Chuyên đề Các bài toán có mối liên quan giữa nón, trụ, cầu - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
HÌNH HỌC 12. CHƯƠNG II. 
NÓN TRỤ CẦU 
PHẦN III: CÁC BÀI TOÁN CÓ MỐI LIÊN QUAN NÓN, TRỤ, CẦU 
 I LÝ THUYẾT. 
Xét các khối tròn xoay nội tiếp nhau (khối trụ nội tiếp khối cầu, khối nón nội tiếp khối cầu, khối trụ 
nội tiếp khối nón, khối nón nội tiếp khối trụ, ). Ta thường bắt gặp bài toán cực trị hình học, ở đó, 
một khối tròn xoay đã biết, cần tìm điều kiện để khối tròn xoay còn lại có thể tích hoặc diện tích đạt 
cực trị. Phương pháp giải với dạng toán này khá phức tạp và tùy thuộc vào các khối tròn xoay đang 
xét. Tuy nhiên, về cơ bản, để giải quyết bài toàn, thường có hai bước làm sau: 
Bước 1: Chọn một đại lượng chưa biết làm biến số. Sử dụng các công thức tính diện tích, thể tích 
các khối tròn xoay để thiết lập hàm số (một biến) theo biên số đã chọn. Lưu ý cần tìm điều kiện phù 
hợp cho biên số. 
Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã thiết lập (có thể sử dụng đạo hàm – 
bảng biến thiên hoặc bất đẳng thức Cauchy). 
 II VÍ DỤ. 
 = 
Trước hết ta xét một số bài toán về các khối tròn xoay nội tiếp nhau chưa có yếu tố biến thiên (Từ 
VD 1 đến VD 7), sau đó xét các bài toán cực trị (từ VD 8 đến VD 13). 
 Ví dụ 1 
 Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính . Tính diện 
 tích xung quanh của hình trụ. 
 Lời giải 
 A B
 O
 Gọi R1 , h lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình trụ hR2 1 . 
 Gọi A là tâm một đường tròn đáy của hình trụ và B là một điểm trên đường tròn đáy đó. 
 1 Hình học lớp 12 | 
 Câu 4 
 Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn và , . Xét hình nón có đỉnh 
 , đáy là hình tròn . Gọi , lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình 
 nón. Tính tỉ số . 
 Lời giải 
 Ta có 
 OOR 2 và O A3 O O22 OA R . 
 2 2
 Mặt khác SROOR1 2 . ' 2 2 và SROR2 . A 3 . 
 S 26
 Khi đó 1 . 
 S2 3
 Ví dụ 5 
Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là , độ dài đường sinh là và hình trụ có chiều 
cao và đường kính đáy đều bằng , lồng vào nhau như hình vẽ bên. Tính thể tích phần khối trụ 
không giao với khối nón. 
 Lời giải 
 Gọi r là bán kính của khối nón bên ngoài hình trụ. 
 Gọi V1 là thể tích khối nón ban đầu, V2 là thể tích khối nón ngoài khối trụ. 
 Gọi Vt là thể tích khối trụ. 
 3 Hình học lớp 12 | 
 1 16 
 Thể tích khối trụ là: V xR22 2 r . . r r 2 . 
 99
 Khi đó: hr 6, 2 nên l OA h22 r 2 10 . 
 Suy ra: Sxq rl 4 10 . 
 Ví dụ 7 
Một bình đựng nước có dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một 
khối cầu không thấm nước, có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích 
nước tràn ra ngoài là . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và 
đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích nước còn lại trong bình. 
 Lời giải 
 1 4 2 3V
 Gọi bán kính khối cầu là R , ta có: VRR ..R 33 3 . 
 2 3 3 2 
 Gọi O là tâm đường tròn đáy của hình nón. Theo giả thiết suy ra O cũng là tâm khối cầu. 
 Gọi A là điểm nằm trên đáy hình nón. Xét mặt phẳng SOA và H là tiếp điểm của khối 
 cầu và SA suy ra SA OH . 
 1 1 1
 Ta có mà SO 22 OH R . 
 OH2 SO 2 OA 2
 23R
 Từ đó tính được OA . 
 3
 8 R3 4V
 Do đó thể tích khối nón là V , suy ra V . 
 non 9 non 3
 5 Hình học lớp 12 | 
Thể tích khối trụ là V ( R22 x )2 x . 
Xét hàm số V( x ) ( R22 x )2 x , 0 x R . 
 R 3
Ta có V x 2 R22 3 x 0 x . 
 3
Bảng biến thiên 
 R 3
 x 0 R 
 3
 Vx 0 
 43 R3
 9
 Vx() 
 0 0 
 R 3
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi x . 
 3
Cách 2 (Bất đẳng thức Cauchy) 
 h
Giả sử khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h x (như hình vẽ dưới đây). 
 2
Xét tam giác vuông IAO. 
 2
 2 2 2 h 22
Ta có: R x r rR 
 2
 h2 r 2 r 2 h 2 r 443 R 3
 R22 33 hr 
 4 2 2 16 9
 43 R3
Do đó thể tích khối trụ V r2 h .
 9 
 h2 r2 23 R R 3
Thể tích khối trụ lớn nhất khi h x . 
 4 2 3 3
 7 Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 11 
Một hình trụ có chiều cao bằng và bán kính đáy bằng nội tiếp trong một hình nón có bán 
kính đáy bằng và chiều cao bằng , trong đó và là các số thực dương không đổi. Hỏi thể 
tích lớn nhất của khối trụ chiếm bao nhiêu phần thể tích khối nón? (Khái niệm hình trụ nội tiếp 
trong hình nón được hiểu là: hình trụ có đáy trên là thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng 
vuông góc với trục và đáy dưới nằm trong đáy hình nón). 
 Lời giải 
 O
 B
 h
 J
 x
 I R r A
 Gọi O là đỉnh của hình nón, I là tâm của đường tròn đáy của hình nón, J là tâm của 
 đáy hình trụ ( khác I ). OA là một đường sinh của hình nón, B là điểm chung của OA 
 R h x r
 với khối trụ. Ta có: R h x . 
 r h h
 2
 r 2
 Thể tích khối trụ là V xR2 x h x . 
 h2
 1
 Thể tích khối nón là V r2 h . 
 n 3
 2
 r 2
 Xét hàm số V x x h x , 0 x h . 
 h2
 h
 r 2 x 
 Ta có V x h x h 3 x 0 3 . 
 h2 
 xh 
 9 Hình học lớp 12 | 
Cách 1 (Khảo sát hàm số) 
 h2
Ta có Rr22 . 
 4
 hh42 
Diện tích toàn phần hình trụ S 2 r2 rh 2 . R 2 h 2 2 R 2 . 
 tp 42
 hh42 
Xét hàm số f h 2 . R2 h 2 2 R 2 với 02 hR. 
 42
 2R2 h h3 h
 fh 2 
 h4 2
 2 Rh2 2 
 4 
 10 2 5
 hR 
 1 5
 fh 0 
 10 2 5
 hR2 
 5
Bảng biến thiên 
 h 0 h1 h2 2R 
 fh 0 0 
 fh 1 
 fh 
 fh 2
 0 2 
 10 2 5
Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích toàn phần của hình trụ lớn nhất khi hR . 
 1 5
Cách 2 (Bất đẳng thức Cauchy) 
 11