Chuyên đề Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 15. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
1. Trường hợp hai cạnh góc vuông 
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam 
giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh). 
 B E
 A C D F
2. Trường hợp một cạnh góc vuông và một góc nhọn 
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh 
góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng 
nhau (theo trường hợp góc – cạnh – góc). 
 B E
 A C D F
3. Trường hợp cạnh huyền và một góc nhọn 
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn 
của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( theo trường hợp g-c-g) 
 B E
 A C D F
4. Trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông 
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh 
góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 
 1 C
 A
 B
 D
 Lời giải: 
+) Xét ABC và BAD có: 
 ABC= BAD =90  
 AB chung 
 BAC= ABD (gt) 
Do đó ABC = BAD ( cạnh góc vuông - góc nhọn) 
Bài 3. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình dưới đây? 
 B
 A C
 D 
 Lời giải: 
+) Xét ABC và ADC có: 
 BD= =90  
 BC= DC ( gt) 
 AC chung 
Do đó ABC = ADC ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) 
Bài 4. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau: 
 3 b) Xét ADH vuông tại D và AEH vuông tại E có: 
 AH là cạnh chung 
 DAH= EAH ( do ABH = ACH ) 
Do đó ADH = AEH (cạnh huyền- góc nhọn) 
c) Xét DBH vuông tại D và ECH vuông tại E có: 
 BC= ( do ABH = ACH ) 
 BH= CH (gt) 
Do đó DBH = ECH ( cạnh huyền – góc nhọn ) 
Bài 6. Cho xOy . Tia Oz là tia phân giác xOy . Lấy điểm A thuộc tia Oz () A O . Kẻ AB 
vuông góc với Ox, AC vuông góc với Oy ( B Ox , C Oy) . Chứng minh OAB = OAC . 
 Lời giải: 
 x
 B
 z
 A
 O
 C y
+) Xét OAB vuông tại B và OAC vuông tại C có: 
 OA là cạnh chung 
 AOB= AOC ( do Oz là tia phân giác xOy ) 
Do đó OAB = OAC ( cạnh huyền – góc nhọn) 
Bài 7. Cho hình vẽ sau. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình? 
 A
 F G
 B C
 D E 
Lời giải: 
+) Xét BFD vuông tại F và CGE vuông tại G ta có: 
 BD= CE (gt) 
 BC= (gt) 
Do đó BFD = CGE ( cạnh huyền – góc nhọn) 
+) Xét AFD vuông tại F và AGE vuông tại G ta có: 
 5 B
 N
 M
 A C
Vì ABC vuông tại A nên BAC= BAM + CAM =90  
Và ANC vuông tại N nên ACN+ CAM =90  
Do đó BAM= ACN 
+) Xét BAM vuông tại M và ACN vuông tại N có: 
 BAM= ACN (cmt) 
 AB= AC (gt) 
Nên BAM = ACN (cạnh huyền – góc nhọn ). 
Bài 10. Cho ABC có BC= . Trên tia đối của tia BC lấy điểm M , trên tia đối tia của tia CB 
lấy điểm N sao cho BM= CN. Kẻ BE⊥ AM( E AM ), CF ⊥ AN ( F AN ) . 
Chứng minh rằng BME = CNF . 
 Lời giải: 
 A
 E F
 M B I C N
Ta có: ABC+ ABM =180  ; ACB + ACN = 180  ( kề bù) 
Mà ABC= ACB() gt 
 =ABM ACN 
+) Kẻ AI⊥ BC tại I . 
+) Xét ABI vuông tại I nên ta có: BAI+ IBA =90  
+) Xét ACI vuông tại I nên ta có: CAI+ ICA =90  
 7 AC cạnh chung 
 AD= BC (cmt) 
 CD= AB(cmt) 
 ABC = CDA (c-c-c) 
 =CA11 
+) Xét AHC vuông tại H và CKA vuông tại K có: 
 CA11= (cmt) 
 AC cạnh chung 
Suy ra AHC = CKA ( cạnh huyền- góc nhọn) 
b) Xét AHB vuông tại H và CKD vuông tại K có: 
 AH= CK ( do AHC = CKA) 
 AB= CD (cmt) 
 AHB = CKD (cạnh huyền – cạnh góc vuông) 
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn 
thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc. 
I. Phương pháp giải: 
+ Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là đoạn thẳng (góc) cần tính hoặc chứng minh bằng 
nhau. 
+ Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh, để kết luận hai tam 
giác bằng nhau. 
+ Suy ra các cạnh (góc) tương ứng bằng nhau và kết luận. 
II. Bài toán. 
Bài 1. Cho hình vẽ sau. Chứng minh OK là phân giác của góc BOA . 
 B
 O K
 A
 Lời giải: 
+) Xét OBK vuông tại B và OAK vuông tại A có: 
 OK chung 
 9 Do đó ABK = CBK (cạnh huyền – cạnh góc vuông) 
Nên ABK= CBK ( hai góc tương ứng ) 
Hay BK là phân giác của góc B . 
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC . Vẽ BI , CK vuông góc với AM . 
Chứng minh BI= CK . 
 Lời giải: 
+) Xét BIM và CKM có: 
 MB= MC ( M là trung điểm của BC ) 
 BIM== CKM 90 
 IMB= KMC (đối đỉnh) 
Do đó BIM = CKM (cạnh huyền – góc nhọn). 
Từ đó suy ra BI= CK (cặp cạnh tương ứng). 
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ 
 MD⊥ BC( D BC ). 
a) Chứng minh BA= BD; 
b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ABC = DBE . 
 Lời giải: 
 B 
 D
 A
 M C
 E 
a) Xét BMA vuông tại A và BMD vuông tại D ta có: 
 11 Vậy AH⊥ BC 
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB= AC . Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường 
thẳng vuông góc với AC tại C ở D . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh: 
a) DAB = DAC ; 
b) AMD,, thẳng hàng. 
 Lời giải: 
a) Xét DAB và DAC có: 
 DBA== ACD 90 
 AB= AC (gt) 
 AD là cạnh chung 
Do đó DAB = DAC (cạnh huyền -canh góc vuông). 
b) Xét ABM và ACM ta có: 
 AB= AC (gt) 
 MB= MC ( M là trung điểm cạnh BC ) 
 AM là cạnh chung 
 Nên ABM = ACM (c-c-c) 
 180
 Do đó AMB= AMC , mà hai góc này ở vị trí kề bù nên AMB== AMC . 
 2
Hay AM⊥ BC tại M (1) 
+) Xét ABM và ACM , ta có: 
 DB= DC ( DAB = DAC ) 
 MB= MC ( M là trung điểm cạnh BC ) 
 DM cạnh chung 
Do đó DBM = DCM ( c-c-c) 
 180
 =BMD CMD , mà hai góc này ở vị trí kề bù nên BMD = CMD = = 90 
 2
Hay DM⊥ BC tại M (2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra AM và DM cùng vuông góc với BC nên AMD,, thẳng hàng. 
 13 +) Xét ABM và HBM , ta có: 
 AB= BH (chứng minh trên) 
 ABM= HBM ( do ABK= HBK ) 
 AM cạnh chung 
 ABM = HBM( c .g.c) 
 =AMB HMB (hai góc tương ứng), mà hai góc này ở vị trí kề bù 
 180
 AMB = HMB = = 900 
 2
Vậy BK⊥ AH 
Bài 10. Cho ABC vuông tại A ( AB AC) và các điểm M thuộc cạnh AC , H thuộc cạnh 
 BC sao cho MH⊥ BC và MH= HB . Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A . 
 Lời giải: 
 B
 H
 D
 C
 A M E
+) Kẻ HD⊥ AB( D AB) và HE⊥ AC( E AC) 
+) Xét DBH và EMH có: 
 HDB= HEM =90  
 HB= HM (gt) 
 HBD= HME (cùng phụ ACB ) 
 DBH = EMH (cạnh huyền - góc nhọn) 
 =HE HD (hai cạnh tương ứng) 
+) Xét DAH và EAH có : 
 HDA= HEA =90  
 HD= HE (chứng minh trên) 
 AH là cạnh chung 
 DAH = EAH (cạnh huyền - cạnh góc vuông) 
 =DAH EAH (hai góc tương ứng) 
 15