Chuyên đề Các bài toán ứng dụng - Toán 12

 Toán Ứng Dụng 
 MỤC LỤC
PHẦN I: ĐỀ BÀI........................................................................................................................................3
 DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ .......................3
 DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN................................................................15
 DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT .................................................24
 DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU ....................................................32
 DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN .........................................46
 DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC..............................................................54
PHẦN II: ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI..........................................................................................................58
 DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CÙA HÀM SỐ .....................58
 DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN................................................................86
 DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT ...............................................100
 DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU ..................................................116
 DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN .......................................144
 DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC............................................................160
 Toán Ứng Dụng 
Câu 5: Thầy Diêu dự định xây một bồn hoa có bề mặt là hình 
tròn có đường kính AB 10m, để cho ấn tượng thầy Diêu 
thiết kế có hai hình tròn nhỏ trong hình tròn lớn bằng cách lấy 
điểm M giữa A và B rồi dựng các đường tròn đường kính 
MA và MB như hình vẽ. Trong hai đường tròn nhỏ thầy 
định trồng loại hoa hồng đỏ, còn phần còn lại thầy trồng hoa 
hồng trắng. Biết giá hoa hồng đỏ là 5.000 đồng, hoa hồng 
trắng là 4.000 đồng và ít nhất 0.5 m2 mới trồng được một 
bông hoa. Hỏi chi phí thấp nhất để trồng hoa của thầy là bao 
nhiêu?
 A. 702000 đồng.B. 622000 đồng.
 C. 706858 đồng. D. 752000 đồng.
Câu 6: Người ta muốn sơn một cái hộp không nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4 (đơn vị thể 
tích)? Tìm kích thước của hộp để dùng lượng nước sơn tiết kiệm nhất. Giả sử độ dày của lớp sơn tại mọi 
nơi trên hộp là như nhau.
 A. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài).
 B. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài).
 C. Cạnh ở đáy là 2 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài).
 D. Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài).
Câu 7: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột 
đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH=0,5m là:
 A. Xấp xỉ 5,602B. Xấp xỉ 6,5902
 C. Xấp xỉ 5,4902D. Xấp xỉ 5,5902
Câu 8: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC 
và mặt đất BC, ngang qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách 
tường CH 0,5m là:
 A
 D
 B
 C H
 A. Xấp xỉ 5,4902B. Xấp xỉ 5,602C. Xấp xỉ 5,5902D. Xấp xỉ 6,5902
Câu 9: Cho hai vị trí A , B cách nhau 615m , 
cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. 
Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt 
là 118m và 487m Một người đi từ A đến bờ 
sông để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn 
nhất mà người đó có thể đi là:
 A. 596,5m B. 671,4m
 C. 779,8m D. 741,2m
Câu 10: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày 
xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f (t) 45t 2 t3 (kết quả khảo sát được trong 8 tháng vừa 
qua). Nếu xem f '(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất 
vào ngày thứ mấy?
 A. 12 B. 30
 C. 20 D. 15
 Toán Ứng Dụng 
 C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75.
 D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 18: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn 
đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 
50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là đảo
điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ B
A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB 
 biển
thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
 A. 6.5km B. 6km 6km
 C. 0km D. 9km
 C
 B' x km (9 - x)km A
 bờ biển
 1
Câu 19: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động S gt 2 , 
 2
trong đó g 9,8m/s2 và t tính bằng giây s . Vận tốc của vật tại thời điểm t 5s bằng:
 A. 49m/s. B. 25m/s. C. 10m/s. D. 18m/s. 
Câu 20: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S= t3 - 3t2 + 4t, trong đó t tính bằng giây (s) 
và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chất điểm lúc t = 2s bằng: 
 A. 4m/s2. B. 6m/s2. C. 8m/s2. D. 12m/s2. 
Câu 21: Một vận động viên đẩy tạ theo quỹ đạo là 1 parabol có phương trình y x2 2x 4 . Vị trí 
của quả tạ đang di chuyển xem như là một điểm trong không gian Oxy. Khi đó vị trí cao nhất của quả tạ 
là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây ?
 A. z 1 3i B. z 5 i C. z 1 5i D. z 3 i
Câu 22: Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình 
vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kinh r. Để tổng diện tích của hình vuông và 
 a
hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số nào sau đây đúng ?
 r
 A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 23: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích 
của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 - 20n(gam) . Hỏi phải thả 
bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?
 A.10 B. 12 C.16 D. 24
Câu 24: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. 
Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao 
nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?
 A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.
 C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái ti vi.D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái ti vi.
Câu 25: Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 180 mét thẳng hàng rào. 
Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình 
chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
 2 2
 A.Smax = 3600m B.Smax = 4000m
 2 2
 C.Smax = 8100m D.Smax = 4050m
Câu 26: Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn 
miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800(m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu 
để diện tích canh tác lớn nhất?
 A.200m´ 200m B.300m´ 100m C.250m´ 150m D.Đáp án khác
 Toán Ứng Dụng 
khoảng thời gian 12 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động tại thời điểm t bằng bao nhiêu giây thì vận tốc 
của vật đạt giá trị lớn nhất ?
 A. t = 12 (giây) B. t = 6 (giây) C. t = 3 (giây) D. t = 0 (giây)
Câu 31: Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng của 
một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số 120cmtừ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác 
vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này là bao nhiêu?
 A. .4 0cm B. 40. 3cm C. . 80cm D. . 40 2cm
Câu 32: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra 
Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng 
cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, 
chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao 
nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất.
 A. 40km B. 45km 
 C. 55km D. 60km 
Câu 33: Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 
000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 
thêm 100 000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống.
Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ti đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá trị bao nhiêu một tháng? 
(đồng/tháng)
 A. 2 250 000 B. 2 450 000 C. 2 300 000 D. 2 225 000
Câu 34: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm , biết 
một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.
 A.80cm2 B. 100cm2 C. 160cm2 D. 200cm2
Câu 35: Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con 
sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi 
của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Bạn hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến 
được mục tiêu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1km theo đường chim 
bay. 
 400 40 100 200
 A. B. C. D. 
 3 33 3 3
 l
 m
Câu 36: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a. Hỏi 
phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Đ
 sin 
Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức C k (
 r2
 là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỷ lệ chỉ phụ 
thuộc vào nguồn sáng). 
 h
 3a a 2 r
 A. h B. h 
 2 2
 M
 N a I a