Chuyên đề bội và ước của một số nguyên Toán Lớp 6

 BÀI 5. BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nhận biết được quan hệ chia hết, khái niệm ước và bội trong tập hợp các số nguyên 
  Kĩ năng 
 + Xác định được bội và ước của các số nguyên cho trước 
 Trang 1 
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
 0 là bội của mọi số nguyên 
 a là b là 
 bội ước 
 a b 
 của b của a 
 0 không là ước của bất kì số 
 nguyên nào 
 a; b ; b 0 
 q : a bq 
 1 và 1 là ước của mọi số 
 nguyên 
 Định nghĩa Chú ý 
 c là ước của a; c là ước của b 
 thì c là ước chung của a và b 
 BỘI VÀ ƯỚC 
 CỦA MỘT 
 SỐ NGUYÊN 
 Tính chất 
 a b ab ambm  a b c
  a c acbc;  
 b c    
   a c  c
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1. Tìm bội (ước) của một số nguyên 
 Phương pháp giải 
 Bội của một số nguyên a có dạng am.. m Bội của 5 là 5;0;5;10; 10;... 
  
 Ước của một số nguyên 10 chia hết cho 1; 2; 5; 10 nên các ước của 
 Nếu số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ thì nhẩm 10 là 1; 2; 5; 10. 
 xem nó chia hết cho những số nào rồi từ đó tìm 
 các ước cả ước dương và ước âm. 
 Nếu số nguyên có giá trị tuyệt đối lớn thì phân Ta có 50 2.52 nên các ước của 50 là 
 tích số đó ra thừa số nguyên tố để tìm ước. 1; 2; 2.5; 52 ; 50. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm năm bội của 5; 5 
Hướng dẫn giải 
Các bội của 5 và 5 là 0; 5; 10; 15; 20;... 
Ví dụ 2. Tìm tất cả các ước của 4;7;13; 9; 125. 
 Trang 3 
a) 36; b) 125. 
Câu 6. Điền số vào ô trống cho đúng 
 a 51 24 34 0 15 
 b 17 11 17 8 
 a: b 8 2 5 
Câu 7. Điền số vào ô trống cho đúng 
 a 42 2 42 0 8 
 b 3 4 14 13 
 a: b 6 1 2 
Dạng 2. Tìm x thỏa mãn đẳng thức 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm các số nguyên x biết 
a) 13.x 39; b) 5.x 20; 
c) 20.x 60; d) 5x 1 16. 
Hướng dẫn giải 
a) Ta có: b) Ta có: 
 13.x 39 5.x 20 
 x 39 :13 
 x 20 : 4 
 x 3. 
 x 5 
Vậy x 3. 
 x 5. 
 Vậy x 5 hoặc x 5. 
c) Ta có: d) Ta có: 
 20.x 60 5x 1 16 
 x 60 : 20 5x 16 1 
 x 3. 5x 15 
Vậy x 3. x 15: 5 
 x 3. 
 Vậy x 3. 
Ví dụ 2. Điền số thích hợp vào ô trống 
 x 8 45 0 
 y 2 6 5 7 
 x: y 6 
 Trang 5 
 x 4 1 1 11 11 
 x 3 5 7 15 
Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là 7;3;5;15 . 
Ví dụ 3. Tìm các số nguyên x thỏa mãn 
a) x 4  x 1; b) 4x 3  x 2 . 
Hướng dẫn giải 
a) Ta có x 4 x 1 3 chia hết cho x 1 nên 3 chia hết cho x 1. 
Hay x 1 là ước của 3. 
Ta có bảng sau 
 x 1 1 1 3 3 
 x 2 0 4 2 
Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là 4; 2;0;2. 
b) Ta có 4xx 3 4 8 11 4 x 2 11 chia hết cho x 2 nên 11 chia hết cho x 2. 
Hay x 2 là ước của 11. 
Ta có bảng sau 
 x 2 1 1 11 11 
 x 1 3 9 13 
Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là 9;1;3;13 . 
Ví dụ 4. Tìm các số nguyên x biết 2x x 2 . 
Hướng dẫn giải 
Ta có 2xx 2 4 4 2 x 2 4 chia hết cho x 2 nên 4 chia hết cho x 2 . 
Hay x 2 là ước của 4. 
Ta có bảng sau 
 x 2 1 1 4 4 
 x 1 3 2 6 
Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là 2;1;3;6 . 
Ví dụ 5. Tìm số nguyên x và y biết 
a) x 1 y 3 3; b) x 1 y 2 3. 
Hướng dẫn giải 
a) Ta có 3 1.3 1 . 3 nên ta có bảng sau 
 Trang 7 
a) x 5 chia hết cho x; 
b) 3x 2 chia hết cho x 1; 
c) 3x 25 chia hết cho 3x 4. 
Câu 7. Tìm số nguyên n sao cho 2n 6  n 1 . 
Câu 8. Tìm số nguyên x sao cho 3x 7  x 2 . 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Tìm bội (ước) của một số nguyên 
Bài tập cơ bản 
Câu 1. 
Các bội của 3 và 3 là 3; 9; 81;... 
Câu 2. 
Các ước của 17 là 1; 17. 
Các ước của 8 là 1; 2; 4; 8. 
Ta có 90 2.32 .5 nên các ước của 90 là 1; 2; 3; 5; 2.3; 32 ; 2.3 2 ; 2.5; 3.5; 3 2 .5; 2.3.5; 90. 
Các ước của 13 là 1; 13. 
Các ước của 81 là 1; 3; 32 ; 81. 
Câu 3. 
Các ước của 24 là 1; 2; 3; 4; 6; 12; 24. 
Tổng các ước trên bằng 0. 
Câu 4. 
Các ước của 18 là 1; 2; 3; 6; 9; 18. 
Tích của tất cả các ước trên bằng 12 .2 2 .3 3 .6 2 .9 2 .18 2 5832 2 . 
Câu 5. 
a) Tất cả các ước của 36 là 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36. 
b) Tất cả các ước của 125 là 1; 5; 25; 125. 
Câu 6. 
 a 51 24 22 34 0 15 
 b 17 3 11 17 8 3 
 a: b 3 8 2 2 0 5 
Câu 7. 
 a 42 24 2 42 0 8 
 b 3 4 2 14 13 4 
 a: b 14 6 1 3 0 2 
 Trang 9 
 x 7. 
Câu 4. 
a) 23x 46 b) 7x 1 36 
 x 46 : 23 
 7x 36 1 
 x 2. 
 7x 35 
 x 5 
 x 5. 
Bài tập nâng cao 
Câu 5. 
a) Ta có 5 1 . 5 1.5 nên ta có bảng sau 
 x 2 1 5 1 5 
 y 3 5 1 5 1 
 x 3 7 1 3 
 y 8 4 2 2 
Vậy các cặp số x; y thỏa mãn bài toán là 3;8; 7;4;1; 2; 3;2. 
b) Ta có 3 1 . 3 1.3 nên ta có bảng sau 
 1 x 1 3 1 3 
 y 1 3 1 3 1 
 x 0 2 2 4 
 y 2 0 4 2 
Vậy các cặp số x; y thỏa mãn bài toán là 0;2; 2;0;2; 4;4; 2. 
Dạng 3. Tìm x thỏa mãn điều kiện chia hết 
Bài tập cơ bản 
Câu 1. 
a) 17 chia hết cho x nên x là ước của 17. Do vậy x 1; 17 . 
b) 23 chia hết cho x 1 nên x 1 là ước của 23. 
Ta có bảng sau 
 x 1 1 1 23 23 
 x 2 0 24 22 
Vậy các số nguyên x cần tìm là 2;0; 24;22 . 
c) 14 chia hết cho x 1 nên x 1 là ước của 14 
 Trang 11 
Vậy các giá trị của a thỏa mãn là 14;12;15;11;16;10;17;9;19;7;25;1 . 
c) Ta có 2a 23 2 a 1 22 chia hết cho 2a 1 nên 22 chia hết cho 2a 1. 
Hay 2a 1là ước của 22. 
Ta có bảng sau 
 2a 1 1 1 2 2 11 11 22 22 
 a 0 1 (loại) (loại) 5 6 (loại) (loại) 
Vậy các giá trị của a thỏa mãn là 0; 1;5; 6 . 
d) Ta có 3a 15 3 a 1 16 chia hết cho 3a 1 nên 16 chia hết cho 3a 1. 
Hay 3a 1 là ước của 16. 
Ta có bảng sau 
 3a 1 1 1 2 2 4 4 16 16 8 8 
 a (loại) 0 1 (loại) (loại) 1 (loại) 5 3 (loại) 
Vậy các giá trị của a thỏa mãn là 0;1; 1; 5;3 . 
Câu 5. 
a) Do a 5 a 1 6 chia hết cho a 1 nên 6 chia hết cho a 1. 
Hay a 1 là ước của 6. Ta có bảng sau 
 a 1 1 1 2 2 3 3 6 6 
 a 2 0 3 1 4 2 7 5 
Vậy các giá trị của a thỏa mãn là 2;0;3; 1;4; 2;7; 5 . 
b) Do 2a 2 a 2 2 2 a 1 2 chia hết cho a 1 nên 2 chia hết cho a 1. 
Hay a 1 là ước của 2. Ta có bảng sau 
 a 1 1 1 2 2 
 a 2 0 3 1 
Vậy các giá trị của a thỏa mãn là 2;0;3; 1 . 
c) Do 2a 1 2 a 6 5 2 a 3 5 chia hết cho a 3 nên 5 chia hết cho a 3 . 
Hay a 3 là ước của 5. Ta có bảng sau 
 a 3 1 1 5 5 
 a 2 4 2 8 
Vậy các giá trị của a thỏa mãn là 2; 4;2; 8 . 
d) Do a 10 a 3 13 chia hết cho a 3 nên 13 chia hết cho a 3 . 
 Trang 13