Chuyên đề Các phương pháp giải bài toán cực trị - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ VIII: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN 
CỰC TRỊ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các kiến thức thường dùng
1.1. Luỹ thừa:
a) x2 0 x |R x2k 0 x |R, k z - x2k 0
Tổng quát : f (x)2k 0 x |R, k z - f (x)2k 0
Từ đó suy ra : f (x) 2k + m m x |R, k z
 M - f (x)2k M 
b) x 0 x 0 ( x )2k 0 x 0 ; k z
Tổng quát: ( A )2k 0 A 0 (A là 1 biểu thức)
1.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a) |x| 0 x |R
b) |x + y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0
c) |x - y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y|
1.3. Bất đẳng thức côsi :
 a a .... a
ai 0 ; i = 1, n : 1 2 n n a .a .....a n N, n 2.
 n 1 2 n
dấu "=" xảy ra a1 = a2 = ... = an
1.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có :
 2 2 2 2 2 2 2
(a1b1+ a2b2 +...+anbn) ( a1 a2 .... an ).(b1 b2 .... bn )
 a
Dấu "=" xảy ra i = Const (i =1, n )
 bi
 1.5. Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất 
 2
 đẳng thức (A+B) 0. a b 1 1 4
 2 2 2 2 2 2 2 
 a + b 2ab; (a + b) 4ab; 2(a + b ) (a + b) b a b a a b
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 
 Phương pháp 01:Sử dụng phép biến đổi đồng nhất 
 Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu 
 thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những 
 hằng số. Từ đó :
1.Để tìm Max f(x, y,...) trên miền |D ta chỉ ra :
 f (x, y...) M
 sao cho f(x0, y0,...) = M 
 (x0 , y0 ....) | R
2. Để tìm Min f(x, y,...) trên miền |D ta chỉ ra :
 f (x, y...) m
 sao cho f(x0,y0,...) = m 
 (x0 , y0 ....) | R
I. Các ví dụ: c. C = x3 + y3 + xy biết x + y = 1
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :
 x 2 2
a. A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 b. B = 
 x 2 1
 Phương pháp 02: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản.
Ta biết rằng: Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đưa về 
1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương mà một vế là hằng số. 
Vì vậy: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta 
có thể tìm được cực trị của 1 biểu thức nào đó.
I. Các ví dụ:
 1
1. Ví dụ 1: Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B1 = a + 
 b(a b)
 1 1 b(a b)
Giải: Ta có: B1 = a + = b + (a-b) + 3. 3 (theo Côsi).
 b(a b) b(a b) b.(a b)
 1 a 2 a 2
B1 3 B1 min = 3 b = a-b = Vậy: B1 min = 3 
 b(a b) b 1 b 1
 1 1
2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B2 = + 
 ab a2 b2
 1 1 1 1 1 4
Giải: Theo bđt Côsi: (x + y)( ) 2 x.y . 2 = 4 (với x, y > 0) 
 x y xy x y x y
 (1)
 a b 1 1
Ta có : ab ( )2 = 4 (2) do a+b = 1 ; a,b > 0
 2 4 ab
Áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có :
 1 1 2 1 1 1 1 4 4
 B2 = ( ) 
 ab a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab 2ab a 2 b 2 2 2ab a 2 b 2
 4 1
B2 2 + 6 do a + b = 1 B2min = 6 a = b = Vậy: B2min = 6 
 (a b) 2 2
 1
a = b = 
 2
 4 4 4
3. Ví dụ 3: Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B3 = x + y + z
Giải :Do xy + xz + yz = 4 16 = (xy + xz + yz)2 (x2+y2+z2) (x2+y2+z2)
(Theo Bunhiacôpxki) 16 (x2+y2+z2)2 (x4 + y4 + z4) (12+12+12)
 4 4 4 16 16 2 3
 B3 = x + y + z B3min = x = y = z = 
 3 3 3
 16 2 3
Vậy : B3min = x = y = z = 
 3 3
 16 16 16
4. Ví dụ 4: Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của B8 = x + y + z
Giải : Cách 1 : Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 a,b,c
 a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1)
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : 2 2 2
 y2 x 2 4 x x 2 4 x . 12 12 
 2
 y x 2 4 x .2
 y2 4 y 2
Vì y > 0 nên ta có: 0 y 2
 Dấu “=” xảy ra x 2 4 x x 2 4 x x 3 (Thỏa mãn (*))
Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.
7. Ví dụ 7: Tìm GTNN của biểu thức: M = x 1994 2 (x 1995)2
Giải: M = x 1994 2 (x 1995)2 = x 1994 x 1995
áp dụng bất đẳng thức: a b a b ta có:
M = x 1994 x 1995 x 1994 1995 x => M x 1994 1995 x 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x) 0
 1994 x 1995 Vậy GTNN của M = 1  1994 x 1995
II. Nhận xét:
 Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán được giải quyết 
 nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc 
 vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một 
 vấn đề đặt ra là: Hai phương pháp vừa nêu vẫn chưa đủ để giải quyết được 
 hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những 
 phương pháp khác tối ưu hơn và thực hiện được yêu cầu bài toán. 
III. Bài tập về nhà: 
 1 1 1
1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN của A = (1+ ) (1+ ) (1+ )
 a b c
 2 3
2. Cho a, b, > 0 và a + b = 1. Tìm GTNN của B = 
 ab a 2 b 2
3. Cho a, b, c > 0 
 a b c
a) Tìm GTNN của C = 
 b c c a a b
 a b c b c c a a b
b) Tìm GTNN của D = 
 b c c a a b a b c
 3
4. Cho x, y, z và x+y+z =1.Tìm GTLN của E=
 4
 4x 3 4y 3 4z 3
5. Cho a,b,c 0 và a + b + c = 1.Tìm GTLN của F = a b a c b c
 4
6. Cho 0 x . Tìm GTLN của G = 4x2 - 3x3
 3
7. Cho 0 x 3 ; Cho 0 y 4. Tìm GTLN H = (3 - x)(4 - y)(2x + 3y)
8. Cho x, y, z, t 0 và 2x + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN của I = x2y2z2.t
9. Cho x, y, z, t 0 và xt + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN của K = xyzt
10. Tìm GTNN của M = | x-2 | + | y-3 | + |x+y - 2007 | Tìm GTLN của C = 2a 1 2b 1 2c 1
 x 2 y 2 x y 
 3 4
4. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của D = 2 2 
 y x y x 
Phương pháp 04: Sử dụng biểu thức phụ.
 Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của 1 
biểu thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn.
Ví dụ: Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu 
 1
thức: , -A, kA, k + A, |A| , A2 (k là hằng số).
 A
I. Các vị dụ:
 2
1. Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = x
 x 4 x 2 1
Giải: a) Xét x = 0 A = 0 giá trị này không phải là GTLN của A vì với x 0 ta có 
A > 0.
 1
b) Xét x 0 đặt P = khi đó Amax Pmin
 A
 x 4 x 2 1 1
với cách đặt trên ta có : P = x 2 1
 x 2 x 2
 2 1 2 1
ta có : x + 2 x . 2 (theo côsi) P 2 + 1 = 3 Pmin = 3 x = 1
 x 2 x 2
 1
Do đó : Amax = x = 1
 3
2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = x với x > 0
 (x 2002) 2
Giải: Đặt P1 = - B như vậy P1max Mmin
 x
Ta có : P1 = với x > 0 P > 0
 (x 2002) 2
 1
Đặt P2 = > 0 với x > 0 khi đó P2 Min P1 Max
 P1
 (x 2002) 2 x 2 2.x.2002 2002 2
P2 = 
 x x
 x 2 2.x.2002 2002 2 4.x.2002
P2 = 
 x
 (x 2002) 2
P2 = 4.2002 4.2002 8008
 x
 2
(do (x 2002) 0 x > 0)
 x
 1
 P2 Min = 8008 x = 2002 P1 Max = x = 2002
 8008
 1 1
 BMin = - x = 2002 Vậy BMin = - x = 2002
 8008 8008
3. Ví dụ 3: Cho a, b, c dương và a + b + c = 3 Trong một số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một hoặc 
hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức về 
miền già trị của hàm số để giải.
 ❖ Phương pháp chung:
Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị 
nào đó của f(x) với x D. Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f(x) = 
y có nghiệm. Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x là biến, 
coi y là tham số). 
Thường đưa đến biểu thức sau: m y M
Từ đó Min f(x) = m với x D.
 Max f(x) = M với x D.
I. Các ví dụ:
1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của f(x) = x2 + 4x + 5
Giải: Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y = x2 + 4x + 5
 x 2 + 4x + 5 - y = 0 (có nghiệm)
 ' = 4 - 5 + y 0
 y 1
Vậy f(x) Min = 1 x = -2
2. Ví dụ 2: Tìm GTLN của f(x) = - x2 + 2x - 7 
Giải: Gọi y là một giá trị của f(x). Ta có: y = - x2 + 2x - 7
 x 2 - 2x + y + 7 (có nghiệm)
 ' = 1 - y - 1 0
 y - 6
Vậy f(x)Max = -6 x = 1
 2
3. Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của f(x) = x 4x 6
 x 2 2x 3
Giải: Gọi y là một giá trị của f(x) .
 2
Ta có : y = x 4x 6 yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - 6 = 0
 x 2 2x 3
 (y - 1)x2 + 2 (y - 2).x + 3y - 6 = 0 (có nghiệm)
 3
* Nếu y = 1 x = - 
 2
* Nếu y 1 ' = (y - 2)2 + (3y - 6) (1 - y) 0
 1
 y2 - 4y + 4 - 3y2 + 3y + 6y - 6 0 - 2y2 + 5y + 2 0 y 2
 2
 1
Ta thấy : < 1 < 2
 2
 1
Do vậy : f(x) Min = x = -3; f(x) Max = 2 x = 0
 2