Chuyên đề Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7

 TOÁN HỌC LỚP 7 
 CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ 
I. ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP 0 1 2 
- Số tự nhiên: N 
- Số nguyên: Z -2 -1 0 1 2 
- Số hữu tỉ: Q 2 1 -1/2 0 1 3/2 2 
- Số vô tỉ: I 0 2 
 - Số thực: I+Q=R 
II. Số hữu tỉ: 
1. Kiến thức cần nhớ: 
- Số hữu tỉ có dạng trong đó b≠0; là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái 
dấu. Số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hữu tỉ âm. 
- Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: 
Cách 1:Số thập phân vô hạn tuần hoàn (Ví dụ: ) và số thập phân hữu hạn (Ví dụ: ) 
Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và số 0 
- Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực hiện như phân số: 
 Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ 
 1. Qui tắc 
 - Đưa về cùng mẫu, rồi cộng trừ tử số giữ - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu 
 nguyên mẫu. - Phép chia là phép nhân nghịch đảo. 
 - Nghịch đảo của x là 1/x 
 Tính chất 
 x.y=y.x ( t/c giao hoán) 
 a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x . y = (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) 
 y. z x.1=1.x=x 
 b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) x. 0 =0 
 (x.y)z = x(y.z) x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối 
 c) Tính chất cộng với số 0: của phép nhân đối với phép cộng 
 x + 0 = x; 
 Bổ sung 
Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa là: 
 ; ; x.y=0 suy ra x=0 hoặc y=0 
 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) 
- Các kí hiệu: : thuộc , : không thuộc , : là tập con TOÁN HỌC LỚP 7 
* Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số. 
* So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1 
* Dựa vào phần bù của 1. 
* So sánh với phân số trung gian( là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia) 
BÀI TẬP 
Bài 1. So sánh các số hữu tỉ sau: 
 25 444 1 110 17
a) x và y ; b) x2 và y c) x và y = 0,75 
 35 777 5 50 20
Bài 2. So sánh các số hữu tỉ sau: 
 1 7 3737 37 497 2345 1 1
a) và ; b) và ; c) và d) và 
 2010 19 4141 41 499 2341 2 3
 2 3 2000 2001 2001 2002 3 4 19 31
e) và f) và ; g) và ; h) và ; k) và 
 5 4 2001 2002 2000 2001 5 9 60 90 
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số hữu tỉ dương, âm, là số 0 (không dương không âm). 
Phương pháp: 
Dựa vào t/c là số hữu tỉ dương nếu a,b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a,b trái dấu, bằng 0 nếu a=0. 
 m 2011
Ví dụ: Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của m thì : 
 2013
a) x là số dương. b) x là số âm. c) x không là số dương cũng không là số âm 
HD: 
a. Để x>0 thì , suy ra m-2011>0 ( vì 2013>0), suy ra m>2011 
b. Để x0), suy ra m<2011 
c. Để x=0 thì , suy ra m-2011=0 suy ra m=2011 
BÀI TẬP: 
 20m 11
Bài 1. Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của m thì: 
 2010
a) x là số dương. b) x là số âm 
 7
Bài 2. Hãy viết số hữu tỉ dưới dạng sau: 
 20
 a) Tổng của hai số hữu tỉ âm. 
 b) Hiệu của hai số hữu tỉ dương. 
 1
Bài 3. Viết số hữu tỉ dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm. 
 5
 11
Bài 4. Hãy viết số hưu tỉ dưới các dạng sau: 
 81
a) Tích của hai số hữu tỉ. b) Thương của hai số hữu tỉ. TOÁN HỌC LỚP 7 
Cách 2:Dùng dấu hiệu chia hết: 
 - Các bước làm: 
 - Tìm điều kiện. 
 - , nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu 
Điều kiện: x ≠ 1. 
Ta có: 
 x-1 x-1 nên 2(x-1) x-1 hay 2x-2 x-1 (1) 
Để B nguyên thì 2x+3 x-1 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 2x+3-(2x-2) x-1 hay 5 x-1. Suy ra (x-1) Ư(5)={-5;-1;1;5} 
 x-1 -5 -1 1 5 
 x -4 0 2 6 
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên 
Giải: Ta có suy ra suy ra. 
Hay (6x+4)-(6x+3) => 1 2x+1=> 2x+1 Ư(1)={-1;1} 
suy ra x=0, -1 
Ví dụ: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên: 
a. A= b. B= 
HD: 
a. Ta có : x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x2+4x x+4 (1) 
Để A nguyên thì x2+4x+7 x+4 (2) . Từ (1) (2) suy ra 7 x+4 . 
 x+4 -1 1 -7 7 
 X -5 -3 -11 3 
b. x+4 x+4, suy ra x(x+4) , hay x2+4x x+4 (1) 
Để B nguyên thì x2+7 x+4 (2) 
Từ (1) (2) suy ra (x2+4x)- (x2+7) x+4 
4x-7 x+4 => 4(x+4)-23 x+4 => 23 x+4 
 x+4 -1 1 -23 23 
 x -5 -3 -27 19 TOÁN HỌC LỚP 7 
Dạng 7: Các bài toán tìm x. 
Phương pháp: 
- Quy đồng khử mẫu số 
- Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế ( chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x 
Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không. 
- Chú ý các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các 
bài toán tìm x có quy luật. 
BÀI TẬP 
Bài 1. Tìm x, biết: 
 35 528 215 42
a) x. ; b) 1.x ; c) x: ; d) :x 
 721 99 516 75
Bài 2. Tìm x, biết: 
 253 313
a) x ; b) x 
 3710 427
Bài 3. Tìm x, biết: 
 13 33 2413 x5 x6 x7
a) xx ; b) x:x0 ; c) 3
 25 25 3927 2005 2004 2003 
 x 13xxx 57 x 29xxx 27 17 15
Bài 4: a) b) 
 65 63 61 59 31 33 43 45
 x 6xx 8 10 x 12 1909 x 1907xxx 1905 1903
 c) d) 40 
 1999 1997 1995 1993 91 93 95 91
 x 29xxxxx 27 25 23 21 19
 e) 
 1970 1972 1974 1976 1978 1980
 x 1970xxxxx 1972 1974 1976 1978 1980
 29 27 25 23 21 19
HD: 
 => => x= -2010 
Bài 5:Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) 
 x 13xxx 57
 a) (HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử) 
 35 33 31 29
 x 10xxxx 8 6 4 2
 b) (HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử) 
 1994 1996 1998 2000 2002
 x 2002xxxx 2000 1998 1996 1994
 246810
 x 1991xxxx 1993 1995 1997 1999
 c) 
 97531 TOÁN HỌC LỚP 7 
- Tính số các số hạng: 
- Tổng = 
Ví dụ: 1+2+3+..+99 (khoảng cách bằng 2) 
số các số hạng: số hạng 
Tổng = 
Chú ý: 
A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ] 
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.+ (n – 1) n = n. (n – 1 ).(n + 1) 
A = 1+2+3++(n-1)+n = n (n+1):2 
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1) 
A = 12 +22 +32+...+992 +1002 = n(n+1)(2n+1):6 
Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n: 
Phương pháp: 
- Tính A.n 
- Tính A.n-A rồi suy ra tổng A 
Ví dụ: A= 2+22+23.+2100 (ở đây n=2: số đứng sau gấp số đứng trước 2 đơn vị) 
Ta có : 2.A=22+23 +24.+2101 (nhân 2 vế với n=2) 
 2A-A=22+23 +24.+2101 -(2+22+23.+2100) (chú ý: 2A-A=A) 
A=2101-2 
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 2 số có hiệu không đổi. 
Phương pháp: 
Phân tích tử số thành hiều 2 số dưới mẫu 
Ví dụ: A= 
 = 
BÀI TẬP: 
 11 1 1 11
 A = ... . 
 199 199.198 198.197 197.196 3.2 2.1
 222 2 2
 B = 1... . 
 3.5 5.7 7.9 61.63 63.65
 11 111
Tìm x, biết: 
 x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) x 2010
Tính tổng các phân số có tử số không đổi, mẫu số là tích của 3 số có hiệu số cuối trừ số đầu không 
đôi: 
Phương pháp: TOÁN HỌC LỚP 7 
 10 10 10 10 4 4 4 4
c) C ... d) D ... 
 7.12 12.17 17.22 502.507 8.13 13.18 18.23 253.258
Bài 9: 
 1 1 1 1 1 1 1 1
a) A ... b) B ... 
 2.9 9.7 7.19 252.509 10.9 18.13 26.17 802.405
 2 3 2 3 2 3
c) C ... 
 4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405
 1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
d) ( ... ) 
 4.9 9.14 14.19 44.49 89
Bài 10: Tìm x 
 x 1 1 1 1 5 7 4 4 4 4 29
a) ... b) ... 
 2008 10 15 21 120 8 x 5.9 9.13 13.17 41.45 45
 1 1 1 1 15
c) ... 
 3.5 5.7 7.9 (2x 1)(2x 3) 93
Bài 11: Chứng minh 
 1 1 1 1 n
a) ... 
 2.5 5.8 8.11 (3n 1)(3n 2) 6n 4
 5 5 5 5 5n
b) ... 
 3.7 7.11 11.15 (4n 1)(4n 3) 4n 3
 3 3 3 3 1
c) ... 
 9.14 14.19 19.24 (5n 1)(5n 4) 15
 4 4 4 16 16
Bài 12:Cho A ... Chứng minh: A 
 15.19 19.23 399.403 81 80 
Bài 13: Cho S= Chứng minh S<4 
HD: 2S= Suy ra 2S-S= 
Bài 14: Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số có ba chữ số giống nhau . 
 n(n 1)
HD: 111a 3.37.a (vì aaa=111.a) nên n=37 hoặc n+1=37 ta tìm được n=36. 
 2
 CHUYÊN ĐỀ II: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Kiến thức cần nhớ 
 Nếu a 0 a a 
 Nếu a 0 a a 
 Nếu x-a 0=>||x-a = x-a 
 Nếu x-a 0=>||x-a = a-x