Chuyên đề Các dạng phương trình vi phân trong tích phân hàm ẩn - Đại số 12

 Giải tích 12| 
 NGUYÊN HÀM – 
 3 
 HƯƠNG TÍCH PHÂN VÀ ỨNG 
 C 
 CHỦ ĐỀ: NGUYÊNDỤNG HÀM – TÍCH PHÂN HÀM ẨN 
 (CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ẨN) 
DẠNG 1: Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức u x .. f x u x f x h x 
 Biết trước ux , hx . Tìm fx ? 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
 Từ đẳng thức 
 f x . u x h x . 
 Suy ra f x .d u x h x x f x . 
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 Câu 1 
 [Mức độ 3 ] Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn và 
 . Tính . 
 Lời giải 
 2 2 2 2
 Ta có 2xfxxfx . 3 x 1 xfx 3 x 1. 
 Lấy nguyên hàm hai vế ta có 
 2 2 2 3
 x f x dx= 3 x 1 dx x f x x x C . 
 xx3 1 11
 Mà f 1 3 3 2 C C 1 f x f 2 . 
 x2 4
 Câu 2 
 [Mức độ 3 ] Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn và 
 . Tính . 
 Lời giải 
 3 2 3 2 3 2
 Ta có fx 2 x 3 xxfx . fxxfx . 2 x 3 x xfx . 2 x 3 x . 
1 | Giải tích 12| 
 Câu 5 
 [Mức độ 3 ] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn , 
 , . Tính giá trị của biểu thức . 
 Lời giải 
 Xét phương trình 22xf x f x x , vì y f x có đạo hàm trên 0; nên liên tục trên 
 khoảng này. 
 1 
 Chia cả hai vế cho 2 x , ta được x f x  f x x x. f x x . 
 2 x 
 44 
 Lấy tích phân từ 1 tới 4 cả hai vế ta được x. f x d x x d x . 
 11
 4
 4
 23 14 1 14 17
 x. f x x 2 f 4 f 1 f 4 1 (vì f 11 ). 
 1
 3 1 3 2 3 6
 17
 Vậy f 4 . 
 6
 Câu 6 
 [Mức độ 3 ] Cho hai hàm số và có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức 
 Tính . 
 Lời giải 
 Ta có f x g x x f x g x fxgxx dd xfxgxx . 
 fxgxx dd xfxgx fxgxx . 
 C
 x f x g x C f x g x . Vì f 1 g 1 C C 4 
 x
 4 4
 Do đó f x g x . Vậy I f x g x d x 8ln 2 . 
 x 1
 Câu 7 
 [Mức độ 3] Cho là hàm số liên tục trên thỏa mãn với mọi và 
 . Tính . 
 Lời giải 
 Ta có f x f x sin x , với mọi x nên suy ra exf x e x f x e x .sin x , với 
 mọi . 
3 | Giải tích 12| 
 Câu 10 
 [Mức độ 4] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng và , . 
 Biết rằng , và , . 
 Tính tích phân theo và . 
 Lời giải 
  x 0;1 ta có: 
 x xf x 24 f x x 42 f x xf x x22 42 x xf x x f x 
 2 2 
 xx 4 2xf x x f x x22 4 x x
 . 
 22 2 
 f x f x f x f x 
 33sin22x .cos x 2sin 2 x sin x .cos x 4sin x .cos x
 Tính I dd x x 
 22
 f sin x f sin x 
 66
 1 3
 Đặt t sin x dd t cos x x, đổi cận xt , xt . 
 6232
 2
 2
 3 3 1
 3 
 2 2 2 2 
 tt 4 t 2 2 3 1 3ab 
 Ta có It d . 
 2
 1 ft ft 1 3 1 4b 4 a 4 ab
 2 f f 
 2 2
 2 
 Câu 11 
 [Mức độ 4] Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Biết 
 . 
 Tính 
 Lời giải 
 1
 x
 e f x f' x dx ae b 
 0
 1
 x ' x 1
 e f x dx ae b e f x ef 1 f 0 e 1 
 0 0
 Vậy ab 1; 1 
 Q a2018 b 2018 2 
5 | Giải tích 12| 
DẠNG 2: Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức 
 u x f x u x f x h x 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
 = Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức u x . f x u x f x h x 2 . 
Biết =trước u x , h x . Tìm fx ? 
 I Phương pháp chung: 
 u u . v uv
 Cơ sở của phương pháp 2 . 
 vv
 Bước 1. Chia hai vế của (2) cho ux2 ( ) 0 ta được 
 f x h x 
 u x . f x u x f x h x 2 . 
 u x u x 
 f x h x 
 Bước 2. Lấy nguyên hàm hai vế ta được dx . 
 u x u2 () x
 hx 
 Bước 3. Tính dx , từ đó suy ra fx . 
 ux2 ()
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 = Câu 1 
 =I 
 [Mức độ 3] Cho hàm số fx liên tục và có đạo hàm trên đoạn 0;1 thỏa mãn xf x f x x2 , 
 1
 với mọi x 0;1 và f 11 . Tính tích phân xf x d x 
   0
 Lời giải 
 Với x 0, ta có 
 xf x f x f x f x 
 2
 xf x f x x 2 11 xC 
 xx x
 f x x2 Cx . Vì f 11 nên C 0. Do đó f x x2 . 
 4 1
 11x 1
 Vậy xf x dd x x3 x . 
 00
 440
 Câu 2 
 [Mức độ 3] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 thỏa mãn f 14 và 
 f x xf x 23 x32 x . Tính f 2 
7 | Giải tích 12| 
 x2018
 Thay x 1 vào hai vế ta được C 0. f x 
 2015
 111 1 11 1
 Vậy f x d x x2018 d x . x 2019 .
 002015 2015 20190 2015 2019
 Câu 5 
 [Mức độ 4] 
 Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên 0;4 , thỏa mãn f x f x ex 21 x với 
 f 4 
 mọi x 0;4 . Tính f 0 
 e4
 Lời giải 
Chia cả hai vế cho e x ta có 
 exx f x e f x
 f x f x ex 2 x 1 2 x 1
 e2x
 f x f x 1 
 2x 1 2 x 1 2 x 1 C
 eexx3
 f 4 
Cho x 4, ta có 9 C 
 e4
 1
Cho x 0 , ta có fC 0 
 3
 f 4 26
Vậy f 0 
 e4 3
 Câu 6 
 [Mức độ 4] 
 2
 Cho hàm số fx có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f x 22 xf x xex và 
 f 0 2. Tính f 1. 
 Lời giải 
 2
Chia hai vế cho ex để thu được đạo hàm đúng, ta được 
 22
exx f x2 xe f x f x
 2222xx
 ee2xx
 fx 2
 2 xC
 ex
 2
Cho x 0 , ta có Cf 02 . Suy ra f x x2 2 ex 
Cho x 1, ta có fe 1 
9 |