Chuyên đề Các hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng Toán 8

 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG 
A. Một số kiến thức cần nhớ 
 1. Nhắc lại những hằng đẳng thức đáng nhớ
 22
 Bình phương của một tổng: ()AB+ = A22 + 2ABB + =() AB − + 4AB 
 2 2 2
 Bình phương của một hiệu: ()()AB− = BA − = A22 − 2ABB + =() AB + − 4AB 
 Hiệu của hai bình phương: ABABAB22− =()() − +
 3
 Lập phương của tổng: ()A+ B = A3 + 3A 2 B + 3AB2 + B 3 = A 3 + B 3 + 3AB() A + B
 3
 Lập phương của hiệu: ()A− B = A3 − 3A 2 B + 3AB2 − B 3 = A 3 − B 3 − 3AB() A − B
 3
 Tổng hai lập phương: A3+ B 3 =() A + B( A2 − AB + B2 ) =()() A + B − 3AB. A − B
 3
 Hiệu hai lập phương: A3− B 3 =() A − B( A2 + AB + B2 ) =()() A − B + 3AB. A − B
 2. Một số hằng đẳng thức tổng quát
 a–bn n =() aba −( n− 1 + ab n − 2 ++ abn− 2 + b n − 1 )
 a–b2k 2k = () a–ba( 2k− 1+ ab 2k − 1 ++ abb2k− 3 2 + 2k− 1 )
 a2k+ 1+ b 2k + 1 =() aba–abab + ( 2k 2k− 1+ 2k − 2 2 −+ b2k )
 2
 ()a+ b + c = a2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
 3. Nhị thức Newton
 n n 1 n − 1 2 n − 2 2 n− 1 n − 1 n
 ()ab+ =a + Can bCa +n b ++ Cabn + b
 n n− 1 n − 2 ... n − k − 1
 k ()()() 
 Trong đó C =
 n 1.2.3...k
 Cách xác định hệ số của khai triển Newton. 
 n n− 1 n − 2 ... n − k − 1
 k ()()() 
 • Cách 1. Dùng công thức C =
 n 1.2.3...k
 7
 Chẳng hạn hệ số của hạng tử ab43trong khai triển của ()ab+ là 
 7.6.5.4 7.6.5.4
 C4 ===35 
 7 4! 4.3.2.1 + Chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức đại số. 
 + Áp dụng các hằng đẳng thức để giải mọt số bài toán số học và tổ hợp. 
Bài 1. Thực hiện phép tính. 
 22 2
 a) ()()3 – xy22 – 2+ xy b) 9x2 –() 3x – 4
 c) ()()a – b22 a+ b d) ()()a22+ 2a + 3 a + 2a − 3
 e) ()()x – y++ 6 x y – 6 f) ()()y+ 2z – 3 y − 2z − 3
 3 3
 g) ()2y – 3 h) ()2 – y
 i)()2y – 5( 4y2 ++ 10y 25) j) ()3y++ 4( 9y2 – 12y 16) 
 33 33
 k) ()()x – 3+ 2 – x l) ()()x+ y – x – y
• Định hướng tư duy. Sử dụng các hằng đẳng thức để khai triển các hạng từ rồi thu gọn
đa thức 
 Lời giải 
 22
 a) ()()3–xy2 –2+ xy2 = 9–6xy2 + xy 2 4 –4–4xy2 –xy 2 4 = 5–10xy2
 2
 b) 9x2 –()()()() 3x – 4= 3x – 3x + 4 3x + 3x – 4 = 4 6x – 4 = 24x – 16 
 c) ()()a – b2 a+= b2 a 2 – b 4
 2
 d) ()()()a2 + 2a3a +2 + 2a3 − = a2 + 2a –9a =4 + 4a 3 + 4a–9 2
 2
 e) ()()()x–y+ 6 x + y–6 = x–y–62 = x–y2 2 + 12y–36 
 2
 f) ()()()y+ 2z–3 y − 2z − 3 = y–3 –4z2= y–6y–4z 2 2 + 9 
 3
 g) ()2y – 3=+ 8y32 – 36y 54y – 27 
 3
 h) ()2–y=+ 8–12y 6y23 –y
 i) (2y – 5)(4y2 + 10y + 25) = 8y3 – 125
 j) ()3y+ 4( 9y23 – 12y+ 16) = 27y + 64 22
d) ()()()()mn+ –m–n+ m–nmn +
 =(m + n – m + n)( m + n + m – n) + m2 – n 2 = 4mn + m2 – n 2
 2 2 2
e) ()()()()(3x+ 1 –23x + 1 3x + 5 + 3x + 5 = 3x + 1–3x–5) = 16 
 2 2 2
f) ()()()()(a–b+ c –2a–b+ c c–b + b–c = a–b + c + b–c) = a2
g) ()2x – 5( 4x2 + 10x + 25)() 2x + 5( 4x2 – 10x+ 25) − 64x4
 = ()()8x3 – 125 8x3 + 125 = 64x6 − 125 2
 33
h) ()()a+ b + a–b –2a3= a 3 + 3ab 2 + 3ab2 + b 3 + a–3ab 3 2 + 3ab–b–2a2 3 3= 6ab 2
 2 2 2 2
i) ()()()()xyz+ + + x–y + x–z + y–z–3x()2+ y 2 + z 2
=++++++x2 y 2 z 2 2xy 2yz 2zx x2 – 2xy ++ y2 x 2 – 2zx ++ z2 y 2 – 2yz
 +=z2 –3x 2 –3y 2 –3z 2 0
•
Bài 3. Tìm x biết. 
 32
 a) ()()x–3 –x–3() x2 + 3x + 9 + 9x1() + = 15 b) 4x2 −= 81 0 
 c) xx–5()()() x+ 5–x–2() x2 + 2x + 4 = 3 d) 25x2 – 2= 0 
 22 2
 e) ()()x+= 2 2x – 1 f) ()x+ 2 – x + 4 = 0 
 2 2
 g) ()x–222+ 4x–1–4x() ()− 2x1() − = 0
 Định hướng tư duy. Bài toán tìm x là một dạng bài tập tìm giá trị của biến khi biết giá
trị của biểu thức. Với các bài tập trên để tìm được x trước hết ta cần sử dụng các hằng đẳng 
thức để khai triển các hạng từ rồi thu gọn biểu thức rồi mới đi tìm giá trị của x từ đẳng 
thức đơn giản cuối cùng. 
 Lời giải 
 32
a) ()() x–3 –x–3() x2 + 3x + 9 + 9x() + 1 = 15
 2
 x3 – 9x 2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + 9 = 15 45x = 6 x =
 15
 81 9
b) 4x22− 810 = x = x = 
 42 A= 1–22 2 + 3–4 2 2 + –2018 2 + 2019 2
 = 1 +( 3–22 2) +( 5–4 2 2) ++ ( 2019–2018 2 2 )
 = 1 +( 3 + 2)( 3–2) +( 5 + 4)( 5–4) ++( 2019 + 2018)( 2019–2018) 
 (1+ 2019) .2019
 =++++++1 2 3 4 5 2019 + 2019 = = 1010.2019
 2
b) Ta có 
 B=( 212 +)( 2 + 12)( 4 + 1212)( 8 +)( 16 + 12)( 32 + 1–2) 64
 =(22 −12)( 2 + 12)( 4 + 12)( 8 + 12)( 16 + 12)( 32 + 1–2) 64
 =(2–124)( 4 + 12)( 8 + 12)( 16 + 12)( 32 + 1–2) 64
 =... =( 232 − 1)( 2 32 + 1) – 2 64 = 2 64 – 1– 2 64 = − 1
Bài 5. 
 a) Cho x−= y 7 . Tính giá trị biểu thức: A= x( x + 2) + y( y – 2) – 2xy 
 B=+ x3 – 3xy( x – y) – y 3 – x 2 2xy – y 2 
•
 b) Cho x+= 2y 5. Tính giá trị biểu thức: C= x22 + 4y – 2x + 10 + 4xy – 4y. 
 Định hướng tư duy. Quan sát giả thiết của bài toán ta thấy có hai hướng 
+ Hướng 1. Biến đổi biểu thức làm xuất hiện các hạng tự có dạng xy− và x+ 2y . 
+ Hướng 2. Thay x=+ y 7 và x=− 5 2y tương ứng vào các biểu thức rồi thu gọn biểu 
thức. 
 Cả hai hướng trên ta đều cần sử dụng biến đổi để đưa về các hằng đẳng thức đáng 
nhớ hoặc khai triển các hằng đẳng thức đáng như. 
 Lời giải 
 2
a) A= xx( + 2) + yy–2–2xy( ) = x22 + 2x + y–2y–2xy =( x–y) + 2x–y( ) 
Thay x−= y 7 vào biểu thức A ta được A= 72 + 2.7 = 63 
 32
 B= x–3xyx–y–y–x3( ) 3 2 + 2xy–y 2 = ( x–y) –x–y( ) 
Thay vào biểu thức ta được B== 732 –7 294 
 2
b) C= x22 + 4y – 2x + 10 + 4xy – 4y =( x + 2y) – 2( x + 2y) (3) 
Thay vào biểu thức C ta được C== 52 – 2.5 15. Lời giải 
Biến đổi tương đương đẳng thức đã cho ta được 
 2
 ()()a++= b c 3 ab ++ +++++=++ bc ca a2 2ab b2 2bc 2ac c2 3ab 3bc 3ac
 ++−−a2 b 2 c 2 ab bc – ac = ++−− 0 2a2 2b 2 2c 2 2ab 2bc – 2ac = 0
 2 2 2
 ()()()a–b + b–c + c–a = −=−=−= == 0 abbcca0 abc
Bài 8. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 thỏa mãn a+ b = c + d và a2+ b 2 = c 2 + d 2 . 
Chứng minh rằng: a2018+ b 2018 = c 2018 + d 2018
 Định hướng tư duy. Quan sát giả thiết của bài toán và đẳng thức cần chứng minh ta dự
đoán rằng a== c; b d hoặc a== d; b c . Như vậy ta đi chứng minh ac= hoặc ad= , 
điều này đồng nghĩa với ()()a− c a − d = 0 .
 Lời giải 
 22
Từ a+ b = c + d ta được ()()a+ b = c + d a2 + b 2 + 2ab = c2 + d 2 + 2cd . 
•
Kết hợp với a2+ b 2 = c 2 + d 2 ta được ab= cd. 
Cũng từ a+ b = c + d ta được b= c + d − a, thay vào ab= cd ta được 
 a() c+−= +−= −−+= − d a cd ac ad a22 cd a ac ad cd 0()() a c a −= d 0
+ Nếu a−= c 0 ta được ac= , suy ra bd= . Khi đó ta được a2018+ b 2018 = c 2018 + d 2018
+ Nếu a−= d 0 ta được ad= , suy ra bc= . Khi đó ta được a2018+ b 2018 = c 2018 + d 2018
Vậy bài toán được chứng minh hoàn tất. 
Bài 9. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 thỏa mãn các điều kiện a+ b = c + d và 
a3+ b 3 = c 3 + d 3 . Chứng minh rằng a2019+ b 2019 = c 2019 + d 2019
 Lời giải 
Từ a3+ b 3 = c 3 + d 3 ta được ()a+ b() a2 − ab + b2 =() c + d() c2 − cd + d2 . Ta xét hai 
trường hợp sau: 
• Trường hợp 1. Khi a+ b = c + d = 0 ta suy ra được ab=− và cd=− . 
Khi đó dễ thấy a2019+ b 2019 = c 2019 + d 2019 = 0. 
• Trường hợp 2. Khi a+ b = c + d 0 . Khi đó ta được a2 − ab + b2 = c 2 − cd + d2 . 
 22
Từ a+ b = c + d ta được ()()a+ b = c + d a2 + b 2 + 2ab = c2 + d 2 + 2cd . + Lời giải 1. Từ b32− 3b + 5b + 11 = 0 ta được 
 b3−++= −+−+ 3b 2 5b110( b3 6b 2 12b8)() 3b2 −++−+= 4b4 5b2() 17 0
 3 2 2 2
 −+()()()b2 3b2 −+ 5b2170 −+= −−+()()() 2b 3b2 −− 52b170 −+=
 2 2 2 2
 −−− 2b 3b2 −+−−= −− 52b17 0 2b 3b2 −+−−= 52b170
 ()()() ()()()
Từ đó kết hợp với a32− 3a + 5a − 17 = 0 ta suy ra được 
 22
 a32−+−=−−−+−−= 3a 5a17()()() 2b 3b2 52b 170
Do vậy ta có a=− 2 b hay a+= b 2 
+ Lời giải 2. Xét a=− 2 b thay vào vế trái của a32− 3a + 5a − 17 = 0 , ta có 
 32
 a32− 3a + 5a − 17 =()()() 2 − b − 3 2 − b + 5 2 − b − 17
 =8 − 12b + 6b2 − b 3 − 12 + 12b − 3b2 + 10 − 5b − 17
 =−+b3 3b 2 −−=− 5b 11( b3 − 3b 2 ++ 5b 11) = 0
Điều này dẫn đến a=− 2 b thỏa mãn a32− 3a + 5a − 17 = 0 . Từ đó suy ra a+= b 2 . 
 3
• Lời giải 3. Ta có a3− 3a 2 +−=− 5a 17 a3 3a 2 +−+−=−+ 3a 1 2a 16()() a 1 2 a −− 1 14 . 
Đặt x=− a 1, khi đó kết hợp với giả thiết ta được x3 + 2x − 14 = 0
 3
Ta cũng có b3− 3b 2 ++=− 5b11 b3 3b 2 +−++=−+ 3b12b12()() b1 2b1 −+ 14
 Đặt y=− b 1, khi đó kết hợp với giả thiết ta được y3 + 2y + 14 = 0. Kết hợp hai kết 
quả ta được 
 x3 +−+++= ++ 2x14y3 2y140 x3 y 3 2xy()() += + 0 xyx( 2 −++= xyy2 2) 0
 2 2 2 2
 2 2 2 y 3y y 3y
Dễ thấy x−++=−++ xy y 2 x xy +=+2 x + + 2 0 . 
 4 4 2 4
Do đó ta được x+= y 0 hay a− 1 + b − 1 = 0 nên a+= b 2 . 
• Lời giải 4. Cộng theo vế các hệ thức đã cho ta được