Chuyên đề Các bài tập hình học - Toán 9

 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
 Chương TAM GIÁC VUễNG
 | Chủ đề 1: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
 TRONG TAM GIÁC VUễNG
 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Cho ABC vuụng tại A, cạnh huyền BC a, cỏc A
 4 ặ
cạnh gúc vuụng AC b và AB c. Gọi AH h là
 ặ ặ ặ
đường cao ứng với cạnh huyền CH b0, BH c0 c b
 ặ ặ h
lần lượt là hỡnh chiếu của AC, AB trờn cạnh huyền
BC. c’ b’
 B C
 H a
 1 Ba hệ thức về cạnh
 2
 • b ab0 (1)
 ặ
 2
 • c ac0 (2)
 ặ
 • a2 b2 c2 (hệ thức Pytago) (3)
 ặ Å
 2 Ba hệ thức về đường cao
 2
 • h b0 c0 (4)
 ặ
 • ah bc (5)
 ặ
 1 1 1
 • (6)
 h2 ặ b2 Å c2
 3 Dấu hiệu nhận biết tam giỏc vuụng
 • Nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nữa cạnh ấy thỡ
 tam giỏc đú là tam giỏc vuụng. 1. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUễNG
Hóy tớnh x, y với cỏc kớch thước như hỡnh bờn.
 5 7
 x
 y
Ƙ Vớ dụ 5.
Hóy tớnh x, y với cỏc kớch thước như hỡnh bờn.
 y
 2
 1 x
Ƙ Vớ dụ 6.
Hóy tớnh x, y với cỏc kớch thước như hỡnh bờn. A
 A
 B
 A
 C 3
 15 ặ
 x 4
 B C
 H y
Ƙ Vớ dụ 7.
Hóy tớnh x, y với cỏc kớch thước như hỡnh bờn. A
 x y
 2
 t
 B C
 H
 5
Ƙ Vớ dụ 8.
Hóy tớnh x, y với cỏc kớch thước như hỡnh bờn. A
 A
 B
 A
 C 5
 ặ
 30 6
 x y
 B C
Ƙ Vớ dụ 9. 1. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUễNG
Ƙ Vớ dụ 1. Dựng đoạn thẳng p2 bằng cỏch dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
Ƙ Vớ dụ 2. Dựng đoạn thẳng p5 bằng cỏch dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
Ƙ Vớ dụ 3. Dựng đoạn thẳng p5 bằng cỏch dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
Ƙ Vớ dụ 4. Dựng đoạn thẳng p3 bằng cỏch dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
Ƙ Vớ dụ 5. Dựng đoạn thẳng p3 bằng cỏch dựng trung bỡnh nhõn.
Ƙ Vớ dụ 6. Dựng đoạn thẳng p5 bằng cỏch dựng đoạn trung bỡnh nhõn.
 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ
Ƙ Bài 1. Dựng đoạn thẳng p6 bằng cỏch dựng đoạn thẳng Py-ta-go.
Ƙ Bài 2. Dựng đoạn thẳng p7 bằng cỏch dựng trung bỡnh nhõn.
  Dạng 3: Chứng minh hệ thức hỡnh học
 1. Chọn cỏc tam giỏc vuụng thớch hợp chứa cỏc đoạn thẳng cú trong hệ thức. Tớnh cỏc
 đoạn thẳng đú nhờ cỏc hệ thức về cạnh và đường cao.
 2. Liờn kết cỏc giỏ trị trờn rỳt ra hệ thức phải chứng minh.
 ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ
Ƙ Vớ dụ 1. Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu vuụng
 4
gúc của H trờn AB và AC. Chứng minh rằng:
 AM AB AN AC;a) HB HC MA MB NA NC;b)
 Â ặ Â Â ặ Â Å Â
 HB à AB ả2
 .c)
 HC ặ AC
Ƙ Vớ dụ 2. Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI cắt tia CD
ở K. Kẻ Dx DI cắt tia BC ở L.
 ?
 a) Tam giỏc DIL là một tam giỏc cõn.
 1 1
 b) Tổng khụng đổi khi I di động trờn cạnh AB.
 DI2 Å DK2
 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ
 Ă Â
Ƙ Bài 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A Ab 90± ,kẻ BM CA. Chứng minh rằng
 ầ ?
 AM à AB ả2
 2 1.
 MC ặ AC Ă
Ƙ Bài 2. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A với đường cao AH. Trờn nữa mặt phẳng bờ BC
 DB AB
cú chứa điểm A lấy điểm D sao cho . Chứng minh rằng BD, DH, HA là độ dài ba
 DC ặ p2
cạnh của một tam giỏc vuụng.
Ƙ Bài 3. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hỡnh chiếu
của H trờn AB và AC. Hóy chứng minh cỏc hệ thức sau:
Sưu tầm & biờn soạn: Nhúm Toỏn & LATEX Trang 5 2. Tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn.
 B Cỏc dạng bài tập cơ bản
  Dạng 1: Tớnh tỉ số lượng giỏc
 1. Xỏc định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền, viết tỉ số lượng giỏc theo định nghĩa.
 2. Tớnh cạnh cũn lại nhờ hệ thức Py-ta-go hoặc hệ thức về cạnh, đường cao.
 3. Tớnh tỉ số lượng giỏc cũn lại theo định lớ tỉ số lượng giỏc của hai gúc phụ nhau.
 ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ
Ƙ Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại C, cú BC 1,2, CA 0,9. Tớnh cỏc tỉ số lượng giỏc
 ặ ặ
của gúc B, từ đú suy ra cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc A.
Ƙ Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, cú AB 6, AC 8. Tớnh cỏc tỉ số lượng giỏc
 ặ ặ
của gúc B, từ đú suy ra cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc C.
Ƙ Vớ dụ 3. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ đường cao AH. Tớnh sinB, sinC (làm trũn
đến chữ số thập phõn thứ tư) biết rằng AB 13, BH 5.
 ặ ặ
BH 3, CH 4.
 ặ ặ
Ƙ Vớ dụ 4. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ đường cao AH. Tớnh sinB, sinC (làm trũn
đến chữ số thập phõn thứ tư) biết rằng BH 3, CH 4.
 ặ ặ
 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ
Ƙ Bài 1. Cho tam giỏc ABC cú hai cạnh gúc vuụng là AB 16mm, AC 3cm.
 ặ ặ
a) Tớnh tỉ số lượng giỏc của cỏc gúc nhọn;
b) Tớnh tổng sin2 B sin2 C.
 Å
 m
  Dạng 2: Dựng gúc đ biết một tỉ số lượng giỏc là
 n
 1. Dựng một tam giỏc vuụng cú
 m
 - Cạnh gúc vuụng và cạnh huyền là m, n nếu cho sinđ hoặc cosđ bằng .
 n
 m
 - Hai cạnh gúc vuụng là m, n nếu cho tanđ hoặc cotđ bằng .
 n
 2. Xỏc định tỉ số lượng giỏc để nhận ra gúc đ.
 ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ
 2
Ƙ Vớ dụ 1. Dựng gúc nhọn đ biết sinđ .
 ặ 3
Ƙ Vớ dụ 2. Dựng gúc nhọn đ biết cosđ 0,6.
 ặ
 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ
 3
Ƙ Bài 1. Dựng gúc nhọn đ biết tanđ .
 ặ 4
 3
Ƙ Bài 2. Dựng gúc nhọn đ biết cotđ .
 ặ 2
Sưu tầm & biờn soạn: Nhúm Toỏn & LATEX Trang 7 2. Tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn.
 sin20± và sin70±.a) cos25± và cos63±150.b)
 tan73±200 và tan45±.c) cot20± và cot37±400.d)
Ƙ Vớ dụ 2. Sắp xếp cỏc tỉ số lượng giỏc theo thứ tự tăng dần
 sin78±,cos14±,sin47±,cos87±.a) tan73±,cot25±,tan62±,cot38±.b)
Ƙ Vớ dụ 3. So sỏnh
 tan25± và sin25±.a) cot32± và cos32±.b)
 tan45± và cos45±.c) cot60± và sin30±.d)
 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ
Ƙ Bài 1. Áp dụng quan hệ giữa tỉ số lượng giỏc của hai gúc phụ nhau để biết tỉ số lượng
giỏc sau thành tỉ số lượng giỏc của cỏc gúc nhỏ hơn 45± : sin60±,cos75±,sin52±300,cot82±,tan80±.
  Dạng 5: Chứng minh hệ thức lượng giỏc
 Phương phỏp giải:
 a) Tớnh tỉ số lượng giỏc theo định nghĩa.
 b) Nhõn hay chia theo vế cỏc tỉ số lượng giỏc.
 c) Áp dụng hệ thức Py-ta-go.
 ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ
Ƙ Vớ dụ 1. Với gúc nhọn đ tựy ý, chứng minh rằng
 sinđ cosđ
 tanđ .a) cotđ .b)
 ặ cosđ ặ sinđ
 tanđ cotđ 1.c) sin2 đ cos2 đ 1.d)
 Â ặ Å ặ
Ƙ Vớ dụ 2. Với gúc nhọn đ tựy ý, chứng minh rằng
 1 1
 1 tan2 đ .a) 1 cot2 đ .b)
 Å ặ cos2 đ Å ặ sin2 đ
 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ
Ƙ Bài 1. Sử dụng định nghĩa cỏc tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn, chứng minh rằng với
gúc nhọn đ tựy ý ta cú
 sinđ
 tanđ ;a) sin2 đ cos2 đ 1.b)
 ặ cosđ Å ặ
Ƙ Bài 2. Áp dụng kết quả của bài 1, hóy đơn giản cỏc biểu thức sau
Sưu tầm & biờn soạn: Nhúm Toỏn & LATEX Trang 9