Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Tìm chữ số tận cùng

 CHUYÊN ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
DẠNG 1: TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 TÍNH CHẤT 1:
 a. LÝ THUYẾT:
 I. Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì 
 chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
 II. Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số 
 tận cùng vẫn không thay đổi. 
 III. Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc 
 N) thì chữ số tận cùng là 1. 
 IV. Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc 
 N) thì chữ số tận cùng là 6. 
 Việc chứng minh tính chất trên không cần thiết với lớp 6. Như vậy, muốn tìm 
 chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của 
 a. 
 - Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 
 6. 
 - Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9, vì am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, 3 nên 
 từ tính chất 1c => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar. 
 - Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên, từ tính chất 1d 
 => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar. 
 B. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
 Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 
 a) 799 b) 141414 c) 4567
 Lời giải : 
 a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 
 99 - 3 = 96 chia hết cho 4 
 => 99 = 4k + 3 (k thuộc N) => 799 = 74k + 3 = 74k.73
 Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 3. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 
sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 
Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 +  + 20048011. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy 
thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có 
chữ số tận cùng là 4 ;  
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 
5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 
200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. 
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9. 
* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc 
đáo. 
Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 
19952000. 
Lời giải : 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề 
là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ? 
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng 
của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 
+ n + 1 không chia hết cho 5. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. 
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 
; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau : 
Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương : 
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) 
b) N = 20042004k + 2003 
Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 
1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán : Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau : 
 U = 21 + 35 + 49 +  + 20058013 
 V = 23 + 37 + 411 +  + 20058015 
 Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 
 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. 
 * Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ 
 số tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này. 
DẠNG 2: TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG
 Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng 
 của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. 
 Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự 
 nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). 
 Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. 
 Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên 
 x = am như sau : 
 Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am  2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1  
 25. 
 Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq  4 ta có :
 x = am = aq(apn - 1) + aq. 
 Vì an - 125 => apn - 1 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) 100. 
 Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp 
 theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. 
 Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 100. 
 Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : 
 x = am = av(aun - 1) + av. Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. 
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. 
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng 
của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá 
trị đúng. 
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4. 
Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất 
sau đây (bạn đọc tự chứng minh). 
Tính chất 4 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1  25. 
Bài toán 9 : Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng : 
 2002 2002 2002 2002
a) S1 = 1 + 2 + 3 + ... + 2004 
 2003 2003 2003 2003
b) S2 = 1 + 2 + 3 + ... + 2004 
Lời giải : 
a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; 
nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25. 
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1  25. 
Vậy với mọi a Є N ta có a2(a100 - 1)  100. 
 2002 2 2000 2 2000 2 2 2
Do đó S1 = 1 + 2 (2 - 1) + ... + 2004 (2004 - 1) + 2 + 3 + ... + 2004 . 
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 
12 + 22 + 32 + ... + 20042. áp dụng công thức : 
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 
=>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30. 
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. 
 2003 3 2000 3 2000
b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 1 + 2 (2 - 1) + ... + 2004 (2004 - 
 3 3 3
1) + 2 + 3 + 2004 . Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai 
chữ số tận cùng của 13 + 23 + 33 + ... + 20043. 
áp dụng công thức : Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số 
 tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. 
 Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là 
 ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x). 
 Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận 
 cùng của số tự nhiên x = am như sau : 
 Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am  2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho 
 an - 1125. 
 Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq  8 ta có : 
 x = am = aq(apn - 1) + aq. 
 Vì an - 1  125 => apn - 1 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên aq(apn - 1)  1000. 
 Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của aq. Tiếp 
 theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của aq. 
 Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1  1000. 
 Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : 
 x = am = av(aun - 1) + av. 
 Vì an - 1 1000 => aun - 1 1000. 
 Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av. Tiếp 
 theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của av. 
 Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4. 
 Tính chất 6 : 
 Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 125. 
 Chứng minh : Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có 
 cùng số dư là 1 
=>a20 + a40 + a60 + a80 + 15.Vậy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1)  125. 
 Bài toán 11 : 
 Tìm ba chữ số tận cùng của 123101. => 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004200 
chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376. 
Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở 
rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên. 
SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG : 
Bài 1 : Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n không chia 
hết cho 4. 
Bài 2 : Tìm hai chữ số tận cùng của : 
a) 3999 b) 111213 
Bài 3 : Tìm hai chữ số tận cùng của : 
S = 23 + 223 + ... + 240023 
Bài 4 : Tìm ba chữ số tận cùng của : 
S = 12004 + 22004 + ... + 20032004 
Bài 5 : Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng 
ba chữ số tận cùng của a. 
Bài 6 : Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùng 
của A200. 
Bài 7 : Tìm ba chữ số tận cùng của số : 
199319941995 ...2000 
Bài 8 : Tìm sáu chữ số tận cùng của 521.