Chuyên đề Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ VII: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG 
THỨC
I. PHƯƠNG PHÁP 1 : DÙNG ĐỊNH NGHĨA
Kiến thức: Để chứng minh A > B. Ta chứng minh A –B > 0
 Lưu ý dùng hằng bất đẳng M2 0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx ; b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz
c) x2 + y2 + z2 +3 2 (x + y + z)
 1
Giải: a) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx= .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – 
 2
zx)
 1
= (x y) 2 (x z) 2 (y z) 2  0 đúng với mọi x; y; z R
 2
Vậy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz
 =( x – y + z)2 0 đúng với mọi x;y;z R
Vậy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R . Dấu bằng xảy ra 
khi x+y=z
 c) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2 - 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2 -2z 
+1
= (x-1)2 + (y-1) 2 +(z-1)2 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
 2 2 2 2 2
 a 2 b 2 a b a b c a b c 
a) ; b) 
 2 2 3 3 
 Giải:
 2
 a 2 b 2 a b 2 a 2 b 2 a 2 2ab b 2
a) Ta xét hiệu = =
 2 2 4 4
 1
 2a 2 2b 2 a 2 b 2 2ab 
 4
 2 2 2
 1 2 a b a b 
 = a b 0 . Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a=b
 4 2 2 
 2 2 2 2
 a b c a b c 1 2 2 2
b)Ta xét hiệu: =  a b b c c a  0
 3 3 9
 2
 a 2 b 2 c 2 a b c 
 Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
 3 3 
II. PHƯƠNG PHÁP 2 : DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng 
hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau: A B 2 A2 2AB B2 a b
a) x 2 y 2 2xy b) x y 2 4xy c) 2
 b a
 a a a .... a n
 2) Bất đẳng thức Cô si: 1 2 3 n a a a ....a Với a 0
 n 1 2 3 n i
 3) Bất đẳng thức Bunhiacopski: 
 2 2 2 2 2 2 2
 a2 a2 .... an . x1 x2 .... n a1x1 a2 x2 .... an xn 
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 4xy
Tacó a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac
 a b 2 b c 2 c a 2 64a 2b 2c 2 8abc 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn :x2 + y2 = x 1 y 2 y 1 x 2
 Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Giải :Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 
 (x2 + y2)2 = (x 1 y 2 y 1 x 2 )2 (x 1 ; y 1 ) (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => 
x2 + y2 1
Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5 
 2 2 3
 x y 1 x 
 3 5
Đẳng thức xảy ra x 0, y 0 5 . Điều kiện : x 
 4
 x y y 2 2
 5
 3 4
Ví dụ 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
 a, a b b c c a 6 ; b, a 1 b 1 c 1 3,5
Giải : a, Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
 2 2 2
 a b.1 b c.1 c a.1 1 1 1 a b b c c a 
 2
 => a b b c c a 3.(2a 2b ac) 6 =>a b b c c a 6 
.
 1
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 3
 (a 1) 1 a
 b, Áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : a 1 1
 2 2
 b c
 Tương tự : b 1 1 ; c 1 1
 2 2 b) Ta có a > b-c a 2 a 2 (b c) 2 > 0
 b > a-c b2 b2 (c a)2 > 0
 c > a-b c2 c2 (a b)2 0
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
 a2b2c2 a2 b c 2 b2 c a 2 c2 a b 2 
 a2b2c2 a b c 2 b c a 2 c a b 2
 abc a b c . b c a . c a b 
Ví dụ 2:Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh 
 1 1 1 1 1 1
của tam giác) . Chứng minh rằng : 2 ( )
 p a p b p c a b c
 b c a
Giải: Ta có : p - a = 0 ; Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 
 2
 1 1 4 1 1 4 4
 áp dụng bất đẳng thức ta được ; 
 x y x y p a p b ( p a) ( p b) c
 1 1 4 1 1 4
 Tương tự : ; 
 p b p c a p a p c b
 1 1 1 1 1 1
 => 2( ) 4( ) => điều phải chứng minh .
 p a p c p c a b c
Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c. Khi đó tam giác ABC là 
đều .
V. PHƯƠNG PHÁP 5: ĐỔI BIẾN SỐ
 a b c 3
Ví dụ 1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : 
 b c c a b a 2
Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = x y z
 2
 => a = y z x , b = z x y , c = x y z
 2 2 2
 a b c y z x z x y x y z
 Khi đó : VT = = 
 b c c a b a 2x 2y 2z
 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3
 = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 
 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2
 1 1 1
Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 và a + b +c < 1. Cmr 9 
 a2 2bc b2 2ac c2 2ab
(1)
Giải: Đặt x = a 2 2bc ; y = b2 2ac ; z = c2 2ab Ta có x y z a b c 2 1
 1 1 1
 (1) 9 Với x+y+z 0
 x y z
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x y z 3. 3 xyz b c b c b c a d a d a d a c
 (2) 
 a b c d b c d a b c d a b c d d a b a b c d
(3)
 Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
 a b b c c d d a
 2 3 (đpcm)
 a b c b c d c d a d a b
Bài 6: Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
 a b c
 1 2
 b c c a a b
Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a, b, c > 0
Và a < b + c; b < a + c; c < a + b
 a a a 2a a a
Từ (1) . Mặt khác 
 b c a b c a b c b c a b c
 a a 2a b b 2b
 Vậy ta có Tương tự ta có 
 a b c b c a b c a b c a c a b c
 c c 2c
 a b c b a a b c
 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
 a b c
 1 2 (đpcm)
 b c c a a b