Chuyên đề Cấp số cộng - Đại số Lớp 11

 CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG 
 I LÝ THUYẾT. 
 1. Định nghĩa. 
 un là cấp số cộng unn 1 u d , với n *, d là hằng số. 
 Hệ quả: Công sai d unn 1 u . 
 2. Số hạng tổng quát. 
 un u1 n 12 d n . 
 uu 
 d n 1 . 
 n 1
 3. Tính chất. 
 uu 
 u kk 11 với k 2. 
 k 2
 Hay uk 11 u k2 u k . 
 4. Tổng n số hạng đầu. 
 n u u 
 Sn 1 n ,* 
 n 2
 nn 1 
 Hoặc S nu d . 
 n 1 2
*Lưu ý : khi giải các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là u1,,,, d unn n S . 
 Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
I. DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG 
1. Phương pháp 
* Dãy số là cấp số cộng unn 1 u d  n 2 , là hằng số. 
 uu 
* Dãy số là cấp số cộng uk kk 11,2  . 
 k 2
2. Các ví dụ. 
 Ví dụ 1 
 Cho dãy số có số hạng tổng quát là . Chứng minh là một cấp số cộng. 
 Lời giải 
Ta có uunn 1 6nn 5 6 1 5 6 . 
Vậy là một cấp số cộng với công sai là 6 và số hạng đầu là u1 11. 
 Ví dụ 5 
 Cho tam giác có theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh 
 rằng cũng lập thành một cấp số cộng theo thứ tự ấy. 
 Lời giải 
 ABC ACB
Ta có cấp số cộng : tan , tan , tan tan tan 2tan 
 2 2 2 2 2 2
 AC B
 sin sin
 2 BACB
 2 2 cos2 2cos cos sin 
 ACB
 cos cos cos 2 2 2 2
 2 2 2
 1 cos BACACB 
 cos cos sin 
 2 2 2 2
 BACB 
 1 cosB 2 sin cos sin 
 2 2 2
 BACAC 
 1 cosB 2sin2 cos cos 
 2 2 2
 1 cosBBAC 1 cos cos cos 
 cosACB cos 2cos 
 cosABC ,cos ,cos lập thành một cấp số cộng theo thứ tự ấy. 
 Ví dụ 6 
 Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì ba số theo 
 thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng với: , , . 
 Lời giải 
Ta có abc,, theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có a c2 b. 
Mặt khác xzabccab 2 2 ac 2 2 acbac 4 b 2 2 ac 2 b 2 2 bac 2 2 y . 
Do đó ba số x,, y z theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng. 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
 Ví dụ 7 
 Cho cấp số cộng có công sai các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác . 
 Chứng minh rằng dãy số là một cấp số cộng khi và chỉ khi . 
 Lời giải 
 Dó đó u1; u 2 ;...; ukk ; u 1 cũng là một cấp số cộng. 
Vậy dãy số un là một cấp số cộng. 
II. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG 
1. Phương pháp 
Cho cấp số cộng un với công sai d . Để xác định các yếu tố : u1 (số hạng đầu tiên của cấp số 
 n
cộng), , un (số hạng thứ của cấp số cộng), Sn (tổng của số hạng đầu của cấp số cộng), ta áp 
dụng các công thức sau : 
 *
 a) unn 1 u d với n 
 b) un u1 n 1 d với n 2 
 uu 
 c) u kk 11 với k 2 
 k 2
 n u1 un 
 d) S 
 n 2
 n n 1 d
 e) S nu 
 n 1 2
2. Các ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Cho cấp số cộng có . Tìm . 
 Lời giải 
 Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien 
 u4 u 1 3 d u 1 3 d 12 d 3
 Ta có : . 
 u14 u 1 13 d u 1 13 d 18 u1 21
 u91 u 8 d 21 8.3 3 
 Vậy u9 3 . 
 Ví dụ 2 
 Cho cấp số cộng có , . Tìm . 
 Lời giải 
 Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien 
 41
 uu23 20 2ud1 3 20 u 
Ta có : 1 2
 uu57 29 2ud1 10 29 
 d 7 
 5
 x 
 3
 5
Điều kiện: x 
 3
 x 5
 x 5
Với điều kiện trên ta có: 
 1 1 1 1 25 2 2 5
(1) 
 5 3x 5 3 x 5 x 5 x 24 25 9xx22 25 24
 x2 1
 2 2 2 2 42 
 48 25 x 48 25 9 x 5 25 x 25 9 x 45xx 770 725 0 145
 x2 
 9
 x 1
 145 
 x 
 3
Đối chiếu điều kiện và vì d nên ta nhận x 1. 
Với a 5 , x 1 ta có u1 2 , u 2 4, u 3 6 , u 4 8 . 
Với , x 1 ta có u1 8 , u 2 6, u 3 4 , u 4 2. 
 Ví dụ 5 
 a. Cho cấp số cộng có và . Hãy tính tổng của 23 số hạng đầu tiên của 
 cấp số cộng đó. 
 b. Cho cấp số cộng có . Hãy tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số 
 cộng đó. 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Công Anh. Facebook: conganhmai 
 n
a. Áp dụng công thức S 2 u n 1 . d , ta có hệ phương trình sau: 
 n 2 1
 7
 2ud1 6 77
 2 ud1 3 11 u1 5
 . 
 12 2ud 11 32 d 2
 2ud 11 192 1 
 2 1
 23
Suy ra: S 2 u 22 d 621. 
 232 1
b. Ta có: uu3 28 100 u1 2 d u 1 27 d 100 2 u 1 29 d 100 . 
 30
Mà: S 2 u 29 d nên S30 15.100 1500 . 
 302 1
 Ví dụ 8 
 Cho dãy số xác định bởi . Tìm tổng 20 số hạng đầu của dãy số ? 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Công Anh. Facebook: conganhmai 
Vì dãy số un có unn 1 u 3, n 1 nên là cấp số cộng có u1 2 , công sai d 3. 
 20
Vậy tổng 20 số hạng đầu của dãy số là: S20 2 u 1 19 d 10 2.2 19.3 610 . 
 2
 Ví dụ 9 
 Cho dãy số là một cấp số cộng có , công sai và . Tìm ? 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Nguyễn Dung 
Ta có un u1 n 1 d , suy ra 41 4 nn 1 . 3 16 . 
Với điều kiện n * , vậy n 16 thỏa mãn. 
 Ví dụ 10 
 Cho dãy số là một cấp số cộng có và công sai . Hỏi số 83 là số hạng thứ mấy? 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Nguyễn Dung 
Ta có , suy ra 83 3 nn 1 .4 21. 
Vậy số 83 là số hạng thứ 21. 
 Ví dụ 11 
 Cho cấp số cộng có số hạng tổng quát , biết tổng số hạng đầu của cấp số cộng là 
 . Tìm . 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Nguyễn Dung 
Cách 1: Gọi u1 là số hạng đầu của cấp số cộng un . 
Vì unn 57 nên u1 5.1 7 2 . 
 n u u nn 2 5 7 
Áp dụng công thức S 1 n , suy ra 817 . 
 n 2 2
 Bốn số lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi chúng có dạng a 3 d , a d , a d , a 3 d với 2d là 
công sai của cấp số cộng đó. 
2. Các ví dụ. 
 Ví dụ 1 
 Xác định để 3 số: , , theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 
 Lời giải 
Ba số: 12 x , 21x2 , 2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 
 2x22 1 1 2 x 2 x 2 x 1 . 
 3
 43xx2 . 
 2
 3
Vậy x . 
 2
 Ví dụ 2 
 Ba góc của một tam góc vuông lập thành cấp số cộng. Tìm 3 góc đó. 
 Lời giải 
Giả sử A , B , C là 3 góc của tam giác vuông ABC vuông tại và BC . 
Ta có : A và ABC . 
 2
 AC 
Mặt khác : , , lập thành cấp số cộng nên BBAC 2 . 
 2
Suy ra : 3BBC . 
 36
 Ví dụ 3 
 Tìm để phương trình có bốn nghiệm lập thành một cấp số 
 cộng? 
 Lời giải 
Đặt xy2 0 , ta được phương trình: 
y2 3 m 5 y m 1 2 0 1 
Ta phải tìm m sao cho 1 có 2 nghiệm dương phân biệt: 0 yy12. Khi đó thì * có 4 nghiệm là: 
xy12 , xy21 , xy31 , xy42 ( Rõ ràng x1 x 2 x 3 x 4 ). 
Theo đề bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng nên: 
11 |