Chuyên đề Các biểu thức về biểu thức đại số - Toán 7

 2 
 MỤC LỤC 
 Trang 
 Chủ đề 1. Rút gọn phân thức hữu tỉ 
 Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ 3 
 Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ và bài toán liên quan 3 
 Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật 6 
 Bài tập vận dụng 8 
 Hướng dẫn giải 9 
 Chủ đề 2. Tính giá trị biểu thức một biến 
 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức 14 
 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa căn thức 15 
 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến là nghiệm của phương trình 15 
 Bài tập vận dụng 16 
 Hướng dẫn giải 19 
 Chủ đề 3. Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện 
 Dạng 1: Sử dụng phương ph{p ph}n tích 24 
 Dạng 2: Sử dụng phương ph{p hệ số bất định 25 
 Dạng 3: Sử dụng phương ph{p hình học 27 
 Dạng 4: Sử dụng Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 28 
 Bài tập vận dụng 28 
 Hướng dẫn giải 34 
 Chủ đề 4. Một số phƣơng pháp chứng minh đẳng thức 
 Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương 49 
 Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức quen biết 50 
 Dạng 3: Sử dụng phương ph{p đổi biến 51 
 Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức 53 
 Dạng 5: Sử dụng lượng liên hợp 53 
 Dạng 6: Chứng minh có một số bằng hằng số cho trước 54 
 Dạng 7: Sử dụng Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 56 
 Bài tập vận dụng 58 
 Hướng dẫn giải 63 
 Chủ đề 5. Rút gọn biểu thức đại số và bài toán liên quan 
 Dạng 1: Các bài toán biến đổi căn thức thường gặp 77 
 Dạng 2: Sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán 78 
 Dạng 3: Các bài toán về tổng dãy có quy luật 83 
 Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa căn có một hoặc nhiều ẩn 84 
 Dạng 5: Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan 87 
 Bài tập vận dụng 97 
 Hướng dẫn giải 101 
 4 
 a) Rút gọn A 
 b) Tìm x để A = 0 
 c) Tìm giá trị của A khi 2x 1 7
 Lời giải 
 a) Ta có: 
 x5x4xx4 2 4 2 4x1xx14x1 2 2 2 2 
 x1x22 4 x1x1x2x2 
 x10x4 2 9 x 4 x 2 9x9 2 xx19x1 2 2 2 
 x1x922 x1x1x3x3 
 Điều kiện x{c định của A là x 1, x 3. Ta có: 
 x1x1x2x2 x2x2 
 A 
 x1x1x3x3 x3x3 
 b) Ta có: 
 x 2 x 2 
 A 0 0 x 2.
 x 3 x 3 
 c) Ta có: 
 2x 1 7 x 4
 2x 1 7 
 2x 1 7 x 3 
 x 2 x 2 4 2 4 2 1.6 6
 Với x = 4 thì A 
 x 3 x 3 4 3 4 3 1.7 7 
 Với x = - 3 thì A không x{c định. 
 2x32 7x 12x 45
  
 Thí dụ 4. Cho biểu thức B 32
 3x 19x 33x 9 
 a) Rút gọn B 
 b) Tìm x để B > 0 
 Lời giải 
 a) Ta có: 
 3x3 19x 2 33x 9 3x 3 9x 2 10x 2 30x 3x 9 
 2
 22 
 x33x 10x3 x3 3x 9x x3 x3 3x1 
 2x3 7x 2 12x 45 2x 3 6x 2 x 2 3x 15x45 x32x 2 x15 
 2
 2 
 x3 2x 6x 5x15 x3 2x5 
 6 
 x1
 Lập luận (tm) 
 y3 
 xy 13 2
 Nên thay x 1; y 3 vào biểu thức P 
 xy1. 3 3
 1 2 5 x 1 2x
 Thí dụ 6. Cho biểu thức: A: 
 1 x 1 x 1 x22 x 1
 a) Rút gọn biểu thức A 
 b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên 
 c) Tìm để AA 
 Lời giải 
 1
 a) ĐKXĐ: x 1; x 
 2
 1 x 2 1 x 5 x x12 
 A. 
 1x 2 1 2x
 2 x2 1 2
 .
 1x 2 1 2x 1 2x
 x 1(ktm)
 b) nguyên, mà nguyên nên 2 1 2x , từ đó tìm được 
 x 0(tm)
 Vậy x0 
 c) Ta có: 
 1
 A A A 0 1 2x 0 x 
 2
 1
 Kết hợp với điều kiện : 1x 
 2
  Dạng 3: Rút gọn các biểu thức có tính quy luật 
 1 1 1 1
 Ví dụ 7. Tính tổng: S ..... 
 1.3 3.5 5.7 2007.2009
 Lời giải 
 1 1 n 2 n 1 1 1
 Ta có: . 
 n n 2 2 n n 2 2 n n 2 
 Do đó: 
 1111 1 1 1 1 1004
 S 1 ...... 1 
 2 3 3 5 2007 2009 2 2009 2009
 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.2012 1
 Ví dụ 8. Cho M2 2 2 ...... 2 
 12 1 2 2 2 3 2 3 2012 2 2012 
 8 
  Bài tập vận dụng 
 x22 2x 2x 1 2 
 Câu 1. Rút gọn biểu thức sau: A 2 2 3 . 1 2 . 
 2x 8 8 4x 2x x x x
 x22 x x 1 1 2 x
 Câu 2. Cho biểu thức : P:22 
 x 2x 1 x 1 x x x
 a) Rút gọn biểu thức P 
 b) Tìm x để P1 
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi x1 
 14 4 5 4 4 9 4 4 17 4 4
 Câu 3. Tìm tích: M4 . 4 . 4 .... 4
 3 4 7 4 11 4 19 4 
 4x 8x2 x 1 2 
 Câu 4. Cho biểu thức : A: 22 
 2 x4 x x 2x x
 a) Tìm điều kiện x{c định, rồi rút gọn biểu thức A 
 b) Tìm để A1 
 c) Tìm các giá trị của để A0 
 x 4 1 x 8 
 Câu 5. Cho biểu thức P : 1 x 1 
 x32 1x1 x x 1 
 a) Rút gọn biểu thức P 
 b) Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình x2 3x 2 0 
 x22 2x 2x 1 2 
 Câu 6. Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 
 2x 8 8 4x 2x x x x
 a) Tìm để giá trị của được x{c định. Rút gọn biểu thức A. 
 b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên. 
 x4 2 x 2 1 x 2 3
 Câu 7. Cho biểu thức M 
 x6 1 x 4 x 2 1 x 4 4x 2 3
 a) Rút gọn M 
 b) Tìm giá trị lớn nhất của 
 x2 a 1 a a 2 x 2 1
 Câu 8. Rút gọn biểu thức: 
 x2 a 1 a a 2 x 2 1
 a32 4a a 4
 Câu 9. Rút gọn biểu thức: P 32
 a 7a 14a 8 
 Câu 10. Cho biểu thức sau: 
 2x3 2x8 3 212x8x 2
 P : 1 
 4x2 12x5 13x2x 2 202x 1 4x 2 4x3