Chuyên đề Các bài toán về số chính phương - Toán Lớp 6

 CHUYÊN ĐỀ 
CÁC BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
 2 
 14. Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số và có dạng
 a mp22; b mq 
 B. CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP 
  Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phƣơng, hoặc là tổng nhiều số chính 
 phƣơng. 
 * Cơ sở phƣơng pháp: 
 Để chứng minh một số n là số là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa, 
 tức là chứng minh : n k2 k Z 
 * Ví dụ minh họa: 
 Bài toán 1. Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng: A n n1 n 2 n 3 1 là số 
 chính phương. 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có: 
 22
 Annnn23 2 3 2 1 nn 2 3 2 nn 2 3 1 nn 2 3 1 
 Vì n nên nn2 31 . Vậy A là số chính phương. 
 Bài toán 2. Cho: B1.2.3 2.3.4 ... k k 1 k 2 với k là số tự nhiên. Chứng minh 
 rằng 4B + 1 là số chính phương. 
 Hướng dẫn giải 
 Ta thấy biểu thức B là tổng của một biểu thức chúng ta nghĩ đến việc phải thu gọn 
 biểu thức B trước. 
 Ta có: 
 11
 nnn12 nnn 1231 n n nnnn 123112 nnnn
 44
 Áp dụng: 
 1
 1.2.3 1.2.3.4 0.1.2.3
 4 
 4 
 Ta có: ba 10...05 10...0 1 6 9...9 6 9 6. 
 2015 2016 2016
 ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 
 ab 1 (3a 1)2 3a 1 N . 
 Vậy ab 1 là số tự nhiên. 
 Cách 2: 
 102016 1
 Ta có: ab 11...1 , 102016 5. 
 2016 9
 2 2
 2016 102016 4.10 2016 5 9 2016
 10 1 2016 10 2
 ab 1 . 10 5 1 . 
 99 3
 102016 2 
 ab 1 . 
 3
 Mà 102016 2 3. Do đó, là số tự nhiên. 
 Vậy là số tự nhiên. 
 Bài toán 5. Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số 2. Chứng minh 
 a - b là một số chính phương. 
 Hướng dẫn giải 
 Cách 1: 
 1060 1 1030 1
 Ta có: a 11...1 , b 22...2 2. . 
 60 9 30 9
 2 2
 1060 1 2(10 30 1) 10 60 2.10 30 1 1030 1 
 ab 33...3 . 
 9 9 9 3 30
 Cách 2: 
 30
 b 22...2 2.11...1 , a 11...1 11...1.00...0 11...1 11...1.10 11...1. 
 30 30 60 30 30 30 30 30
 Đặt c 11...1. 9c 1 99...9 1 1030 . 
 30 30
 Khi đó: a c. 9 c 1 c 9 c2 2 c . bc 2 . 
 2
 2 2 
 a b 9 c 2 c 2 c 3 c 33...3 . 
 30
 6 
 2 2 2 2 2 2 2
 Khi đó b c. a c a1 a 2 a 3 
 Để kết thúc việc chứng minh, ta tiến hành như sau: cho np21 ta được: 
 2pp 12 2 2 2 np2 2 2 2 2
 b b b1 b 2 b 3 và cho np22 ta được b b b a1 a 2 a 3 
  Dạng 2: Chứng minh một số không là số chính phƣơng. 
 * Cơ sở phƣơng pháp: 
 Để chứng minh n không là số chính phương, tùy vào từng bài toán ta có thể sử 
 dụng các cách sau: 
 1) Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên. 
 2) Chứng minh k2 < n < (k + 1)2 với k là số nguyên. 
 3) Chứng minh n có tận cùng là 2; 3; 7; 8 
 4) Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 3 
 5) Chứng minh n có dạng 3k + 2 
 6) Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p2. 
 * Ví dụ minh họa: 
 Bài toán 1. Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 thì có thể là số chính phương 
 được không ? tại sao? 
 Hướng dẫn giải 
 Gọi số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2018 là n 
 Ta có : 2018 = 3m + 2 nên số tự nhiên n chia 3 dư 2, do đó số n có dạng 3k + 2 với k là số tự 
 nhiên. Mặt khác một số chính phương trình không có dạng 3k + 2 suy ra số tự nhiên n 
 không là số chính phương. 
 Bài toán 2. Chứng minh rằng số A n4322 n 2 n 2 n 1 trong đó n N và n > 1 
 không phải là số chính phương. 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có: 
 A n42 n 3 2 n 2 2 n 1 n 4 2 n 3 n 2 n 2 2 n 1
 22
 n22 n n112 n n n
 2
 A n2 n n 1
 Mặt khác: 
 8 
 Bài toán 5. Cho 2 n , Chứng minh rằng A n6 n 422 n 3 n 2 không thể là số chính 
 phương 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có A n6 n 42 n 3 2 n 2 n 2 n 4 n 2 2 n 2 
 2 2 2
 n n n1 2 n 1 
 22
 n n n1 n 1 2 n 1 
 222
 n n1 n 2 n 2 
 2
 Với , ta có n222 n 2 n 2 n 1 n 1 
 2
 Và n22 n 2 n 2 2 n 1 n 2 . Do đó n1 n22 2 n 2 n 
 Như vậy nn2 22 không phải là số chính phương nên A không phải là số chính 
 phương. 
 Bài toán 6. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số 
 chính phương. 
 Hướng dẫn giải 
 Giả sử: am21, bn21, với mn, 
 22
 Ta có: a2 b 22 m 1 2 n 1 4 m 2 m n 2 n 2 4 k 2 với k . 
 Không có số chính phương nào có dạng 42k vì vậy ab22 không phải số chính 
 phương. 
  Dạng 3: Điều kiện để một số là số chính phƣơng. 
 * Cơ sở phƣơng pháp: Chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau: 
 - Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa. 
 - Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ. 
 - Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư. 
 - Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất. 
 10 
 Bài toán 3. Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương: 
 a) A n25 n 2 b ) B n n 2 
 Hướng dẫn giải 
 a) Với n = 1 thì A = n2 – n + 2 = 2 không là số chính phương 
 Với n = 2 thì A = n2 – n + 2 = 4 là số chính phương 
 Với n > 2 thì A = n2 – n + 2 không là số chính phương vì 
 n12 n2 2 n 1 n 2 n 2 n 2
 Vậy n = 2 thì A là số chính phương. 
 b) Ta có: n5 n n 211 n n 2 
 Với n = 5k thì n chia hết cho 5. 
 Với nk51thì n2 1chia hết cho 5 
 Với nk52thì n2 1chia hết cho 5 
 Do đó nn5 luôn chia hết cho 5 
 Nên nn5 2chia cho 5 thì dư 2 nên nn5 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên 
 B n5 n 2 không là số chính phương 
 Vậy không có giá trị nào của n thỏa để B là số chính phương. 
 Bài toán 4. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho các số n 1, 21n , 51n đều là các 
 số chính phương. 
 Hướng dẫn giải 
 Nếu nk 31 k thì nk 1 3 2 , không là số chính phương. 
 Nếu nk 32 thì 2nk 1 6 5, cho cho 3 dư 2 nên không là số chính phương. Vậy n 3. 
 là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1. Suy ra 2n 8 n 4 n 1 lẻ. Do là 
 số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra n 8. 
 chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau 3 và 8 nên n 24 . Với n 24 thì n 1 25 52 , 
 2n 1 49 72 , 5n 1 121 112 . 
 Giá trị nhỏ nhất của phải tìm là 24 . 
 Bài toán 5. Tìm số tự nhiên n 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + < + n! là một số chính phương.