Chuyên đề Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông Toán 8

 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
- Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.
- Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
kia.
2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh
góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
3. Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác của hai tam giác đồng dạng
- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
4. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng
Phương pháp giải: Có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường vào tam giác vuông
Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.
1. Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) BEH∽ CDH; b) EHD∽ BHC.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Qua điểm M bất kì trên BC, vẽ đường thẳng
vuông góc với BC, cắt AC, AB lần lượt tại D, E. Chứng minh:
a) ABC∽ MDC; b) EAD∽ EMB.
3. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D, AB 6cm,CD 12cm và AD 17cm. Trên cạnh
 0
AD, lấy E sao cho AE 8cm . Chứng minh BEC 90 .
4. Cho tam giác ABC vuông tại A với AC 4cm và BC 6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC
(tia Cx và điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho
 BD 9cm. Chứng minh BD song song với AC.
Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán
Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để
chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp
cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 3A. a) Ta chứng minh ABH CBA từ đó suy ra AB2 = 
BH.BC (ĐPCM) 
b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh
c) Từ AHC BHA
 AH AC AH AQ
 mà 
 BH AB BH BP
 AC AQ
Từ đó suy ra . Do đó có BAP ACQ() c g c
 AB BP 
d) Gọi M là giao điểm của CQ và AP (M AP)
Sử dụng kết quả câu b) BAP MCA . Trong AMC ta 
chứng minh được CMA 900 CP  AQ (ĐPCM) 
3B. HS tự chứng minh. 
 AB AH
4A. a) Ta chứng minh AHB AEC(.) g g (1) 
  AC AE
 AD AK
b) Tương tự câu a ta chứng minh được 
 AC AF
 AD.AF =AK.AC (2) 
b) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3)
Lấy (3) + (2) ta được AD.AF + AB.AE = AC2 (ĐPCM)
4B. Gợi ý: Gọi AH BC K , chứng minh được AK 
BC. 
Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ra ĐPCM. 
5A. Ta chứng minh được CIF vuông tại I. Vẽ BK  CE. 
 2
 SCBK BC 
 CBK CFI 4 
 SCFI CF 
 SCBE
Lại có CFI BEK nên 5
 SCIF
 2
5B. Đặt SABC = S . EBD ABC
 2 2 2
 SEBD BD a BD 
Chứng minh 2 
 SABC BC S BC 
 BD a
 (1)
 BC s
Chứng minh: 
 2
 SCDF DC DC b
 CDF CBA (2)
 SCBA BC BC s
 BD DC a b 2
Từ (1) và (2) S a b 
 BC BC s s LỜI GIẢI BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1 
 A
Bài 1: 
a) BEH” CDH() g g D
 E
 HE HB
b) Có BEH~ CDH ta suy ra H
 HD HC
Từ đó chứng minh được EHD” BHC(.) c g  c
 B C
Bài 2: 
a) Vì AH BC AHB vuông tại H, theo định lý Pitago ta có:
 AB2 AH 2 BH 2 AH2 AB 2 BH 2
 AH 2 30 2 18 2 900 324 576 AH 24 cm
Vì AH BC AHC vuông tại H, theo định lý Pitago ta có:
 AC2 AH 2 HC 2
 HC2 AC 2 AH 2 A
 HC 2 40 2 24 2 1600 576 1024 HC 32 cm
 AH 24 4 
 AH HC
Ta lại có: BH 18 3 
 HC 32 4 BH AH
 B H C
 AH 24 3 
 
 AHB CHA 90  
Xét AHB và CHA có: ” 
 AH HC  AHB CHA(c. g . c ) ABH CAH
 ()cmt 
 BH AH  
b) Ta có: HBA BAH 90  CAH HAB 90 
 AHB CAB 90  
Xét ABH và CBA có:  ABH” CAB(g g ) (đpcm) 
 B () chung  
Bài 3: 
a) CBA ACH
 ACH 900 CAH 900 (180 0 BAC ) 900 BAC CBA 
b) CH2 BH. AH
 ACH CBH 
 HCA” HBC
 0
 CHA BHC 90
 HC HA
 HC2 HA. HB
 HB HC
Bài 4: 5
 ME AC 6 cm
 ME BE MB 9 : 2 5 6
c) EMB” CAB 
 AC BC AB 5,4 6 5
 BE BC 7,5 cm
 6
d) ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC, BH EC
e) Chứng minh AHE ” MHC từ đó suy ra HA... HC HM HE
Bài 6: 
a) Ta có BD2 AB 2 AD 2 , suy ra tam giác ABD vuông tại A (Pitago đảo)
b) Ta có BC CD2 BD 2 3 5 (Pitago) 
 AB AD 4 20 ” 
BAD CBD 90  , ABD BDC(..) c g c
 BD BC 6 3 5 
c) ABD” BDC ABD BDC AB// CD
Bài 7: Vẽ BH AC H AC 
Xét ABH và ACE có AHB AEC 900 ;BAC 
chung . 
Suy ra ABH ”   ACE(g g)
 AB AH
 AB.AE AC.AH (1) 
 AC AE
Xét CBH và ACF có BCH CAF (so le trong)
 CHB CFA 900 
 BC CH
Suy ra CBH” ACF(g.g) BC.. AF AC CH (2)
 AC AF 
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: 
AB...... AE BC AF AC AH AC CH AB AE AD AF AC AH CH AC 2. Bài tập 1: Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB, MA 6 cm , MB 24 cm . Vẽ về một phía của 
AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C thuộc tia Ax, điểm D thuộc tia By sao cho 
 MC 10 cm , M D 30 cm . Chứng minh rằng: CMD 900 . 
 y
 D
 x
 C 30
 10
 A 6 M 24 B
Bài tập 2: Tam giác ABH vuông tại H có AB 20 cm , BH 12 cm . Trên tia đối của tia HB lấy 
 5
điểm C sao cho AC AH. 
 3
 1. Chứng minh rằng các tam giác ABH và CAH đồng dạng.
 2. Tính BAC .
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC 4 cm , BC 6 cm . Ở phía ngoài tam giác ABC, 
vẽ tam giác BCD vuông tại C có BD = 9cm. Chứng minh rằng BD// AC . 
Bài tập 4: Cho hình thang ABCD có AD  900 , điểm E thuộc cạnh bên AD. Tính BEC 
biết rằng AB 4 cmBE , 5 cmDE , 12 cmCE , 15 cm . 
 Bài tập 5: Cho hai tam giác cân ABC và A’B’C’ (AB=AC, A’B’=A’C’), các đường cao BH và 
 BH BC
B’H’. Cho biết . Chứng minh rằng ABC∽ A''' B C . 
 BHBC''''
 HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ 2 
Dạng 1: các trường hợp đòng dạng của tam giác vuông suy ra từ các trường hợp đòng dạng 
của tam giác 
Bài tập 1: A
 D
 I
 C
 B H
 1. BD là đừng phân giác nên ABD HBI mà DAB IHB 900
 AB DB
 Suy ra ABD∽ HBI g g AB. BI BH .DB
 HB IB
 2. Do ABD∽ HBI g g nên B D A BIH mà BIH DIA (đối đỉnh)
 Suy ra : B D A DIA Do đó: Tam giác AID cân tại A.
Bài tập 4: 
 A
 N
 M
 C
 B H
 A chung 
 1. Ta có:  AHN∽ ACH() g g
 0
 ANH AHC 90  
 2. Xét tam giác vuông ABH có: BH AB2 AH 2 15 2 12 2 9 cm 
 Xét tam giác vuông ACH có: CH AC2 AH 2 13 2 12 2 5 cm 
 Khi đó: BC BH CH 9 5 14 cm 
 AH AN
 3. Do AHN∽ ACH AH2 AC. AN 1 
 AC AH
 Xét tam giác AMH và ABH có: 
 A chung 
  AMH∽ AHB g g 
 0
 AMH AHB 90 