Chuyên đề Các dạng bài toán về tỉ số thể tích - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. 
 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
 BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
DẠNG 8: Các bài toán về tỉ số thể tích 
Dạng 8.1. Thể tích khối chóp 
Kiến thức cần nhớ: 
Cho hình chóp S. ABC gọi ABC ,, lần lượt là các điểm thuộc cạnh SA,, SB SC tương ứng (không 
 V SA SB SC 
trùng với S ) thì SABC. .. 
 VS. ABC SA SB SC
Đặc biệt: 
+ Nếu hai hình chóp có đáy cùng nằm trong một mặt phẳng và có đỉnh nằm trên đường thẳng song 
 VS11
song với đáy thì , trong đó SS12, lần lượt là diện tích đáy của hình chóp có thể tích VV12, 
 VS22
tương ứng. 
+ Nếu hai hình chóp có cùng đáy và hai đỉnh nằm trên đường thẳng cắt mặt đáy thì 
V1 h 1 S 1 M
 , trong đó hh12, lần lượt là đường cao của hình chóp có thể tích tương ứng và 
V2 h 2 S 2 M
M là giao điểm của SS12 với mặt phẳng đáy (với là đỉnh của các hình chóp). 
+ Cho hình chóp SAAAA.1 2 3 ... n . Gọi () là mặt phẳng song song với mặt đáy của hình chóp và cắt 
các cạnh SA12, SA ,..., SAn lần lượt tại MMM12, ,..., n (mặt phẳng không đi qua đỉnh). Khi đó, ta 
 V SM
có SMMMM.1 2 3 ... n k 3 , trong đó k 1 . 
 V SA
 SAAAA.1 2 3 ... n 1
Tình huống 1: Chóp có đáy là tam giác 
 Ví dụ 1 
 Cho hình tứ diện đều . Điểm là trung điểm của cạnh . Tính tỉ số thể tích của khối 
 tứ diện và . 
 Lời giải 
 A
 M
 D B
 C
Cách 1. Xét hai khối chóp A. BCD và AMBCD. có 
V AM AC AD1 AM
 A.D MC .. 
VA.D BC AB AC AD2 AB
1 Hình học lớp 12 | 
Theo giả thiết thì ED, lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên SB,. SA 
 3
 12a VSCED SE SD SE SD
Ta có: VSABC SC. S ABC và . hay VVSCDE ... SABC 
 33VSABC SB SA SB SA
 2
 2 SE SC 2
Trong tam giác vuông SBC có SC SE.. SB 
 SB SB 3
 2
 2 SD SC 1
Trong tam giác vuông có SC SD.. SA 
 SA SA 2
 12a3
Vậy VV . 
 SCED39 SABC
 Ví dụ 4 
 Cho hình chóp tam giác có là trung điểm của , là điểm trên cạnh sao cho
 , là điểm trên cạnh sao cho . Kí hiệu lần lượt là thể tích của các 
 khối tứ diện và . Tính tỉ số . 
 Lời giải 
 S
 P
 M N
 C
 A
 B 
3 Hình học lớp 12 | 
VSN. QPCd N, QPC QPC NB CQ CP 1 1 2 2
 ..... . 
VS. ABCd S, ABC S ABC SB CA CB 3 3 3 27
VVVVV10 2 4 4 4
 1 N.. SMQC N QPC 1 1 . 
VVVVVVB. ASC S . ABC 27 27 9 1 2 9 2 5
Bài tập củng cố 
Bài 1. Cho hình tứ diện đều ABCD có M là trung điểm cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh CD sao 
cho CN 2 ND . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện và MNBC . 
 Lời giải 
Ta có 
 V 1
+ M là trung điểm của AB nên ta có B. MCN 
 VB. ACN 2
 NC 2 V 2
+ N là điểm thuộc cạnh CD mà nên . Do đó, ta có N. ABC 
 DC 3 VD. ABC 3
 VVVV2 1 1
Suy ra B...D MCN B MCN. N ABC . ABC 3 
 VVVVD... ABC B ACN D ABC3 2 3 MNBC
Bài 2. Cho khối chóp S. ABC có thể tích V . Gọi MNP, , lần lượt là các trung điểm của cạnh
 V
SA, SB , SC tương ứng. Gọi V là thể tích khối đa diện MNPBCD . Tính 1 
 1 V
 Lời giải 
 S
 M N
 N
 A B
 C
 SM SN SP 1
Vì MNP, lần lượt là trung điểm của nên ta có . Vì vậy 
 SA SB SC 2
V1 VS. MNP SM SN SP 1 1 1 1
 .... 
V VS. ABC SA SB SC 2 2 2 8
Bài 3. Cho khối chóp . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Gọi K là giao điểm của SG với 
đường thẳng nối trung điểm của AB và SC Mặt phẳng chứa AK và song song với BC chia 
khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 
 Lời giải 
5 Hình học lớp 12 | 
 SM 1
Bài 5. Cho khối tứ diện S. ABC cà hai điểm MN, lần lượt thuộc các cạnh SA, SB sao cho ,
 MA 2
SN
 2 . Mặt phẳng P đi qua hai điểm và song song với SC chia tứ diện thành hai phần. 
NB
Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 
 Lời giải 
Mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với cắt hai mặt phẳng SAC , SBC theo 
các giao tuyến ML, NK cùng song song với . 
Ta có: 
 CL SM12 CK SN
+ ,. 
 CA MA33 CB NB
Gọi VVV,,12 lần lượt là thể tích khối đa điện S. ABC D, SCMNKL , ABMNKL . 
 VVCL CK 2
+ SKLC CSKL . 
 V V CA CB 9
 V SM 1
+ SKLM 
 VSKLA SA 3
 V dt( ALK ) dt ( ALK ) dt ( AKC ) AL CK 2 2 4
+ SKLA ... 
 V dt( ABC ) dt ( AKC ) dt ( aBC ) AC CA 3 3 9
 V 1 4 4
Suy ra SKLM . 
 V 3 9 27
 V SM SN 1 2 2
+ SMNK .. 
 VSABK SA SB 3 3 9
 V dt( ABK ) BK 1
+ SABK 
 V dt( ABC ) BC 3
 V 2 1 2 VVV2 4 2 4 4 5
Suy ra SABK . . Do đó, ta có 1 1 1 
 V 9 3 27 VVVV9 27 27 921 9 4 9
Tình huống 2: Chóp có đáy là tứ giác 
Phương pháp giải: 
Bước 1: Phân chia lắp ghép khối chóp tứ giác đã cho thành nhiều khối chóp tam giác. 
Bước 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác và các kĩ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật 
chuyển đáy để tính thể tích các khối tam giác. 
Bước 3: Kết luận. 
 Ví dụ 6 
 Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm của . Tỉ số thể tích 
 của khối chóp và khối chóp . 
 Lời giải 
7 Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 8 
 Cho hình chóp có thể tích với đáy là hình bình hành. Mặt phẳng qua 
 cắt cạnh tại với là các điểm thuộc , sao cho , . Tính thể tích 
 khối đa diện . 
 Lời giải 
 S
 P
 N Q
 I
 M
 A D
 O
 B C
Ta có công thức cho bài toán tổng quát: cho hình chóp S. ABCD đáy là hình bình hành. Mặt phẳng 
 cắt các cạnh SA,,, SB SC SD lần lượt tại MNPQ,,, như hình vẽ. 
 SM SN SP SQ 1 1 1 1
Đặt: x,,, y z t . Khi đó ta có: . 
 SA SB SC SD x z y t
Áp dụng vào bài toán ta có: 
 S
 N
 M P
 I
 D
 A
 O
 B C
 SA SM 1 SN SP 2
 AMNP là mặt phẳng cắt nên: 1, , x , . 
 SA SB 2 SC SD 3
 1 1 1 1 1 5 2
Suy ra: x . 
 1xx12 2 5
 23
 V 1 2 1 V 2 2 4
Khi đó: SAMN 1. . ; SANP 1. . . 
 VSABC 2 5 5 VSACD 5 3 15
9