Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 6, 7 - Chuyên đề Chứng minh chia hết

 CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT
 Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT
Bài 1: Chứng minh rằng:
a, ab ba11 b, ab ba9 (a > b) c, abcabc7,11,13
HD:
 a, Ta có : ab ba 10a b 10b 1 11b 11b11
 b, Ta có : ab ba (10a b) (10b a) 9a 9b9
 c, Ta có : abcabc abc.1001 abc.7.11.137,11,13 
Bài 2: Chứng minh rằng:
a, (n 10)(n 15)2 b, n(n 1)(n 2)2,3 c, n 2 n 1 không 4,2,5
HD:
 a, Ta có: Nếu n là số lẻ thì n 152
 Nếu n là số chẵn thì n 102 , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì : n 10 n 15 2
 b, Ta có: Vì n n 1 n 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3
 c, Ta có : n(n 1) 1 là 1 số lẻ nên không  cho 4,2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5
Bài 3: Chứng minh rằng:
a, (n 3)(n 6)2 b, n2 n 6 không  5 c, aaabbb37
HD:
 a, Ta có: Nếu n là số chẵn thì n 62
 Nếu n lẻ thì n 32 , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì n 3 n 6 2
 b, Ta có : n2 n 6 n n 1 6, Vì n n 1 là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận 
 cùng là : 0, 2, 6, Do đó : n n 1 6 sẽ có tận cùng là 6, 8, 2 nên không  5
 c, Ta có : aaabbb aaa000 bbb a.11100 b.111 a.300.37 b.3.37 chia hết cho 37 
Bài 4: Chứng minh rằng:
a, aaaa ,37 b, ab(a b)2 c, abc cba99
HD:
 a, Ta có : aaa a.111 a.3.37 chia hết cho a và chia hết cho 37
 b, Ta có: Vì a, b là hai số tự nhiên nên a,b có các TH sau:
 TH1: a, b cùng tính chẵn lẻ=> (a+b) là 1 số chẵn nhưu vậy a+b chia hết cho 2
 TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đó chia hết cho 2
 c, Ta có: abc cba 100a 10b c 100c 10b a 99a 99c 99 a c 99
Bài 5: CMR : ab 8.ba9
HD:
 Ta có: ab 8.ba 10a b 8 10b a 18a 18b 18 a b 9
Bài 6: Chứng minh rằng: ab a b 2,a,b N 
Bài 7: Chứng minh rằng số có dạng : abcabc luôn chia hết cho 11
HD :
 Ta có : abcabc a.105 b.104 c.103 b.10 c a.102 103 1 b.10 103 1 c 103 1 
 103 1 a.102 b.10 c 1001 a.102 b.10 c 11.91.abc11
Bài 8: Tìm n là số tự nhiên để: A n 5 n 6 6n HD:
 a, Ta có : abcd 1000a 100b 10c d29 => 2000a+200b+20c+2d  29
 => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d  29
 => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29
 b, Ta có: abc 100a 10b c 21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c  21
 => 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21
Bài 17: Chứng minh rằng:
a, abcd4  d 2c4 b, abcd16 d 2c 4b 8a16 (c chẵn)
HD:
 a, Ta có: Vì e, abcd4 cd4 10c d4 2c d4
 b, Ta có: Vì abcd16 1000a 100b 10c d16 992a 8a 96b 4b 8c 2c d  16
 => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nên 8c  16 => (8a+4b+2c+d) 16
Bài 18: Chứng minh rằng:
a, Cho a - b  7 cmr 4a+3b 7 (a,b Z) b, Cmr m +4n  13 10m+n  13
HD:
 a, Ta có: a – b 7 nên 4(a –b) 7 => 4a – 4b +7b 7 => 4a +3b  7
 b, Ta có: m+4n  13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n13 =>10m+ n 13
Bài 19: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 6a+11b  31 thì a+7b cũng  31, điều ngược lại có đúng không?
HD:
 Ta có : 6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31
Bài 20: Cho a,b là các số nguyên, CMR 5a+2b  17 khi và chỉ khi 9a+7b  17
HD:
 Ta có : 5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b  17
Bài 21: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 2a+3b  7 thì 8a + 5b  7
HD:
 Ta có: 2a+3b 7 => 4(2a+3b) 7 =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b 7
Bài 22: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu a - 2b  7 thì a-9b  7, điều ngược lại có đúng không?
HD:
 Ta có: a – 2b 7 => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại vẫn đúng
Bài 23: Cho a,b là các số nguyên và 5a+8b  3 cmr
a, - a +2b  3 b, 10a +b  (-3) c, a +16b  3
HD:
 a, Ta có: 5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b3=> -a+2b 3
 b, Ta có: 5a +8b 3 => 2(5a+8b) 3=>10a+16b3=>10a+16b-15b3
 c, Ta có: 5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b 3 =>a+16b 3
Bài 24: Cho biết a-b  6, CMR các biểu thức sau cũng chia hết cho 6
a, a +5b b, a +17b c, a - 13b
HD:
 a, Ta có: a-b 6 => a-b+6b6=> a+5b6
 b, Ta có: a-b 6 => a-b +18b 6=> a+17b 6
 c, Ta có: a - b 6 => a-b-12b 6=> a-13b  6
Bài 25: CMR : nếu x 25 thì 3x 4 y5 và ngược lại Bài 37: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 và 27, biết rằng hai số giữa của nó là 97
HD:
 Gọi số cần tìm là a97b vì a97b 5 nên b = 0 hoặc b = 5 => 2 trường hợp
 TH1: Với b 0 a97027 a 9 7 0 a 169 a 2 , Khi đó số cần tìm là 2970 thỏa mãn 
 chia hết cho 27
 TH2: Với b 5 a97527 a 9 7 5 a 219 a 6, Khi đó số cần tìm là 6975 không 
 chia hết cho 27 
Bài 38: Tìm 1 số có hai chữ số biết số đó chia hết cho tích các chữ số của nó
HD:
 Gọi số cần tìm là ab
 => ab 10a b Mà aba.b 10a bab 10a ba ba b k.a k N 
 Và 10a bb 10ab , mà do b chia hết cho a=> 10a b.q 10a z.k.q 10 k.q
 Do k là số có 1 chữ số nên k= 1;2;5
 Với k=1=> a=b, ta có các số 11,22,33,....99, có số 11 thỏa mãn
 Với k=2=>b=2a, ta có các số 12, 24, 36, 48, có các số 12, 24, 36 thỏa mãn
 Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn.
 Vậy các số cần tìm là 11, 12, 24, 36, 15
Bài 39: Cho số tự nhiên abbằng ba lần tích các chữ số của nó, cmr b  a
HD:
 Ta có: ab =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>ba
Bài 40: Tìm a, b, c biết: 2009abc315
HD:
 Ta có: 315 5.7.9 , Mà (5;7;9) 1 2009abcBCNN 5;7;9 
 Ta có: 2009abc 2009000 abc 315.6377 245 abc
 245 abc 315 315 U 245 abc 
 Mà 100 abc 999 345 245 abc 1244 245 abc 630;945 abc 385;700
Bài 41: Tìm a,b biết: a-b=3 và (14a3 35b2)9
HD:
 Ta có: Để : 14a3 35b29 1 4 a 3 3 5 b 2 a b 189 a b9
 mà a và b là số chó 1 chữ số nên a b 0, a b 9, a b 18
 kết hợp với a - b =3 để tìm a và b
Bài 42: Tìm a,b biết:c, 5a6b23và a - b=4
HD:
 Để 5a6b23 5 a 6 b 2 a b 133 a b 13
 Do a, b là hai số tự nhiên có 1 chữu số nên: 
 a b 2, a b 5, a b 8, a b 11, a b 14, a b 17, , Kết hợp với a b 4 để tìm a,b
Bài 43: Tìm a,b biết rằng: 1999 1a6 29 
Bài 44: Tìm a biết rằng: 1999 19a8 1997 
Bài 45: Cho x y 7 x, y Z , CMR các biểu thức sau chia hết cho 7
a/ 22x y b/ 8x 20 y c/ 11x 10 y
HD:
 a, Ta có: x y 7 x y7 x y 21x7 22x y7
 b, Ta có: x y 7 x y 7x 21y 7 8x 20y7
 c, Ta có: x y7 11x 11y7 11x 11y 21y7 11x 10y7
Bài 46: Cho A 111...1Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 không? x y 1 1 1 1
 là số nguyên dương
 xy x y xy
 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1
 Mà 2 x y 1 (1)
 x y xy 2 2 4 4 x y xy
 1 1 1 1 1 1 5
 1 2x 5 x 2 , Thay vào (1) ta có :
 x y xy x x 2x 2x
 1 1 1
 1 y 3
 2 y 2y
 Vậy các cặp số (x ; y) phải tìm là : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2)
Bài 54: Tìm 1 số có ba chữ số biết số đó chia cho 11 được thương bằng tổng các chữ số của số đó
HD :
 Ta có : Gọi số cần tìm là : abc
 Theo bài ra ta có : abc 11 a b c 100a 10b c 11a 11b 11c
 89a b 10c 89a cb, Vì cb là số có hai chữ số nên 0 < a< 2
 => a = 1, Khi đó ta có : 89 cb bc 98 abc 198
Bài 55: Chứng minh rằng : n : 6 1 thì n 1 n 1 24
HD :
 Vì n;6 1 n  2,n  3 n 2k 1,n 3k 1,n 3k 2
 Với: n 2k 1 A 2k 1 1 2k 1 1 4k k 1 8
 TH1 : n 3k 1 A 3k 3k 2 3 A24
 TH2: n 3k 2 A 3k 1 3k 3 3 A24
Bài 56: CMR: an 4 an 30, với mọi n là số nguyên dương
Bài 57: Chứng minh rằng 2x+3y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x+5y chia hết cho 17
HD:
 Ta có : 2x 3y17 9 2x 3y 17 18x 27y17 18x 10y17 2 8x 5y 17
 Khi đó : 8x 5y17 , Chứng minh tương tự điều ngược lại
Bài 58: CMR: M a b a c a d b c b d c d chia hết cho 12, Với a, b, c, d là các số 
nguyên
HD:
 Ta có : M a b a c a d b c b d c d 
 Trong 4 số a,b,c,d chắc chắn có hai số chia cho 3 có cùng số dư, Nên hiệu của chúng chia hết cho 3, 
 Như vậy M đã chia hết cho 3
 Lại có trong 4 số nguyên a,b,c,d hoặc có 2 số chẵn hoặc có 2 số lẻ, Giả sử a,b là số chẵn, c,d là số lẻ 
 Khi đó a b , c d 2 a b c d 4 M4
 Hoặc nếu không phải như trên thì trong 4 số trên tồn tại 2 số chia 4 có cùng số dư nên hiệu của 
 chúng chia hết cho 4, Khi đó M  4
 Như vậy M chia hết cho cả 3 và 4 nên M chia hết cho 12
Bài 59: Một số chia cho 7 dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?
HD:
 Gọi số đã cho là A, theo bài ra ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7
 Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) vậy a+39 đồng thời chia hết cho 
 7,17,23
 Mà 7,17,23 đôi 1 nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, vậy A chia 27737 dư 2698
Bài 60: CMR: A 88 220 , chia hết cho 17
HD: Bài 73: Cho hai số tự nhiên a và b thỏa mãn : m 16a 17b 17a 16b là 1 bội số của 11, CMR : Số m 
cũng là một bội số của 121
HD:
 Vì 11 là số nguyên tố: mà m 16a 17b 17a 16b 11 16a 17b11 hoặc 17a 16b11 
 Không mất tính tổng quát: giả sử: 16a 17b11 , ta cần chứng minh 17a 16b 11 
 Thật vậy: 16a 17b11 2 16a 17b 11 33 a b b a11 b a11 a b11 
 Lại có: 2 17a 16b 33 a b a b11 17a 16b 11 
 Vậy 16a 17b 17a 16b 11.11 121 
Bài 73: Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn: 17a 5b 5a 17b chia hết cho 11, 
Chứng minh rằng : 17a 5b 5a 17b 121 
Bài 73: Cho a, b là hai số tự nhiên. CMR: ab a2 b2 4a2 b2 5 
Bài 73 : Cho a, b là hai số nguyên. CMR: ab a2 b2 a2 b2 30 
Bài 74: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho : a 1,b 2007 chia hết cho 6. CMR: 4a a b6 
HD:
 Vì a Z 4a  1 mod3 4a 2  0 mod3 
 Mà 4a 2  0 mod 2 4a 26 
 Khi đó ta có: 4a a b 4a 2 a 1 b 2017 20106 
 Mà a 16,b 20176 4a a b6 
 1 1 1
Bài 75: Cho A ... , CMR : A không là số tự nhiên
 11 12 40
HD:
 Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của 2 5 với các thừa số lẻ nhở hơn 40 và lứn hơn 10
 Gọi k11, k12, k13, ..., k40 là các thừa số phụ tương ứng
 k11 k12 ... k40 
 Khi đó tổng A có dạng : A , Trong 30 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất 
 25.11.13.....39
 1
phân số có mẫu chứa 2 5 , nên trong các thừa số phụ k11, k12, ... k40 chỉ có k32 là số lẻ, còn lại các 
 32
thừa số phụ khác đều chẵn vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không 
chia hết cho 2 nên A không là số tự nhiên
 1 1 1
Bài 76: Cho A 1 ... , CMR : A không là số tự nhiên
 2 3 100
HD:
 Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của 26 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100 
 Gọi k1, k2, k3, ..., k100 là các thừa số phụ tương ứng
 k1 k2 ... k100 
 Khi đó tổng A có dạng : A , 
 25.3.5.7.....99
 1
 Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số có mẫu chứa 26 , 
 64
 nên trong các thừa số phụ k1, k2, ... , k100 chỉ có k62 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ khác đều chẵn 
 vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không chia hết cho 2 nên A 
 không là số tự nhiên
 1 1 1
Bài 77: CMR: A ... thì A không là số tự nhiên
 2 3 50