228 sốD. 144số
Cõu 3. Cú bao nhiờu số cú 10 chữ số được tạo thành từ cỏc chữ số 1, 2, 3 sao cho bất 
kỡ 2 chữ số nào đứng cạnh nhau cũng hơn kộm nhau 1 đơn vị?
 A. 32B. 16C. 80D. 64
Cõu 4. Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 6 số sao cho trong mỗi số tự nhiờn đú chữ số đứng 
sau lớn hơn chữ số đứng trước nú. 
 A. 60480B. 84C. 151200D. 210
Cõu 5. Từ cỏc chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn chẵn cú sỏu 
chữ số và tho món điều kiện: sỏu chữ số của mỗi số là khỏc nhau và chữ số hàng nghỡn 
lớn hơn 2?
 A. 720 số B. 360 số C. 288 số D. 240 số
Cõu 6. Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 10 chữ số đụi một khỏc nhau, trong đú cỏc chữ số 
1, 2, 3, 4, 5 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trỏi qua phải và chữ số 6 luụn đứng trước 
chữ số 5
 A. 544320.B. 3888.C. 22680.D. 630.
Cõu 7. Gọi S là tập hợp tất cả cỏc số tự nhiờn gồm 5 chữ số đụi một khỏc nhau được lập 
từ cỏc chữ số 5, 6, 7, 8, 9. Tớnh tổng tất cỏc số thuộc tập S.
 A. 9333420 B. 46666200 C. 9333240 D. 46666240 
2. Bài toỏn tổ hợp Cõu 14. Xột bảng ụ vuụng gồm 4 4 ụ vuụng. Người ta điền vào mỗi ụ vuụng đú một 
trong hai số 1 hoặc 1 sao cho tổng cỏc số trong mỗi hang và tổng cỏc số trong mỗi 
cột đều bằng 0 . Hỏi cú bao nhiờu cỏch?
 A. 72 B. 90 C. 80 D. 144
3. Đẳng thức tổ hợp
 1009 1010 1011 2018
Cõu 15. Tớnh tổng S=C2018 C2018 C2018 ... C2018 (trong tổng đú, cỏc số hạng cú dạng 
 k
 C2018 với k nguyờn dương nhận giỏ trị lien tục từ 1009 đến 2018)
 1
 A. S=22018 C1009 B. S= 22017 C1009
 2018 2 2018
 1
 C. S 22017 C1009 D. S 22017 C1009
 2 2018 2018
 1 1 2 2 2 2 2017 2017 2 2018 2018 2
Cõu 16. Tớnh tổng S C2018 C2018 ... C2018 C2018 
 2018 2017 2 1
 1 1 2018 2018
 A. S C 2018 B. S C 2018 C. S C1009 D. S C 2018
 2018 4036 2018 4036 2019 2018 2019 4036
 2 5 8 2018
Cõu 17. Rỳt gọn tổng sau S C2018 C2018 C2018 ... C2018 
 22018 1 22019 1 22019 1 22018 1
 A. S B. S C. S D. S 
 3 3 3 3
 n
 C1 2C2 3C3 1 nCn
Cõu 18. Cho số nguyờn dương n, tớnh tổng S n n n ... n 
 2.3 3.4 4.5 n 1 n 2 
 n 2n n 2n
 A. B. C. D. 
 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 
 1 2 2017
Cõu 19. Cho tổng S C2017 C2017 ... C2017 . Giỏ trị tổng S bằng:
 A. 22018 B. 22017 C. 22017 1 D. 22016
Cõu 20. Tỡm tất cả số tự nhiờn n thỏa món 
 C0 C1 C2 Cn 2100 n 3
 n n n ... n 
 1.2 2.3 3.4 n 1 n 2 n 1 n 2 4. Nhị thức Niu tơn
Cõu 27. Hệ số của x3y3 trong khai triển 1 x 6 1 y 6 là
 A. 20B. 800C. 36D. 400
 10
Cõu 28. Tỡm hệ số của x5 trong khai triển 1 x x2 x3 
 A. 252B. 582C. 1902D. 7752
 2 m n 2 3 2m n
Cõu 29. Khi triển A 1 x 1 2x a0 a1x a 2x a3x ... a 2m n x . Biết 
rằng 
 a0 a1 a 2 ... a 2m n 512, a10 30150 . Hỏi a19 bằng:
 A. – 33265 B. – 34526 C. – 6464D. – 8364 
 n
 26 1 7 
Cõu 30.Tỡm hệ số của x trong khai triển 4 x biết n thỏa món biểu thức sau 
 x 
 1 2 n 20
 C2n 1 C2n 1 ... C2n 1 2 1. 
 A. 210 B. 126 C. 462 D. 924
 m
 2x 16 32 
Cõu 31. Trong khai triển nhị thức , cho số hạng thứ tư trừ số hạng thứ 
 16 x 
 8 2 
sỏu bằng 56, hệ số của số hạng thứ ba trừ hệ số của số hạng thứ 2 bằng 20. Giỏ trị của 
x là
 A. 1 B. 2C. 1D. 2 
 n
Cõu 32. Trong khai triển 2x 2 2x , tổng hệ số của số hạng thứ hai và số hạng thứ ba 
là 36, số hạng thứ 3 lớn gấp 7 lần số hạng thứ hai. Tỡm x?
 1 1 1 1
 A. x B. x C. x D. x 
 3 2 2 3 1000
 C. a1000 a999 ... a1 1 D. a1000 a999 ... a1 2
Cõu 39. Tỡm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức Niu Tơn 2 x n , biết rằng 
 0 n 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n
 Cn .3 Cn .3 Cn .3 Cn .3 ... 1 Cn 2048
 A. 12B. 21C. 22D. 23
 2 14 15 2 210
Cõu 40. Cho khai triển 1 x x ... x a0 a1x a2 x ... a210 x . Chứng minh 
rằng: 
 0 1 2 15
 C15a15 C15a14 C15a13 ... C15 a0 15.
 n n
Cõu 41. Cho n Ơ * và 1 x a0 a1x ... an x . Biết rằng tồn tại số nguyờn 
 a a a
 k 1 k n 1 sao cho k 1 k k 1 . Tớnh n ?
 2 9 24
 A. 10B. 11C. 20D. 22
 n
 x x2 a a x a x2 a x2n n 
Cõu 42. Cho khai triển 1 0 1 2 ... 2n với v 2 và 
 a a
 a ,a ,a ,...,a là cỏc hệ số. Tớnh tổng S a a a ... a biết 3 4 
 0 1 2 2n 0 1 2 2n 14 41
 A. S 310 B. S 312 C. S 210 D. S 212 
Cõu 43. Hệ số của x9 sau khi khai triển và rỳt gọn đa thức 
 f x 1 x 9 1 x 10 ... 1 x 14 là:
 A. 2901B. 3001C. 3010D. 3003 Mỗi bộ gồm 6 chữ số khỏc nhau lấy trong tập 1;2;3;...;9 chỉ cho ta một số thỏa món 
 6
điều kiện trờn. Do đú số cỏc số tỡm được là C9 84 
Cõu 5. Đỏp ỏn D
Gọi abcdef là số cần lập. Suy ra f 2;4;6,c 3;4;5;6 . Ta cú
TH1: f 2 cú 1.4.4.3.2.1 96 cỏch chọn
TH2: f 6 cú 1.3.4.3.2.1 72 cỏch chọn
TH3: f 6 cú 1.3.4.3.2.1 72 cỏch chọn.
Suy ra 96 72 72 240 số thỏa món đề bài
Cõu 6. Đỏp ỏn C
Gỉa sử số cần tỡm cú 10 chữ số khỏc nhau tương ứng với 10 vị trớ. 
Vỡ chữ ố 0 khụng đứng vị trới đầu tiờn nờn cú 9 cỏch xếp vị trớ cho chữ số 0 . 
 3
Cú A9 cỏch xếp cỏc chữ số 7; 8 ;9 vào 9 vị trớ cũn lại . 
Vỡ chữ số 6 đứng trước chữ số 5 nờn cú 5 cỏch xếp vị trớ cho chữ số 6 và 1 cỏch xếp 
 3
cho cỏc chữ số 1;2;3;4;5 theo thứ tự tăng dần. Theo quy tắc nhõn 9.5.A9 22680 số 
thoảmón. 
Cõu 7. Đỏp ỏn C
Số phần tử của tập S là 5! 120 số.
Mỗi số 5,6,7,8,9 cú vai trũ như nhau và xuất hiện ở hàng đơn vị 4! 24 lần
Tổng cỏc chữ số xuất hiện ở hàng đơn vị là 4!. 5 6 7 8 9 840
Tương tự với cỏc chữ số hàng chục, hàng tram, hàng nghỡn và hàng chục nghỡn.
Vậy tổng tất cả cỏc số thuộc tập S là 840. 104 103 102 10 1 9333240. 
2. Bài toỏn tổ hợp 4 3 2
Tổng cộng: 24.C6 4.3C6 2.C6 630 cỏch
Cõu 12. Đỏp ỏn C
Để tạo một biển số xe ta thực hiện cỏc bước sau:
+ Chọn hai chữ cỏi cho phần đầu cú 262 (mỗi chữ cú 26 cỏch chọn)
+ Chọn 5 chữ số cho phần đuụi cú 105 (mỗi chữ số cú 10 cỏch chọn)
Vậy cú thể tạo ra được 262.105 biển số xe
Cõu 13. Đỏp ỏn D
Ta cú: 
 n! n!
 C8 26C4 26 n 7 n 6 n 5 n 4 13.14.15.16
 n n 8! n 8 ! 4! n 4 
 n 7 13 n 20
 k k
Số tập con gồm k phần tử của A là: C20 k 10 thỡ C20 nhỏ nhất.
Cõu 14. Đỏp ỏn A
Xột 1 hàng (hay 1 cột bất kỡ). Giả sử trờn hàng đú cú x số 1 và y số -1. Ta cú tổng 
cỏc chữ số trờn hàng đú là x y . Theo đề bài cú x y 0 x y . 
Lần lượt xếp cỏc số vào cỏc hàng ta cú số cỏch sắp xếp là 3!.3!.2.1 =72 (Cỏch)
3. Đẳng thức tổ hợp
Cõu 15. Đỏp ỏn B
 k n k 0 1 2 n
Áp dụng cụng thức: Cn Cn , Cn Cn Cn ... Cn 2n 
 1009 1010 1011 2018
Ta cú: S C2018 C2018 C2018 ... C2018 
 0 1 2 1009
Xột S' C2018 C2018 C2018 ... C2018 
 2009 0 1 2009 2010 2018 2018 2009
Lấy S S' C2018 C2018 C2018 ... C2019 C2018 ... C2018 2 C2019 1 
 2009 0 1 2009 2009 2010 2018
Lấy S S' C2018 C2018 C2018 ... C2019 C2018 C2018 ... C2018 0 2 Cõu 18. Đỏp ỏn A
 1
Giải trắc nghiệm: n 2 S nờn đỏp ỏn B và Csai.
 6
 1 1
Với n 2 thay vào A được thay vào D được .
 6 3
Cõu 19. Đỏp ỏn C
 n 0 1 2 2 n n
Xột khai triển 1 x Cn x.Cn x .Cn ... x .Cn * 
 x 1 2017 0 1 2 2017 2017
Thay vào (*), ta được 2 C2017 C2017 C2017 ... C2017 S 2 1. 
 n 2017
Cõu 20. Đỏp ỏn B
 0 1 n 0 1 n 0 1 n 
 Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn
Ta cú ... ... ... 
 1.2 2.3 n 1 n 2 1 2 n 1 2 3 n 2 
 1 1 n n n n 1
 n C C C 2 1
Ta cú 1 x dx C n C n x ...C n xn dx 0 1 ... n 
 0 1 n 
 0 0 1 2 n 1 n 1
 1 1
 x 1 x n dx x C n C n x ...C n xn dx
 0 1 n 
 0 0
 1 1 1
 1 x n 1 dx 1 x n 1 dx C n x C n x2 ...C n xn 1 dx
 0 1 n 
 0 0 0
 n 2 n 1 
 1 x 1 x 0 C n x2 C n x3 C n xn 2 1
 0 1 ... n 
 1 0
 n 2 n 1 2 3 n 2 
 C n C n C n n2n 1 1
 0 1 ... n 
 2 3 n 2 n 1 n 2 
Như vậy 
 0 1 n 0 1 n 0 1 n 
 Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn
 ... ... ... 
 1.2 2.3 n 1 n 2 1 2 n 1 2 3 n 2 
 2n 1 1 n2n 1 1 2n 2 n 3 2100 n 3
= n 98
 n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2