Chuyên đề Các bài toán về định lí Ta-lét - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT
A.Kiến thức: A
1. Định lí Ta-lét:
 M N
 ABC  AM AN
* Định lí Ta-lét:  = 
 MN // BC AB AC
 B C
 AM AN MN
* Hệ quả: MN // BC = 
 AB AC BC
B. Bài tập áp dụng:
1. Bài 1:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song 
song với AD cắt AC ở G
 B
a) chứng minh: EG // CD
 A
b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG
 O
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD E G
 OE OA
a) Vì AE // BC = (1)
 OB OC
 OB OG D C
 BG // AC = (2)
 OD OA
 OE OG
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: = EG // CD
 OD OC
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên
 AB OA OD CD AB CD
 = = AB2 CD. EG
 EG OG OB AB EG AB
Bài 2: 
Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông 
cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF.
Chứng minh rằng:
 D
a) AH = AK A
b) AH2 = BH. CK H
 K F
Giải 
Đặt AB = c, AC = b. 
 C
BD // AC (cùng vuông góc với AB) B
 Trang 1 Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, 
 B
BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng: E
 A
a) EG = FH
 P
b) EG vuông góc với FH H F
 O
Giải
 D Q
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG
 N M
 1 1 BM 1 BE BM 1
Ta có CM = CF = BC = = = G
 2 3 BC 3 BA BC 3
 C
 EM BM 2 2
 EM // AC = EM = AC (1)
 AC BE 3 3
 NF CF 2 2
Tương tự, ta có: NF // BD = NF = BD (2)
 BD CB 3 3
mà AC = BD (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
 1
Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = AC (b)
 3
Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD EM  MG E· MG = 900 (4)
Tương tự, ta có: F· NH = 900 (5)
Từ (4) và (5) suy ra E· MG = F· NH = 900 (c)
Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì 
 P· QF = 900 Q· PF + Q· FP = 900 mà Q· PF = O· PE (đối đỉnh), O· EP = Q· FP ( EMG = FNH)
Suy ra E· OP = P· QF = 900 EO  OP EG  FH
5. Bài 5: 
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và 
AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song 
song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng
a) MP // AB
b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
Giải
 CP AF
a) EP // AC = (1)
 PB FB
 Trang 3 CE AK + BK 2(AK + BK) 1 CE 2(AK + BK) 2BK
Suy ra 2 2 (Do DF = AK) 2 
 DE DE AK 2 DE AK AK
(2)
 BG CE
Từ (1) và (2) suy ra = EG // BC
 GD DE
 OG OE FO 
Gọi giao điểm của EG và DF là O ta có = = OG = OE 
 MC MB FM 
Bài tập về nhà
Bài 1: 
 Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở 
E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F
a) Chứng minh FE // BD
b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H. 
Chứng minh: CG. DH = BG. CH
Bài 2: 
Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = 
CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F. 
Chứng minh: 
a) AE2 = EB. FE
 2
 AN 
b) EB = . EF
 DF 
 CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ 
 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
A. Kiến thức:
 A
2. Tính chất đường phân giác: 
 BD AB
 ABC ,AD là phân giác góc A = 
 CD AC
 B D C
 A
 BD' AB
AD’là phân giác góc ngoài tại A: = D' B C
 CD' AC
B. Bài tập vận dụng
 Trang 5 b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE
c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ABC có BC cố định, A
AM = m không đổi
d) ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó I
 D E
Giải
 DA MB
a) MD là phân giác của A· MB nên (1)
 DB MA B M C
 EA MC
 ME là phân giác của A· MC nên (2)
 EC MA
 DA EA
Từ (1), (2) và giả thiết MB = MC ta suy ra DE // BC
 DB EC
 x
 m - 
 DE AD AI x 2a.m
b) DE // BC . Đặt DE = x 2 x = 
 BC AB AM a m a + 2m
 1 a.m
c) Ta có: MI = DE = không đổi I luôn cách M một đoạn không đổi nên tập hợp các 
 2 a + 2m
 a.m
điểm I là đường tròn tâm M, bán kính MI = (Trừ giao điểm của nó với BC
 a + 2m
d) DE là đường trung bình của ABC DA = DB MA = MB ABC vuông ở A
4. Bài 4: 
Cho ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE
a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K
b) Chứng minh: CD > DE > BE
 A
Giải
a) BD là phân giác nên 
 K D
 AD AB AC AE AD AE
 = < = (1) E
 DC BC BC EB DC EB
 AD AK
Mặt khác KD // BC nên (2) C
 DC KB M B
 AK AE AK + KB AE + EB
Từ (1) và (2) suy ra 
 KB EB KB EB
 AB AB
 KB > EB E nằm giữa K và B
 KB EB
b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. Ta có C· BD = K· DB(Góc so le trong) K· BD = K· DB
 mà E nằm giữa K và B nên K· DB > E· DB K· BD > E· DB E· BD > E· DB EB < DE
 Trang 7