Chuyên đề Các dạng bài tập về toán thực tế - Đại số 12

 TOÁN THỰC TẾ-CÓ GIẢI CHI TIẾT 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Các dạng toán về lãi suất ngân hàng: 
 1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền 
 gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì 
 hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra. 
 a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì 
 số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: 
 Sn A nAr A 1 nr (0.1) 
 Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ là 
 r
 . 
 100
 b) Ví dụ: Chú Nam gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi đơn 5%*năm thì sau 5 năm 
 số tiền chú Nam nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? 
 Giải: 
 Số tiền cả gốc lẫn lãi chú Nam nhận được sau 5 năm là: S5 1. 1 5.0,05 1,25 (triệu 
 đồng) 
 2. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để 
 tính lãi cho kì hạn sau. 
 a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì 
 số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: 
 n
 Sn A 1 r (0.2) 
 Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được: 
 Sn
 n log 1 r (0.3) 
 A
 S
 r%1 n n (0.4) 
 A
 S
 A n (0.5) 
 1 r n
 Ví dụ 3: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên 
 tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng 
 chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và 
 bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn 
 Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn 
 lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm 
 trong bao nhiêu tháng? 
 Giải: 
 Gọi XY, XYXY, : , 12 lần lượt là số tháng bạn Châu đã gửi với lãi suất 
 0,7%/tháng và 0,9%/tháng thì ta có 
 5.1066 .1,007XY .1,0115 .1,009 5747478,359
 5747478,359
 1,009Y 
 5.106 .1,007X .1,01156
 5747478,359
 Y log
 1,009 5.1066 .1,007X .1,0115
 5747478,359
 Nhập vào máy tính Mode 7 nhập hàm số fX log , cho 
 1,009 5.1066 .1,007X .1,0115
 giá trị X chạy từ 1 đến 10 với STEP 1. Nhìn vào bảng kết quả ta được cặp số 
 nguyên là XY 5; 4. 
 Vậy bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong 5 6 4 15 tháng. 
 3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định. 
 a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với 
 lãi kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( 
 n * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn . 
Ý tưởng hình thành công thức: 
 Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 
 A 1
 S A 1 r 1 r 1 1 r 
 1 r 
 Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là 
 11 r 2
 A 2
 T A 1 r A A 1 r 1 A 1 r 1 
 1 11 rr 
 Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 
 A 2
 S 1 r 1 1 r 
 2 r Giải: 
 3 12
Ta có 40 1 rr 1 1 nên nhập vào máy tính phương trình 
 r 
 3 12
 1 XX 1 1 40 nhấn SHIFT CALC với X 0 ta được X 0,016103725 
X 
Vậy lãi suất hàng tháng vào khoảng 1,61%/tháng
4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng: 
a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi 
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại 
sau n tháng là bao nhiêu? 
Ý tưởng hình thành công thức: 
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là T1 A 1 r và 
sau khi rút số tiền còn lại là 
 11 r 
 S A 11 r X A r X 
 1 r
 Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là 
 2
 T2 A 1 r X 1 r A 1 r X 1 r 
và sau khi rút số tiền còn lại là 
 2
 2 2 2 11 r 
 SArXrXArX 1 1 1 1 r 1 ArX 1 
 2 r
 Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau n tháng là 
 n
 n 11 r 
 S A 1 r X (0.9) 
 n r
Chú ý: Từ công thức (9) ta có thể tính được: 
 n r
 X A 1 r Sn (0.10) 
 11 r n
b) Một số ví dụ: 
Ví dụ 1: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng. Mỗi 
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến đến ngân hàng rút 300 nghìn đồng 
để chi tiêu. Hỏi sau 2 năm số tiền anh Chiến còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu? 
 Giải: b) Mỗi tháng anh Ba gửi vào ngân hàng số tiền 15 triệu đồng với lãi suất 
 0,7%/tháng thì sau thời gian trả nợ ở câu a), số tiền cả gốc lẫn lãi anh Ba nhận 
 được là bao nhiêu? 
 Giải: 
 n
 n 1,009 1
 a) Ta có 500. 1,009 15. 0 giải được X 39,80862049 nên phải trả nợ 
 0,009
 trong vòng 40 tháng. 
 15 40
 b) Sau 40 tháng số tiền nhận được là S 1,007 1 .1,007 694,4842982 
 40 0,007 
 triệu đồng. 
 6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ 
 sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn tháng người 
 đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu? 
 11 r k
 Công thức tính: Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là S Ak 
 kn r
 (0.14) 
 Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì 
 lương người đó được tăng thêm 7% /tháng. Hỏi sau 36 năm người đó lĩnh được tất 
 cả số tiền là bao nhiêu? 
 Giải: 
 1,07 12 1
 S 3.106 .12. 643984245,8 đồng 
 36 0,07
II. Bài toán tăng trưởng dân số: 
 mn 
 Công thức tính tăng trưởng dân số Xmn X 1 r , m , n , m n (1.1) 
 Trong đó: 
 r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m 
 X m dân số năm m 
 X n dân số năm n 
 X m
 Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là r%1 mn (1.2) 
 X n
 Ví dụ: Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc 
 thời gian (Đơn vị: 1.000 người): giải phương trình ta được: x% 0,1182% 
III. Lãi kép liên tục: 
 Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%*năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau 
 * n
 n năm n là: Sn A 1 r . Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi 
 mn.
 r r
 suất mỗi kì hạn là % thì số tiền thu được sau n năm là SAn 1
 m m 
 Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m , gọi là hình thức lãi kép tiên 
 tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: S Aenr. (3.1) 
 Công thức (3.1) còn gọi là công thức tăng trưởng mũ. 
 Ví dụ 1: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng 
 tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2013 dân số thế giới vào khoảng 7095 
 triệu người. Khi đó dự đoán dân số thế giới năm 2020 sẽ là bao nhiêu? 
 Giải: 
 Theo công thức tăng trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2010 là Se 7095. 7.0,0132 7781
 triệu người 
 Ví dụ 2: Biết rằng đầu năm 2010, dân số Việt Nam là 86932500 người và tỉ lệ tăng dân 
 số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được tính theo công thức tăng trưởng mũ. Hỏi cứ 
 tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người? 
 Giải: 
 100
 ln
 86,9325
 Ta có 100 86,9325.enn.0,017 8,2
 0,017 
 Vậy cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm 2018 dân số nước ta ở mức 100 triệu 
 người.