Chuyên đề Cấp số nhân - Đại số Lớp 11

 CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ NHÂN 
 A LÝ THUYẾT. 
1. ĐỊNH NGHĨA.= 
Cấp số nhân là= một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số 
 hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q. 
Số không đổi q= được gọi là công bội của cấp số nhân. 
 I 
Nếu u là một cấp số nhân với công bội q , ta có công thức truy hồi u u., q  n *
 n nn 1 
Đặc biệt: 
Khi q 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). 
Khi q 0 thì cấp số nhân có dạng u1,0,0,0, ,0, 
Khi u1 0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng 0,0,0,0, ,0, 
2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 
Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác 
định bởi công thức : u u. qn 1 với n 2, n N 
 n 1 
3.TÍNH CHẤT 
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là 
tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 
 u2 u .u với k 2, k N 
 k k 11 k 
4 – Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân 
Định lí 3. Cho cấp số nhân un với công bội q. 1 Đặt Snn u12 u ... u . 
 n
 uq1 1 
Khi đó : S , q 1 
 n 1 q
Chú ý: Nếu q 1 thì cấp số nhân là u , u , u , ..., u , ... khi đó S nu .
 1 1 1 1 n 1 
 B CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
I. DẠ=NG 1: NHẬN DẠNG KHAI TRIỂN CẤP SỐ NHÂN 
1. Ch=Iứng minh một dãy un là cấp số nhân. 
+ Chứng minh unn 1 u. q ,  n 1 trong đó q là một số không đổi. 
 un 1
+ Nếu unn 0,  1 thì ta lập tỉ số k . 
 un
 1 
 Ví dụ 3 
 Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? 
 2 n
 a. an n n 1 . b. bn n23 . . 
 c1 2
 21n 
 c. 6 * . d. dn 4 . 
 c ,  n 
 n 1
 cn
 Lời giải 
 2
 Xácan 1địnhnn số h33ạng thứ sáu của* cấp số nhân: 
a. 2 ,n  , không phải là hằng số. Vậy an không phải là cấp số nhân . 
 an n n 1
 n 1
 bn 1 n 3 . 3 3 n 3 *
b. n ,n  , không phải là hằng số. Vậy bn không phải là cấp 
 bn n 2 . 3 n 2
số nhân . 
c. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra c1 2 ;c 2 3 ;c 3 2 ;c 4 3 ;... 
 c c
 Vì 3 2 nên c không phải là cấp số nhân . 
 cc n
 21 
 2 n 1 1
 dn 1 4 *
d. 21n 16,n  . Vậy dn là một cấp số nhân công bội q 16 . 
 dn 4 
 Ví dụ 4 
 Cho un là cấp số nhân với u1 0 , công bội q 1. Dãy sau có phải là cấp số nhân không: 
 Lời giải 
 u u
 q qqq 2 102 10 3
Ta có 10u2 10 u 1. q 10 u 1 , 10u3 10u2. q 10 u 1 10 u 1 
 uu12
 . 10 10 
Vậy dãy số 10uu12 , 10 ,10uu3 ,................,10n ,............không phải là cấp số nhân. 
 Ví dụ 5 
 Trong các dãy sau, dãy nào là cấp số nhân. Nếu là cấp số nhân hãy xác định công bội q . 
 1 1 1 1
 a. 3; 3; 3; 3; 3; b. 1; ; ; ; . c. 1; 2; 4; 6; 8;. 
 3 9 27 81
 Lời giải 
a. Dãy này là CSN với q 1. 
 3 
 Ví dụ 2 
 Tìm số hạng đầu u của cấp số nhân u biết rằng u u u 168 và u u u 21 
 1 n 1 2 3 4 5 6 .
 Lời giải 
 2
 u1 u 2 u 3 168 u1 u 1. q u 1 . q 168
Ta có : 
 u u u 21 345
 4 5 6 u1. q u 1 . q u 1 . q 21
 168
 2 u 
 u1 q q 168 1 2 u1 96
 1 1 qq 
 . Vậy u 96 . 
 32 1 1
 u q1 q q 21 3 1 q 
 1 q 
 2
 8 
 Ví dụ 3 
 Cho cấp số nhân có u1 3, công bội q 2 . Hỏi là số hạng thứ mấy của un ? 
 Lời giải 
 n 1
Giả sử un 192 , un là cấp số nhân nên un u1 q , 
 192 3. 2 n 1 2 n 1 64 2 n 1 2 6 n 7. 
Vậy 192 là số hạng thứ 7. 
 Ví dụ 4 
 Một cấp số nhân hữu hạn có công bội q 3, số hạng thứ ba bằng 27 và số hạng cuối bằng 
 1594323. Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng. 
 Lời giải 
Gọi cấp số nhân thỏa đề u1; u 2 ; u 3 ;......; um . 
 2
Theo đề u3 27 u 1 . q 27 u 1 3. 
u 1594323 u . qm 1 1594323 3. 3m 1 1594323 m 1 12 m 13
 m 1 . 
 5 
 4
 4 11
a. Ta có: u51 u. q 2. . 
 28
 7
 11 1
b. Ta có: 2. . Do đó: là số hạng thứ 8 trong dãy trên. 
 64 2 64
 Ví dụ 8 
 Cho cấp số nhân un có uu37 8, 128 . Hãy tìm công bội và số hạng tổng quát của 
 dãy. 
 Lời giải 
 n
 u7 4 u3 8
Ta có : qq 16 2. Do đó: uu1 2 2 n 2 . 2 . 
 u3 q 4
 Ví dụ 9 
 uu10 1 511
 Cho cấp số nhân có . Tìm số hạng đầu và công bội của CSN trên. 
 u7 u 4 u 1 73
 Lời giải 
 u. q9 1 511 u . q 3 1 . q 6 q 3 1 511
 uu10 1 511 11 
Ta có: 
 un 6 3 6 3
 u7 u 4 u 1 73 u. q q 1 73 u . q q 1 73
 11 
 3
 q 17 q 2
 . 
 u. q63 q 1 73 u 1
 1 1
III. DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CẤP SỐ NHÂN 
 Ví dụ 1 
 Xác định dương để ; ; theo thứ tự lập thành cấp số nhân. 
 Lời giải q
 2
Ta có 1; x ; 45x theo thứ tự lập thành cấp số nhân xx 1. 4 5 
 2 x 1
 xx 4 5 0 . 
 x 5
Vì x dương nên x 5. 
 7 
 85
T2 5 1 2 3 4 5 2 
 33 
Vậy tổng tất cả các phần tử S là: 
 TTT 12 50 
 Ví dụ 4 
 Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh ,trung tuyến AM và độ dài cạnh 
 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội của cấp số nhân đó. 
 Lời giải 
 A
 B M C
 2 AB2 AC 2 BC 2
Ta có: AM 2 1 . 
 4
Do ba cạnh BC , AM , AB lập thành cấp số nhân nên ta có: BC. AB AM 2 2 
 2 AB2 AC 2 BC 2
Thay vào ta được BC. AB 4AB22 4 AB . BC BC 0 
 4
 AB 12 
 2 
 AB AB BC 2
 4 4 1 0 
 BC BC AB 12 
 loai 
 BC 2
 AB 12 1 2 2 2 2
 q . 
 BC 2 22
Cách 2: Ta có AM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao. 
 AB
Khi đó AM AB nên BC AM AB và q 1. 
 AM
 AM BC. q
Suy ra: . 
 2
 AB BC. q
Ta có: AB2 AM 2 BM 2 
 9