Chuyên đề Các dạng bài tập đại số - Toán 9

 CHƢƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA 
 I. CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI 
 1. Căn bậc hai số học 
 Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho xa2 . 
 Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a , số âm kí
 hiệu là a . 
 Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 00 . 
 Với số dương a, số a làcăn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 
 0 
 Với hai số không âm a, b, ta có: a < b ab . 
 2. Căn thức bậc hai 
 Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A. 
 A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm. 
 2 A neáu A 0
 AA 
 A neáu A 0
 DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ A CÓ NGHĨA 
 Phương pháp: 
 1
 có nghĩa A 0 có nghĩa A > 0 
 A
 ( ) ( ) ( )
 có nghĩa khi g(x)≠ 0 có nghĩa khi ≥ 0 và g(x)≠ 0 
 ( ) ( ) ( )
 Chú ý: Nếu bài yêu cầu tìm TXĐ thì sau khi tìm được điều kiện x, các em biểu 
 diễn dưới dạng tập hợp. 
 Nếu |f(x)| ≥ a thì f(x)≥ a hoặc f(x) ≤ -a. ( với a>0) 
 Nếu |f(x)| ≤ a thì -a ≤ f(x) ≤ a. ( với a>0) 
Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:a) 3x b) 
 4 2x c) 32x d) 31x e) 92x 
 f) 61x 
 22 22
 c) 2 3 1 3 d) 3 2 1 2 
 22 22
 e) 5 2 5 2 f) 2 1 2 5 
 Bài 3. Thực hiện các phép tính sau: 
 a) 5 2 6 5 2 6 b) 7 2 10 7 2 10 c) 4 2 3 4 2 3 
 d) 24 8 5 9 4 5 e) 17 12 2 9 4 2 f) 6 4 2 22 12 2 
 Bài 4. Thực hiện các phép tính sau: 
 a) 5 3 29 12 5 b) 13 30 2 9 4 2 c) 3 2 5 2 6 
 d) 5 13 4 3 3 13 4 3 e) 1 3 1343 1 3 1343 
 DẠNG 3: SO SÁNH CĂN BẬC 2 
 Phƣơng pháp: 
 2 A neáu A 0
 - SoAA sánh với số ). 
 A neáu A 0
 - Bình phương hai vế . 
 - Đưa vào (đưa ra ) ngoài dấu căn. 
 - Dựa vào tính chất: nếu a>b≥0 thì > 
 BÀI TẬP: So sánh: 
 Bài 1: 22 và 27 ; 11 và 121 ; 7 và 50 ; 6 và 33 ; 
Bài 2: 
 a) 2 và 147 b) -3 5 và - 5 3 c) 21, 2 7 , 15 3 , - 123 
 3 10
d) 2 15 và 59 e) 2 2 - 1 và 2 f) 6 và 41 g) và 1 h) - và - 2 5 
 2 2
 8 3
 i) 6 - 1 và 3 j) 2 5 - 5 2 và 1 k) và 
 3 4
 1 1 15
 l) 6 , 4 , - 132 , 2 3 , 
 4 2 5
 m) - 2 6 và - 23 n) 2 6 - 2 và 3 o) 28 2, 14, 2 147, 36 4 
 q) 9 và 25 - 16 r) 111 - 7 và 4 p) - 27, 4 3, 16 5 , 21 2 
 DẠNG4: RÚT GỌN BIỂU THỨC 
 Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong 7 hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức 
 trong căn đưa về dạng 2 rồi áp dụng công thức: 
 d) 2xx 1 1 e) x2 x 63 x f) x2 x 35 x 
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
 a) x2 x x b) 11 xx2 c) x2 4 x 3 x 2 
 d) xx22 1 1 0 e) xx2 4 2 0 f) 1 2xx2 1 
Bài 4. Giải các phương trình sau: 
 a) x22 2 x 1 x 1 b) 4x2 4 x 1 x 1 c) x42 2 x 1 x 1 
 1
 d) x2 x x e) x42 8 x 16 2 x f) 9xx2 6 1 11 6 2 
 4
Bài 5. Giải các phương trình sau: 
 a) 3xx 1 1 b) xx2 33 c) 9x22 12 x 4 x 
 d) x22 4 x 4 4 x 12 x 9 
Bài 6. Giải các phương trình sau: 
 a) xx2 1 1 0 b) x2 8 x 16 x 2 0 c) 1 xx2 1 0 
 d) x22 4 x 4 x 4 0 
 II. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƢƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA 
 Phương pháp: 
 Khai phương một tích: ABABAB. . ( 0, 0) 
 Nhân các căn bậc hai: ABABAB. . ( 0, 0) 
 AA
 Khai phương một thương: (AB 0, 0) 
 B B
 AA
 Chia hai căn bậc hai: (AB 0, 0) 
 B B
 DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH 
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 
 2
 a) 12 2 27 3 75 9 48 b) 23( 27 2 48 75) c) 2 2 3 
 2
 d) 1 3 2 1 3 2 e) 3 5 3 5 
 2
 f) 11 7 11 7 
Bài 3. Rút gọn và tính: 
 ab 11 35
 a) : với ab 7,25; 3,25 b) 15aa2 8 15 16 với a 
 ba 11 53
 25
 c) 10aa2 4 10 4 với a d) a2 2 a 2 1 a 2 2 a 2 1 với a 5 
 52
 DẠNG 3: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 23x 23x 
 a) 2 b) 2 c) 4xx2 9 2 2 3 
 x 1 x 1
 97x x 51
 d) 75x e) 4xx 20 3 9 45 4 
 75x 93
 DẠNG4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
Bài 1. So sánh các số: 
 a) 72 và 1 b) 85 và 76 c) 2005 2007 và 2006 
Bài 2. Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh: 
 ab 1
 a) ab b) a b a b c) a b a b 
 2 2
 a b a b
 d) a b c ab bc ca e) 
 22
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
 a) A x 24 x b) B 62 x x c) C x 2 x 
 III. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 
 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì ABAB2 + Với A < 0 và B ≥ 0 thì 
 ABAB2 
 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì ABAB 2 + Với A < 0 và B ≥ 0 thì 
 ABAB 2 
 A AB AAB
 Với A.B ≥ 0 và B 0 thì + Với B > 0 thì 
 B B B B
 DẠNG3: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1 3x 1
 a) x 1 4 x 4 25 x 25 2 0 b) xx 1 9 9 24 17 
 2 2 64
 c) 9x2 182 x 2 2 25 x 2 5030 d) 2x x22 6 x 12 x 7 0 
 e) (x 1)( x 4) 3 x2 5 x 2 6 
 DẠNG4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 
 nn
Bài 1. Cho biểu thức: Sn ( 2 1) ( 2 1) (với n nguyên dương). 
 a) Tính SS23; . 
 b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và mn , ta có: SSSSm n m. n m n 
 c) Tính S4 . 
 nn
Bài 2. Cho biểu thức: Sn ( 3 2) ( 3 2) (với n nguyên dương). 
 2
 a) Chứng minh rằng: SS2nn 2 b) Tính SS24, . 
 nn
Bài 3. Cho biểu thức: Sn (2 3) (2 3) (với n nguyên dương). 
 3
 a) Chứng minh rằng: SSS3n 3 n n b) Tính SS39, . 
 IV. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 
 Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép 
 biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở 
 mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới 
 dấu căn. 
 Trong tất cả các bài toán rút gọn, nếu bài chưa cho điều kiện của x thì các em phải đi tìm 
 điều kiện trước khi thực hiện rút gọn. 
 Chú ý: Sau khi rút gọn biểu thức A, ta thường có các câu hỏi đi kèm sau: 
 1. Tính giá trị của A tại x= x0: Thông thường các em phải biến đổi x0 rồi mới thay vào A. 
 2. Tìm x để A=a; A>a; A<a: Với bài toán này, ta cho A=a ; A<arồi tìm x, các em 
 chú ý phải so sánh x với điều kiện trước khi kết luận. 
 3. Tìm GTLN, GTNN: 
 4. Chứng minh A>a; A<a ( hoặc so sánh A với a): Các em biến đổi tương đương để 
 đưa về biểu thức đúng. 
 5. Tìm x nguyên để A nguyên: