Chuyên đề Chia đa thức một biến đã sắp xếp Toán 8

 CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP 
A.BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN 
I. Lý thuyết: 
 Hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến B 0 , tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao 
cho A BQ. R , trong đó: 
 R được gọi là dư trong phép chia A cho B 
 R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B . 
 Khi R 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. 
II. Các dạng bài tập: 
Dạng 1: Chia đa thức một biến đã sắp xếp (Phép chia hết) 
Phương pháp: 
Bước 1: Nhân số chia với một biểu thức sao cho giá trị khi nhân bằng giá trị mũ cao nhất của số bị chia. 
Bước 2: Lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa nhân được. 
Bước 3: Quay về bước 1 đến khi dư cuối cùng bằng 0 
Bài 1: Thực hiện phép tính 
 a) 6xx2 17 12 : 2 x 3 
 b) 2xxx3 3 2 3 2 : 2 x 1 
 c) xxx3 4 2 4 : x 2 1 
 d) 3xxxx4 2 3 11 2 4 10 : x 2 2 
 Giải 
 a) Thực hiện phép chia ta được: 
 6x2 17 x 12 
 - 2x 3 
 6x2 9 x 
 3x 4 
 8x 12 
 - 
 8x 12 
 0 
 Vậy: 6xx2 17 12 : 2 x 3 3 x 4 
 Trang 1 
 d) x4 3 xxy 2 2 2 2 y 2 2 : xy 2 2 1 
 Giải 
a) Thực hiện phép chia ta được: 
 3a3 2 a 2 3 a 2 
 - a2 1 
 3a3 3 a 
 3a 2 
 2a2 2 
 - 
 2a2 2 
 0 
 Vậy 3a3 2 a 2 3 a 2 : a 2 1 3 a 2 
b) Thực hiện phép chia ta được: 
 x5 2 xx 4 3 4 x 2 2 x 
 - x2 2 x 1 
 x5 2 x 4 x 3 
 x3 2 x 
 2x3 4 x 2 2 x 
 - 
 2x3 4 x 2 2 x 
 0 
 Vậy xxxxxxx5 2 4 3 4 2 2 : 2 2 1 xx 3 2 
c) Thực hiện phép chia ta được: 
 x3 2 x 2 xy 2 3 xy 3 x 
 2
 - x 3 x 
 x2 3 x 
 x 1 y 
 x2 1 y 3 xy 3 x 
 - 
 x2 1 yx 3 1 y 
 0 
 Vậy x3 2 xxyxyxx 2 2 3 3 : 2 3 xx 1 y 
 Trang 3 
b) Thực hiện phép chia ta được: 
 5x3 3 x 2 2 
 - x 3 
 5x3 15 x 2 
 2
 5x 12 x 36 
 12x2 2 
 - 
 12x2 36 x 
 36x 2 
 - 
 36x 108 
 110 
 Vậy 5xx3 3 2 2 : x 3 5 xx 2 12 36 dư -110 
c) Thực hiện phép chia ta được: 
 2x3 4 
 - x2 1 
 2x3 2 x 
 2x 
 2x 4 
 Vậy 2x3 4 : x 2 1 2 x dư 2x 4 
 Trang 5 
a) Thực hiện phép chia ta được: 
 mx2 2 xm 2 
 - x 1 
 mx2 mx 
 mx 2 m 
 2x mx m 2 
 2 mx 2 m 
 - 
 2 mx 2 m 
 0 
 Vậy mx2 2 xm 2 : x 1 mx 2 m 
b) Thực hiện phép chia ta được: 
 x3 3 mx 2 3 m 1 
 - x 1 
 x3 x 2 
 2
 x 3 mxm 1 3 1 
 3mx2 x 2 3 m 1 
 3m 1 x2 3 m 1 
 - 
 3mx 1 2 3 mx 1 
 3m 1 x 3 m 1 
 - 
 3m 1 x 3 m 1 
 0 
 Vậy xmxm3 3 2 3 1 : x 1 x 2 3 mxm 1 3 1 
c) Thực hiện phép chia ta được: 
 mx3 2 x 2 mx 2 
 - x2 1 
 mx3 mx 
 mx 2 
 2x2 2 
 - 
 2x2 2 
 0 
 Vậy mx3 2 xmx 2 2 : x 2 1 mx 2 
 Trang 7 
 Giải 
 Ta có: 
 mx3 x 2 2 m 1 
 - x 2 
 mx3 2 mx 2 
 2
 mx 1 2 mx 2 4 m 
 x2 2 mx 2 2 m 1 
 1 2mx 2 2 m 1 
 - 
 1 2mx 2 2 1 2 mx 
 2 4mx 2 m 1 
 - 
 2 4mx 2 2 4 m 
 3 10m 
 Vậy mxxm3 22 1 : x 2 mx 2 1 2 mx 2 4 m dư 3 10m 
 1
 Để là phép chia hết thì 3 6m 0 m 
 2
Bài 3: Tìm m để đa thức 5m3 2 m 2 3 m 1 chia hết cho đa thức 2m2 1 
 Giải 
 Thực hiện phép chia ta được 
 5m3 2 m 2 3 m 1 
 - 2m2 1 
 5m 
 5m3 
 5m
 2 1 
 2
 5m
 2m2 3 m 1 
 2
 - 
 2m2 1 
 5m m
 3m 
 2 2
 5m m
 Ta có 5mmm3 2 2 3 1 : 2 m 2 1 1 dư 
 2 2
 m
 Để là phép chia hết thì 0m 0 
 2
 Vậy với m 0 thì đa thức 5m3 2 m 2 3 m 1 chia hết cho đa thức 2m2 1 
Phương pháp 2: Hệ số bất định 
 Trang 9 
 A 1 A 1
 BA 1 B 0
 C B2 A 3 C 1 a 2 
 CB 2 1 C 1
 2C a 2 a
 Vậy với a 2 thì đa thức x4 x 3 3 x 2 x a chia hết cho đa thức x2 x 2 
Bài 3: Xác định giá trị a để đa thức ax3 x 2 5 chia hết cho đa thức x2 x 1. 
 Giải 
Giả sử đa thức ax3 x 2 5 chia hết cho x2 x 1, ta được thương là nhị thức bậc nhất có dạng: Bx C . 
Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức ax3 x 2 5 , ta được: 
 Bx C x2 x1 ax 3 x 2 5 
 Bx3 Cx 2 Bx 2 Cx Bx C ax 3 x 2 5 
 Bx3 BCx 2 BCxCax 3 x 2 5 
 B a
 B C 1
 không thỏa mãn 
 B C 0
 C 5
 Vậy không có giá trị nào của a để đa thức ax3 x 2 5 chia hết cho x2 x 1 
Phương pháp 3: Phương pháp trị số riêng 
 Với mọi cặp đa thức A x và B x , luôn tồn tại đa thức Q x và R x sao cho: 
Ax BxQx . Rx , trong đó: 
 +) A x là số bị chia; B x là số chia; Q x là thương và R x là phần dư 
 +) Với bậc của R x bé hơn bậc B x 
 +) Phép chia hết là phép chia R x 0. 
 Bước 1: Đưa phép chia về dạng Ax BxQx . (1) 
 Bước 2: Thay giá trị x để B x 0 vào phương trình (1). 
 Bước 3: Giải ra ta tìm được giá trị cần tìm. 
Bài 1: Xác định giá trị a và b để đa thức x4 ax 3 bx 2 3 chia hết cho đa thức x2 1. 
 Giải 
Cách 1: Giải theo phương pháp 1 
Cách 2: Giải theo phương pháp 2 
Cách 3: Phương pháp trị số riêng 
 Trang 11 
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
Dạng 1: Chia đa thức một biến đã sắp xếp: 
Bài 1: Thực hiện phép chia: 
a) 3 x3 5 x 2 9 x 15 : 3 x 5 
b) 5 x4 9 x 3 2 x 2 4 x 8 : x 1 
c) 5 x3 14 x 2 12 x 8 : x 2 
 4 3 2 
d)  x 2 x 2 x 1 : x 1 
Bài 2: Thực hiện phép chia: 
 3 2 
a) x 2 x 15 x 36 : x 4 
 4 3 2 2 
b) 2 x 2 x 3 x 5 x 20 : x x 4 
 3 2 
c) 2 x 11 x 18 x 3 : 2 x 3 
Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia: 
Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia: 
a) 5 x2 3 x 3 15 9 x : 5 3 x 
b)  4 x2 x 3 20 5 x : x 4 
c)  x2 6 x 3 26 x 21 : 3 2 x 
 4 3 2 2 
d) 2 x 13 x15 5 x 21 x : 4 x x 3 
Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia: 
a) 13 x 41 x2 35 x 3 14 : 5 x 2 
b) 16 x2 22 x 15 6 x 3 x 4 : x 2 2 x 3 
c) 6 x 2 x3 5 11 x 2 : x 2 x 2 1 
Dạng 3: Tìm x, biết: 
 Trang 13