Chuyên đề Các dạng bài toán về vị trí tương đối của mặt phẳng - Hình học 12

 HÌNH HỌC 12 
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
 DẠNG 2:VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG 
DẠNG 2.1. Các bài toán về vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng ( không chứa tham số) . 
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng: 
 1 :0A 1 x B 1 y C 1 z D 1 có vectơ pháp tuyến n1 A 1;; B 1 C 1 
 2 :0A 2 x B 2 y C 2 z D 2 có vectơ pháp tuyến n2 A 2;; B 2 C 2 
Khi đó: 
 n kn A;;;; B C k A B C
 12 1 1 1 2 2 2 ABCD1 1 1 1
 12 // 
 D kD
 12 D12 kD ABCD2 2 2 2
 n kn A;;;; B C k A B C
 12 1 1 1 2 2 2 ABCD1 1 1 1
 12  
 D kD
 12 D12 kD ABCD2 2 2 2
 1 cắt 2 n1 kn 2 A 1;;;; B 1 C 1 k A 2 B 2 C 2 
 1  2 n 1. n 2 0 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 
B/ CÁC VÍ DỤ. 
 Ví DỤ 1 
Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng: 
a) :x 2 y 3 z 4 0 và  :x 5 y z 9 0 
b) :x y z 5 0 và  : 2x 2 y 2 z 6 0 
c) :x 2 y 3 z 1 0 và  :3x 6 y 9 z 3 0 
 Lời giải : 
a) và  có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 1;2;3 và n2 1;5; 1 
 12
Ta thấy n kn . Do đó cắt . 
 15 12
 1 1 1 5
b) Ta thấy  // . 
 2226
 1 2 3 1
c) Ta thấy   . 
 3 6 9 3
DẠNG 2.2. Các bài toán về vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu (không chứa tham số). 
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
Cho mặt cầu S :––– x a 2 y b 2 z c 2 R2 tâm I a;; b c bán kính R và mặt phẳng 
 P :0 Ax By Cz D . 
 Nếu d I, P R thì mp P và mặt cầu S không có điểm chung. 
 Nếu d I, P R thì mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau. Khi đó (P) gọi là tiếp 
 diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm. 
1 
Gọi I là tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng Oxy và mặt cầu S . Khi đó, I là hình chiếu 
 11
vuông góc của tâm mặt cầu lên mặt phẳng Oxy nên I ; ;0 . 
 22
 1 1 1
Khi mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu S có tâm M ;; , bán kính 
 2 2 2
 2 2 2
 1 1 1 7
R 1 theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r thì ta có 
 2 2 2 2
 2 22
mối quan hệ như sau: d M, Oxy r R 
 22 2 6 6
 r R d M, Oxy r . 
 4 2
 Ví DỤ 6 
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 3 0 và mặt phẳng 
 P : 2 x 2 y z 0. Mặt phẳng P cắt khối cầu S theo thiết diện là một hình tròn. Tính diện 
của hình tròn đó. 
 Lời giải : 
 có tâm I 1;1; 2 và bán kính R 3. 
 2. 1 2.1 2 
Khoảng cách từ I đến P là d 2 . 
 222 2 2 1
Bán kính của hình tròn thiết diện là r R22 d 5 . 
Do đó diện tích của hình tròn thiết diện là 5 . 
 Ví DỤ 7 
Viết phương trình mặt phẳng P chứa trục Oz và cắt mặt cầu 
 S : x2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 6 0 theo đường tròn có bán kính bằng 3 . 
 Lời giải : 
Mặt cầu S có tâm I 1; 1;1 và bán kính R 122 1 2 1 6 3 . 
Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính bằng 3 nên P đi qua tâm I . 
Lại có P chứa trục Oz nên mặt phẳng P qua O và chứa k 0;0;1 . 
Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là OI, k 1; 1;0 và qua O nên có phương trình là: 
 x y 00 x y . 
 Ví DỤ 8 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 0 và 
điểm M 0;1;0 . Mặt phẳng P đi qua M và cắt S theo đường tròn C có chu vi nhỏ nhất. 
3 
 2x 3 y 4 z p 0.Tìm tất cả giá trị thực của tham số m,, n p để hai mặt phẳng đã cho trùng 
 nhau. 
 Lời giải 
Vec-tơ pháp tuyến của PQ , lần lượt là nP m; n 1;8 , nQ 2;3; 4 . 
 mn 18 m 4
Hai vec-tơ này cùng phương khi và chỉ khi . 
 2 3 4 n 5
 2 p
Suy ra P : 4 x 6 y 8 z 10 0. Do đó PQ , trùng nhau khi và chỉ khi p 5. 
 4 10
Vậy với m 4, n 5, p 5 thì 2 mặt phẳng trùng nhau. 
 Ví DỤ 12 
 Cho 2 mặt phẳng P và Q lần lượt có phương trình 2m 1 x 3 my 2 z 3 0, 
 mx m 1 y 4 z 5 0.Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hai mặt phẳng đã cho vuông 
 góc nhau. 
 Lời giải 
Vec-tơ pháp tuyến của lần lượt là nP 2 m 1; 3 m ;2 , nQ m; m 1;4 . 
Hai mặt phẳng vuông góc nhau khi và chỉ khi : 
 2 m 2
nPQ.021. n m m 3.12.40 m m m 280 m . 
 m 4
Vậy với m 2 hoặc m 4 thì 2 mặt phẳng vuông góc nhau . 
 Ví DỤ 13 
 Cho 3 mặt phẳng PQR ,, lần lượt có phương trình 2x my nz 3 0 , x y 3 z 1 0 
 và 2x 3 y z 1 0. Tìm tất cả các giá trị thực của mn, để 3 mặt phẳng trên cùng đi qua một 
 đường thẳng. 
 Lời giải 
 x y 3 z 1 0
Xét hệ 2 phương trình của QR , : . 
 2x 3 y z 1 0
 x y 14 x 
Cho z 0 . 
 2x 3 y 1 y 3
 x y 26 x 
Cho z 1. 
 2x 3 y 0 y 4
Ta được hai điểm A 4;3;0 và B 6; 4;1 thuộc 2 mặt phẳng . 
 5
 m 
 35m 3
Do đó ybct P đi qua 2 điểm AB,. 
 4mn 15 25
 n 
 3
5 
 Lời giải 
Mặt cầu S có tâm là I 3;1; 1 và bán kính R 3 . 
 27m 
dI ; . 
 10mm2 8 25
 27m 
Để tiếp xúc với S thì d I; R 3 
 10mm2 8 25
 2
 2m 7 3 10 m2 8 m 25 m 1.Vậy giá trị cần tìm của m là m 1. 
 Ví DỤ 17 
Trong không gian Oxyz , cho mặt (S ) : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z m 4 0 . Tìm số thực m để 
mặt phẳng (P ) : 2 x 2 y z 1 0 cắt S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 . 
 Lời giải 
x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z m 4 0 x2 y 2 z 2 2.( 1). x 2.( 2). y 2.3. z ( m 4) 0 
a 1, b -2 , c 3, dm -4 
Điều kiện: a2 b 2 c 2 d 0 10 m 0 m 10. 
Mặt cầu ()S có tâm I 1; 2;3 , bán kính Rm 10 .
 2.( 1) 2.( 2) 31 
d(, I() P) 2.
 2 
 222 21 
()P cắt theo một đường tròn có bán kính bằng d( I ,( P )) R22 3 
 2 m 10 32 m 3( thỏa mãn điều kiện) 
Vậy m 3 là giá trị cần tìm. 
 Ví DỤ 18 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z m 3 0 . 
Tìm số thực m để  : 2x y 2 z 8 0 cắt S theo một đường tròn có chu vi bằng 8 . 
 Lời giải 
Mặt cầu S có tâm I 1;2;3 và bán kính Rm 17 m 17 . 
Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8 nên bán kính của nó là r 4. 
 2 2 6 8
Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là d d I,2  . 
 22 1 1 2 2
Theo công thức R2 r 2 d 2 ta có 17 m 16 4 m 3. 
 Ví DỤ 19 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x y 2 z m 0 và mặt cầu 
 S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0 . Tìm giá trị của m để mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo 
giao tuyến là đường tròn T có chu vi bằng 43 . 
 Lời giải 
Mặt cầu S cótâm I 1; 2;3 và bán kính R 4 . 
Gọi H là hình chiếu của I lên P . 
7 
 br 2 5 0
 2 2
 a 0 Suy ra I 0;5 r 2; 5 S : x22 y 5 r 2 z 5 r . 
 c 5
 2 r 22
Lại có AS nên suy ra: 4 115 r 2 r22 r 122400 r 
 r 10 2
TH2: b c r2 m2 2 ma b c r 2 10 0làm tương tự TH1 (trường hợp này không thỏa 
đề bài ) 
Tóm lại: Khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng P và cùng đi qua A 
và có tổng bán kính là: 12 2 
 Ví DỤ 22 
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 0;8;2 , B 9; 7;23 và mặt cầu S có phương trình 
 2 2 2
 S : x 5 y 3 z 7 72 . Mặt phẳng P : x by cz d 0 đi qua điểm A và tiếp 
xúc với mặt cầu S sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng P lớn nhất. Tính giá trị lớn 
nhất của . 
 Lời giải 
 Vì AP nên ta 8b 2 c d 0 d 82 b c P : x by cz 8 b 2 c 0. 
 5 11bc 5
Do P tiếp xúc với mặt cầu S nên d I; P R 62. 
 1 bc22
 9 7b 23 c 8 b 2 c 5 11b 5 c 4 1 b 4 c 
Ta có: d B; P 
 11 b2 c 2 b 2 c 2
 5 11b 5 c 1 b 4 c 14 bc
 4 6 2 4 
 11 b2 c 2 b 2 c 2 1 bc22
 22
Cosi Svac 1 1 16 1 bc 
 6 2 4 18 2 . 
 1 bc22
 c
 1 b b 1
 4
Dấu “=” xảy ra khi c 4 . 
 5 11bc 5
 62
 22 d 0
 1 bc
 b 1
Vậy max 18 2 khi c 4 . 
 d 0
DẠNG 2.5. Một số bài toán khác 
 Ví DỤ 23 
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 2 y 3 2 z 4 2 2 và điểm A 1;2;3 . Xét 
các điểm M thuộc S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với S .Viết phương trình mặt phẳng 
9