Chuyên đề Các dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi - Hình học 7

 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 HÌNH HỌC LỚP 7 
 CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC TRONG TAM GIÁC 
I. Cơ sở lí thuyết 
Để giải tốt các bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến 
 thức sau: 
 Trong tam giác: 
o Tổng số đô ba góc trong tam giác bằng . 
 o Biết hai góc ta xác địn được góc còn lại. 
 o Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó. 
 Trong tam giác cân: biết một góc ta xác định được hai góc còn lại. 
 Trong tam giác vuông: 
o Biết một góc nhọn, xác định được góc còn lại. 
o Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số 
 đo bằng . 
 Trong tam giác vuông cân: mỗi góc nhọn có số đo bằng . 
 Trong tam giác đều: mỗi góc có số đo bằng . 
 Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau. 
 Hai đường phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là . 
 Hai đường phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là . 
 Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. 
 Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cung phía,  
Khi giải bài toán về tính số đo góc cần chú ý: 
1. Vẽ hình chính xác, đúng với các số liệu trong đề bài để có hường chứng minh 
 đúng. Lại có (c.g.c) => 
=> 
 A
 M
Cách 2. (Hình 2) D
Vẽ đều (M, D khác phía so với AC). 
 Ta có (c.g.c) => (1) 
=> cân tại D, => (2) 
 B C
 Từ (1) và (2) suy ra . 
Từ hướng giải quyết trên chúng ta thử giải Bài toán1 theo các phương án sau: 
 Vẽ đều (C, D khác phía so với AB) 
 Vẽ đều (B, D khác phía so với AC) 
 Vẽ đều (D, C khác phia so với AB) 
.. 
Lập luận tương tự ta cũng có kết quả. 
Bài toán 2. Cho cân tại A, . Đường cao AH, các điểm E, F theo 
 thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho . Tính 
 Hướng giải 
 A
 Vẽ đều (B, D khác phía so với AC) 
 cân tại A, (gt) 
=> mà (gt) F
 E
 => , => cân tại F. 
 D
=> , mặt khác , FD chung 
 C
 B H
 Do AH là đường cao của tam giác cân BAC 
 => , (vì đều), (gt) 
 A
 Khai thác 
Chúng ta có thể giải Bài toán 3 theo cách sau: E C
Vẽ đều (D, E khác phía so với AC) 
 B
 D
 Một số bài toán tương tự 
Bài toán 3.1. Cho , . Kẻ tia . Kẻ AD sao cho 
 (B, D cùng phía so với AC). Tính 
Bài toán 3.2. Cho , (B, H khác phía so 
 với AC). Tính 
 Bài toán 3.3. Cho . Điểm M nằm 
 trong tam giác sao cho . Tính 
 Bài toán 4. Cho . M là điểm nằn trong tam giác sao 
 cho . Tính 
 Nhận xét 
Xuất phát từ giả thiết và liên hệ giữa góc với ta có 
 . Từ đó nghĩ đến giải pháp dựng tam giác đều. 
 Hướng giải D
Cách 1. (H.1) 
 A
Vẽ đều (A, D cùng phía so với BC) 
 Dễ thấy (c.g.c) và 
 (g.c.g) 
 M C
 cân tại B, 
 B 
Dạng 2. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có cạnh góc vuông 
 bằng nửa cạnh huyền 
Bài toán 6. Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH, trung 
 tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau. 
 Phân tích 
+/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia thành ba góc bằng nhau 
 cân tại A (Đường cao đồng thời là phân giác) 
 đồng thời là trung tuyến 
 A
 K
 +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến 
 C
 B
 và liên quan đến HM = H M
 HB = BM = MC 
 Kẻ MK AC tại K. Khi đó có sơ sơ đồ phân tích. 
 Hướng giải 
Vì tại K. Xét có 
AH là đường cao ứng với BM 
AH là đường phân giác ứng với cạnh BM (vì ) 
Nên cân tại đỉnh A 
=> H là trung điểm BM Bài toán 8. Cho có ba góc nhọn. Về phía ngoài của ta vẽ các tam 
 giác đều ABD và ACE. I là trực tâm , H là trung điểm BC. Tính 
 Phân tích 
 là một nửa tam giác đều 
 =>, vẽ thêm đường phụ để xuất hiện nửa tam giác đều (còn lại) E
 => Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF 
 A
 Hướng giải D
 I
 Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF 
 Ta có 
 B H C
 Ta có IA = IB và (vì đều) 
 Mà 
 F
 cân tại I mà 
 Khai thác 
 Với cách giải này nhiều em đã phát hiện và đề xuất cách vẽ đường phụ như sau: 
 Lấy K đối xứng với I qua H (H.1) 
 Lấy M đối xứng với B qua I (H.2) 
 E
 E
 M
 A
 A D
D I
 I
 B H C
 B H C đều => AS = SM = AK 
 cân tại A 
Cách 2. 
Lấy D đối xứng B qua AM => cân tại A A
 Mà đều 
 Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), ( ) D
 Mà 
 I
 Mặt khác xét có B C
 M
 cân tại D => AD = CD 
Mà AD = BD ( đều) 
Vậy vuông cân tại D => 
Bài toán 10. Cho . D là điểm thuộc đoạn AC sao cho 
 AD = 2DC. Tính 
 Hướng giải 
 Kẻ sao cho EA = ED, với EF = AD (B, F khác phía so với AC) 
Ta có (c.g.c) (*) B
 vuông cân tại D 
 (1) E
 A C
Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho AI = 2AB D
Dễ thấy (c.g.c) => (2) 
 Từ (*), (1) và (2) ta có 
 I F
 Nhận xét Bài toán 12. Cho . D là điểm thuộc đoạn AC sao cho 
 DC=AB. M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Tính 
 Hướng giải 
 Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = DC K
 Nối K với B ta có cân tại A (vì AB = DC) A
 D
 Mặt khác ta có MA = MD => MK = MC, BN = NC 
 => MN là đường trung bình của B C
 Nhận xét 
 Vì đâu ta có kẻ đường phụ AK? 
 +/ Thứ nhất: Ta có cân và biết . Như vậy các góc của sẽ tìm được. 
 +/ Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC 
 +/ Thứ ba: Do NB = MC 
 Với lí do thứ hai và ba ta có được góc cần tìm bằng . Vậy bài toán được giải 
 quyết. Sau khi nêu ra các lí do cơ bản đó, ta có các đường kẻ phụ khác như sau: 
 Lấy K đối xứng với A qua N 
 Lấy K là trung điểm của BD 
 Lấy K đối xứng M qua B 
 Lấy K đối xứng D qua N 
Bài toán trên có thể ra dưới dạng tổng quát như sau: Giữ nguyên giả thiết và thay 
 Một số bài toán tham khảo 
 Bài 1. Cho , các phân giác AD, CE cắt nhau tại F, , . 
 Tính 
 Bài 2. Cho , CA = CB, điểm M nằm trong tam giác sao cho 
 . Tính 
Bài 3. Cho cân tại C, , M nằm trong tam giác sao cho ABC = A’B’C’ 
 2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác 
 a.Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh – cạnh – cạnh ( c.c.c ) 
 Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó 
 bằng nhau. 
 ABC = A’B’C’ (c.c.c) 
 Nâng cao : quan hệ bằng nhau của hai tam giác có tính chất bắc cầu 
Nếu ABC = DEF; DEF = HIK 
Thì ABC = HIK 
b.Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh (c.g.c) 
 Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của 
 tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 
 ABC = A’B’C’ (c.g.c)