Chuyên đề Các phép biến hình - Hình học Lớp 11

 HÌNH HỌC 11 | 
 PHÉP TỊNH TIẾN 
A. LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa 
 Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho 
 MM v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . 
  Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là: , được gọi là vectơ tịnh tiến. 
 Tv
  Ta có: Tv () M M MM v 
  Phép tịnh tiến theo vecto – không chính là phép đồng nhất. 
2. Tính chất: 
 Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm MN, thành hai điểm MN , thì M N MN , 
 từ đó suy ra M N MN . 
 Tính chất 2: 
 Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn 
 thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn 
 thành đường tròn có cùng bán kính. 
 Chú ý: 
 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 
 ba điểm đó. 
3. Biểu thức tọa độ: 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v a;,; b M x y . Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ 
 x' x a
 v: T ( M ) M' x '; y ' có biểu thức tọa độ: 
 v y' y b
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN 
Dạng 1. Các bài toán khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép tịnh tiến 
 Phương pháp: 
 Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến. 
 Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến. 
 Tìm quĩ tích điểm thông qua phép tịnh tiến. 
 Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài toán hình học khác ... 
 1 | HÌNH HỌC 11 | 
 Kẻ đường kính BD ADCH là hình bình hành(Vì AD// CH và AH// DC cùng vuông góc 
 với một đường thẳng) 
 AH DC TDC A H . 
 Vậy H thuộc đường tròn tâm O' , bán kính R là ảnh của OR, qua . 
 TDC
 Ví dụ 4 
 Cho hình bình hành , hai điểm cố định, tâm di động trên đường tròn . Tìm 
 quỹ tích trung điểm của cạnh : 
 Lời giải 
 Gọi K là trung điểm của AB K cố định. 
 Ta có . 
 TIMMCTCKI KI 
Dạng 2. Xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép tịnh tiến bằng phương pháp tọa độ 
 Phương pháp 
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến 
 - Sử dụng biểu thức tọa độ. 
2. Xác định ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ v . 
 Cách 1. Chọn hai điểm AB, phân biệt trên , xác định ảnh AB , tương ứng. Đường thẳng 
 cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh AB , . 
 Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương 
 với nó. 
 Cách 3. Sử dụng quỹ tích. 
 Với mọi M x; y , Tv M M x ; y thì M . 
 x x a x x a
 Từ biểu thức tọa độ ta được thế xy, và phương trình ta được 
 y y b y y b
 phương trình . 
 3 | HÌNH HỌC 11 | 
 Chú ý: 
 Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm 
 Ví dụ 5 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho biết , , . Phép tịnh tiến theo 
véctơ biến thành tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm của 
là: 
 Lời giải 
 Ta có tọa độ trọng tâm ABC là G 2;1 ; BC 6; 3 . 
 x x x
 GG BC x G 4
 T G G x ; y GG BC G 4; 2 . 
 BC GG y y y y 2
 GGG BC 
 CHÚ Ý: Phép tịnh tiến biến trọng tâm G của ABC thành trọng tâm G của ABC 
 Ví dụ 6 
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng 
 qua phép tịnh tiến theo véctơ . 
 Lời giải 
 Cách 1 
 Chọn ATAA 1;0 v 2; 1 . 
 Chọn BTBB 1;1 v 0;0 . 
 đường thẳng chính là đường thẳng AB . 
 Đường thẳng qua A 2; 1 và có một véctơ pháp tuyến n 1;2 có phương trình là: 
 :1 x 2 2 y 1 0 x 2 y 0 . 
 CHÚ Ý 
 Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương. 
 Cách 2. 
 Tv , là hai đường thẳng cùng phương nên có dạng x 20 y m . 
 Chọn A 1;0 Tv A A 2; 1 m 0 . 
 Vậy phương trình :xy 2 0 . 
 Cách 3: Sử dụng quỹ tích 
 Lấy M xMMMM; y x 2 y 1 0 1 . 
 x xMM 11 x x 
 Ta có Tv M M x ; y 
 y yMM 11 y y 
 Thay vào 1 ta được xy 1 2 1 1 0 xy 20 . 
 Vậy :xy 2 0 . 
 Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho 
 nhiều loại hình khác nhau. 
 5 | HÌNH HỌC 11 | 
 Ví dụ 9 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , . Biết . 
Tìm tọa độ của vectơ để có thể thực hiện phép tịnh tiến biến điểm thành điểm 
 Lời giải 
 Tv B C BC v 
 Mà AC AB BC u v 
 Do đó: Tuv A C AC u v 4; 2 . 
 Chú ý: Ta có sơ đồ tổng quát: 
 T T
 u v
 A B C
 T
 u+v
 Ví dụ 10 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình bình hành với điểm , điểm thuộc 
đường thẳng . Tìm quỹ tích đỉnh ? 
 Lời giải 
 Vì hình bình hành nên 
 OABC TBCAO 
 Vậy quỹ tích điểm C là đường thẳng ' song song với . 
 Ta có: AO 2; 1 . 
 Vì Quỹ tích đỉnh là đường thẳng . 
 B C TAO 
 là hai đường thẳng cùng phương nên có dạng 20x y m . 
 TAO , 
 Chọn . 
 M 0; 5 TAO M M 2; 6 m 10
 Vậy phương trình : 2xy 10 0 . 
 Ví dụ 11 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ 
 có giá song song với biến thành đi qua 
 Lời giải 
 Véc tơ v có giá song song với Oy v 0; k , k 0 
 7 | HÌNH HỌC 11 | 
Dạng 2. Xác dịnh ảnh của một diểm hoặc hinh qua phep tịnh tiến bằng phương phap tọa độ 
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tọa độ điểm M là ảnh của điểm M 1;2 qua phép tịnh tiến 
 theo vectơ v 3;1 . 
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm , và . Tìm vectơ v. 
 A 2;2 B 4;6 TABv 
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độOxy , biết điểm là ảnh của điểm qua và điểm 
 M 3;0 M 1; 2 Tu
 là ảnh của qua . Tìm tọa độ vectơ uv . 
 M 2;3 M Tv
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho các điểm AB , lần lượt là ảnh của các điểm AB 2;3 , 1;1 
 qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3;1 . Tính độ dài vectơ AB . 
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các điểm ABC 3;0, 2;4, 4;5 . G 
 là trọng tâm tam giác ABC và phép tịnh tiến theo vectơ u 0 biến điểm A thành G . Tìm tọa 
 độ biết 
 G GTG u .
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng :xy 5 1 0 và vectơ v 4;2 . Khi đó tìm 
 ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo vectơ v . 
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v 4;2 và đường thẳng : 2xy 5 0 . Hỏi là ảnh 
 của đường thẳng nào qua 
 Tv.
 xt 12
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : và đường thẳng :xy 2 1 0
 yt 1 
 . Tìm tọa độ vectơ va1; biết 
 Tv .
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn C là ảnh của đường tròn 
 C : x22 y 4 x 2 y 1 0 qua phép tịnh tiến theo v 1;3 . 
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v 3; 1 và đường tròn C : x 4 2 y2 16 . Ảnh của 
 qua phép tịnh tiến là 
 C Tv
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho v 1; 2 và đường cong C : 2 x22 4 y 1 . Tìm ảnh của 
 qua phép tịnh tiến . 
 C Tv
 xy22
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip E :1 và véc tơ v 2;1 . Tìm ảnh của E 
 16 9
 qua phép tịnh tiến . 
 Tv
Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với ,a,b là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi 
 x' x .cos y .sin a
 điểm M x; y thành điểm M' x '; y ' trong đó: . Cho hai điểm 
 y' x .sin y .cos b
 M x11; y , N x22; y , gọi MN', ' lần lượt là ảnh của MN, qua phép biến hình F . Khi đó 
 khoảng cách d giữa M ' và N ' bằng bao nhiêu? 
 9 |