Chuyên đề Các phương pháp giải phương trình vô tỷ - Toán 9

 MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÀ CÁC KỸ THUẬT XỬ Lí 1
 A PHƯƠNG PHÁP NÂNG LấN LŨY THỪA...................................... 1
 DÔng 1. pf(x) = pg(x)...................................................... 1
 DÔng 2. p3 f(x) = p3 g(x) ..................................................... 3
 DÔng 3. pf(x) = g(x) ........................................................ 4
 DÔng 4. p3 f(x) = g(x) ........................................................ 5
 p p p
 DÔng 5. a x + b + a x + b = a x + b .................................. 6
 p 1 1 2 p 2 3 3 p
 2 2 2
 DÔng 6. a1x + b1x + c1 + a2x + b2x + c2 = a3x + b3x + c3 ............. 7
 DÔng 7. G.................................................................... 8
 p p p
 3 3 3
 DÔng 8. a1x + b1 + a2x + b2 = a3x + b3 .................................. 8
 p p p
 DÔng 9. (ax + b)(m1x + n1)+ (ax + b) (m2x + n2) = (ax + b)(m3x + n3)
 9
 DÔng 10. pf(x) + pg(x) = pu(x) + pv(x).................................. 10
 B PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG LƯỢNG LIấN HỢP................................ 15
 C PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ẨN PHỤ.......................................... 34
 D PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ................................................... 68
 E PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÂA........................................... 90
CHƯƠNG 2 PHÂN TÍCH, SUY LUẬN ĐỂ TèM LÍI GIẢI 94
CHƯƠNG 3 SỰ KẾT HỢP GIỮA CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRèNH Vặ TỶ192
 A SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP NÂNG LŨY THỪA VÀ CÁC PHƯƠNG
 PHÁP KHÁC..................................................................192 CHUYấN ĐỀ PHƯƠNG TRèNH Vặ TỶ
 p p
 Vớ dụ 2. GiÊi phương trẳnh x3 − 3x + 1 = x3 + 2x − 5:
- Lời giải.
 8
 > 3
p p x + 2x − 5 ≥ 0
 x3 − 3x + 1 = x3 + 2x − 5 ,
 > 3 3
 :> x − 3x + 1 = x + 2x − 5
 8 8
 > 3 > 3
 x + 2x − 5 ≥ 0 x + 2x − 5 ≥ 0
, , (Phương trẳnh vụ nghiằm)
 6 
 > 5x = 6 > x =
 : : 5
 Chỳ ý
 Trong viằc giÊi phương trẳnh vụ tỷ náu viằc tẳm nhỳng giĂ trị cừa x để g(x) ≥ 0 là phực tÔp, chỳng
 ta nản triºn khai viằc tẳm nghiằm cừa phương trẳnh sau đú thỷ vào điều kiằn để x²t xem nghiằm
 vứa tẳm được cú thỏa mÂn điều kiằn bài toĂn hay khụng.
 6
 Ch¯ng hÔn bài toĂn trản ta cƯn thỷ xem x = cú thỏa mÂn điều kiằn f(x) = x3 + 2x − 5 ≥ 0
 5
 ! Å6ó 109
 khụng bơng cĂch thay trực tiáp giĂ trị cƯn tẳm được vào hàm f(x), ta s³ thĐy f = − < 0,
 5 125
 6
 nản giĂ trị x = khụng là nghiằm cừa phương trẳnh đó cho.
 5
Bài tập tương tự
 p
 3 2 p 2
 1 GiÊi phương trẳnh px + 2x +p 1 = x (x + 2) + 3x:.
 4 4
 2 GiÊi phương trẳnh px + 1 = px − 3x + 1:.
 3 GiÊi phương trẳnh x3 − 1 = x3 + x2 − 5:.
 p p
 Vớ dụ 3. GiÊi phương trẳnh x3 + x2 − 4 = x3 − 3x + 1:
- Lời giải.
 8 8
 > 3 2 > 3 2
p p x + x − 4 ≥ 0 x + x − 4 ≥ 0
 x3 + x2 − 4 = x3 − 3x + 1, ,
 > 3 2 3 > 2
 :> x + x − 4 = x − 3x + 1 :> x + 3x − 5 = 0
 8
 > 3 2
 x + x − 4 ≥ 0
, p (Phương trẳnh vụ nghiằm)
 −3 ± 29 
 > x =
 : 2
 Chỳ ý
 Với nhỳng bài toĂn cú nghiằm số phực tÔp hơn, ta cú thº làm như sau:
 3 2 2
 f(x) = x + x − 4 = (x + 3x − 5)(x − 2)p + 11x − 14 p
 ! ầ−3 ± 29ồ ầ−3 ± 29ồ
 (x2 + 3z − 5)(x − 2) + g(x) ) f = g < 0
 2 2
Bài tập tương tự
 p p
 3 2 3
 1 GiÊi phương trẳnh px + x =p x + x + 1:
 4 4 2
 2 GiÊi phương trẳnh px + x = x + x − 1:
 3 GiÊi phương trẳnh x5 − 2x3 = p(x2 − 2)(x3 + 1):
 2 PHẠM KIM CHUNG CHUYấN ĐỀ PHƯƠNG TRèNH Vặ TỶ
Bài tập tương tự
 1 GiÊi phương trẳnh p3 x (x3 + 1) = p3 x3 (x + 1):
 ẩ
 2 GiÊi phương trẳnh 3 (x + 1)2 (x2 − x + 1) = p3 (x2 + x)(x2 + 3):
 ẩ
 3 GiÊi phương trẳnh 3 (x − 1)2 (x2 + x + 1) = p3 (x − 1) (x3 + x2 − 2) .
BÀI TẬP RẩN LUYỆN
 p p
 1 GiÊi phương trẳnh x2 + 2x + 4 = 2 − x: Đỏp số. T = {−2; −1g :
 p p
 2 GiÊi phương trẳnh 3 x2 − 4x + 2 = 3 3x − 10: Đỏp số. T = f3; 4g :
 p p Đ 1 ê
 3 GiÊi phương trẳnh 2x3 − 3x = x2 − 2x: Đỏp số. T = − ; 0 :
 2
 p x + 3
 4 GiÊi phương trẳnh 2 x2 − 9 = (x + 5) : Đỏp số. T = {−3; 1g :
 x − 3
 p
 p p 15 + 3 33
 5 GiÊi phương trẳnh x + 3 = 3 5x + 3: Đỏp số. x = 1; x = :
 2
 { DẠNG 3. pf(x) = g(x)
 8
 >
 g(x) ≥ 0
 Phương phĂp giÊi. pf(x) = g(x) ,
 > 2
 :> f(x) = [g(x)]
 p
 Vớ dụ 1. GiÊi phương trẳnh x2 − 2x + 4 = x − 1:
- Lời giải.
 8 8
 > >
p x − 1 ≥ 0 x ≥ 1
 x2 + x − 4 = x − 1 , , , x = 5. 
 > 2 2 >
 :> x − x − 4 = (x − 1) :> x = 5
Bài tập tương tự
 p
 2
 1 GiÊi phương trẳnh p4x + 2x + 1 = 2x − 1:
 2
 2 GiÊi phương trẳnh p2x + 3x + 1 = 1 − x:
 3 GiÊi phương trẳnh 2x2 + x + 1 = 3x − 1:
 ẩ
 Vớ dụ 2. GiÊi phương trẳnh (x − 3)2 (x − 1) = x − 3:
- Lời giải.
 8
 8 > x ≥ 3
 >
 > x − 3 ≥ 0 > 2
ẩ 2 < <
 (x − 3) (x − 1) = x − 3 , , x = 3 
 > 2 > 6
 :> (x − 3) [(x − 1) − 1] = 0 > 6 , x = 3:
 > 4
 :> x = 2
 4 PHẠM KIM CHUNG CHUYấN ĐỀ PHƯƠNG TRèNH Vặ TỶ
Phương trẳnh đó cho tương đương với:
 2
 p p x = 3
 3  3 
 6
(x − 3) x − 1 = x − 3 , (x − 3) x − 1 − 1 = 0 , 6
 4
 x = 2
Kát luên. Têp nghiằm cừa phương trẳnh đó cho là T = f2; 3g : 
 Chỳ ý
 p
 ! Ph²p bián đổi 3 A3 = A là mởt ph²p bián đổi tương đương.
Bài tập tương tự
 ẩ
 1 GiÊi phương trẳnh 3 (x + 1)3 (2x − 1) = x + 1:
 ẩ
 2 GiÊi phương trẳnh 3 (3x + 1)3 (x − 2) = 3x + 1:
 ẩ
 3 GiÊi phương trẳnh 3 (x2 + 1)3 (2x − 1) = x2 + 1:
Tờng quĂt: pn f(x) = g(x) , f(x) = [g(x)]n.
 Chỳ ý
 Chỳng ta cƯn phƠn biằt ró đõu là cĂch làm cừa thuởc dÔng toĂn 3, đõu là cĂch làm thuởc dÔng
 ! toĂn 4 khi đứng trước dÔng toĂn pn f(x) = g(x):
BÀI TẬP RẩN LUYỆN
 p
 3
a) GiÊi phương trẳnh 3px + x − x + 1 = −2: Đỏp số. x = − 1:
 4 3
b) GiÊi phương trẳnh px − 4x + 14x − 11 = 1 − x: Đỏp số. x = −2; x = 1:
c) GiÊi phương trẳnh 3 x3 + x2 − 2x + 1 = x: Đỏp số. x = 1:
 p p
d) GiÊi phương trẳnh 4 − 3 10 − 3x = x − 2: Đỏp số. x = 3:
 p p p
e) GiÊi phương trẳnh 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2: Đỏp số. x = −1:
 p p p
 { DẠNG 5. a1x + b1 + a2x + b2 = a3x + b3
 Phương phĂp giÊi.
 8
 >
 > a1x + b1 ≥ 0
 >
 
 GiÊi hằ điều kiằn: a2x + b2 ≥ 0
 >
 >
 >
 :> a3x + b3 ≥ 0
  Bẳnh phương 2 vá, đưa phương trẳnh đ cho vã dÔng pF (x) = G(x):
  GiÊi phương trẳnh pF (x) = G(x):
  Kiºm tra sự thỏa mÂn cừa nghiằm vứa tẳm được với điều kiằn bài toĂn và kát luên.
 p p
 Vớ dụ 1. GiÊi phương trẳnh x + 1 + x + 4 = 3:
- Lời giải.
 8
 >
 x + 1 ≥ 0
Điều kiằn , x ≥ −1:
 >
 :> x + 4 ≥ 0
Phương trẳnh đó cho tương đương với:
 p p 2 p p
 x + 1 + x + 4
 = 9 , 2x + 5 + 2 x2 + 5x + 4 = 9 , x2 + 5x + 4 = 2 − x
 6 PHẠM KIM CHUNG