Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Số nguyên tố, hợp số, số chính phương

docx 22 trang thanh nguyễn 20/07/2025 90
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Số nguyên tố, hợp số, số chính phương", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Số nguyên tố, hợp số, số chính phương

Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Số nguyên tố, hợp số, số chính phương
 CHUYÊN ĐỀ 7: VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 a. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
 ❖ LÝ THUYẾT SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ:
 a. Định nghĩa:
 a. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
 b. Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
 b. Tính chất:
 a. Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết 
 cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
 b. Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 
 và a.
 c. Cách xác định số lượng các ước của một số: 
 Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = ax . by cz thì số 
 lượng các ước của M là ( x + 1)( y + 1)( z + 1).
 d. Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc ap hoặc bp. 
 e. Đặc biệt nếu an  p thì ap
 f. Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương 
 lên không vượt quá nó.
 g. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: 4n 1
 h. Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 6n 1
 i. Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị
 j. Một số bằng tổng các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn 
 chỉnh’.
 Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh
 ❖SỐ CHÍNH PHƯƠNG:
  ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số 
 nguyên.
  TÍNH CHẤT: 
 ❖ Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể 
 có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. Bài 2: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố 
đó. 
Bài 3: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.
Bài 4: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 được không?
Bài 5: Tìm hai số nguyên tố, sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố.
Bài 6: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược 
lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 7: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, 
chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của ba 
số nguyên tố liên tiếp.
Bài 8: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r.
Bài 9: Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. Tìm 
hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50.
Bài 10: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai chữ số nguyên tốt và 
bằng hiệu của hai số nguyên tố.
Bài 11: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
 p + 2 và p + 10
 p + 10 và p + 14
 p + 10 và p + 20
 p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
Bài 12: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng 
minh rằng p + 1 chia hết cho 6.
Bài 13: Cho a + b = p, p là một số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng 
nhau.
Bài 14: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng?
Bài 15: Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố hay không?
 SỐ CHÍNH PHƯƠNG Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào 
là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính 
phương.
Bài 12: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1
không phải là số chính phương.
 b) Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị là một số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3)
c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương
 a) a2 + a + 43
 b) a2 + 81
 c) a2 + 31a + 1984
Bài 3: Tìm số tự nhiên n 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính 
phương.
Bài 4: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính 
phương.
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
 c) Dạng 4: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A 
một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B. Tổng của 4 số nguyên tố là một số nguyên tố => tổng của 4 số nguyên tố là 1 số lẻ 
=> trong 4 số đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy 
nhất là 2. Vậy 4 số nguyên tố cần tìm là: 2; 3; 5; 7
Bài 4: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 được không?
HƯỚNG DẪN:
Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn 
tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số 
nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 
2001 không phải là số nguyên tố. => Tổng của hai số nguyên tố không thể 
bằng 2003 .
Bài 5: Tìm hai số nguyên tố, sao cho tổng và hiệu của chúng đều là số nguyên tố.
HƯỚNG DẪN:
Gọi a, b, c, d là các số nguyên tố. (a>b)
 ― = 
Theo bài ra ta có: + = (*) => c + b = d - b
Từ (*) => a > 2, a là số nguyên tố lẻ => c + b và d – b là số lẻ. Do b, c, d đều là số 
nguyên tố nên để c + b và d – b là số lẻ thì => b chẵn. Vậy b = 2 
 a. Bài toán đưa về dạng tìm một số nguyên tố a sao cho a – 2 và a + 2 cũng là 
 số nguyên tố.
 ▪ Nếu a = 5 => a – 2 = 3; a + 2 = 7 đều là số nguyên tố
 ▪ Nếu a ≠ 5 . Xét 2 trường hợp
 + a chia 3 dư 1 => a + 2 chia hết cho 3 : không là số 
 nguyên tố
 + a chia 3 dư 2 => a – 2 chia hết cho 3: không là số nguyên 
 tố
 Vậy chỉ có số nguyên tố a duy nhất thoả mãn là 5.
 Hai số nguyên tố cần tìm là 5; 2
Bài 6: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược 
lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.
HƯỚNG DẪN:
Gọi số tự nhiên đó là a. Từ (*) => a > 2 => a là số nguyên tố lẻ
 ❖ b + c = d – e là số lẻ.
 do b, d là các số nguyên tố => b, d là số lẻ => c, e là số chẵn.
 ❖ c =e = 2 (do e, c là các số nguyên tố)
 ❖ a = b + c = d – 2 => d = b + 4
 vậy ta cần tìm số nguyên tố b sao cho b + 2, b + 4 cũng là số nguyên tố
 ❖ b = 3
 Vậy số nguyên tố cần tìm là 5
Bài 11: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
 a. p + 2 và p + 10
 ▪ Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 10 = 12 đều không phải là số 
 nguyên tố.
 ▪ Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 
 3k + 2 với k ∈ N*
 + Nếu p = 3k => p = 3; p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số 
 nguyên tố.
 + Nếu p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3: không 
 là số nguyên tố.
 + Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: 
 không là số nguyên tố
 Vậy p = 3
 b. p + 10 và p + 14 
 Nếu p = 2 thì p + 10 = 12 và p + 14 = 16 đều không phải 
 là số nguyên tố.
 Nếu p ≥ 3 thì số nguyên tố p có một trong 3 dạng : 3k, 3k + 
 1, 3k + 2 với k ∈ N*
 + Nếu p = 3k => p = 3; p + 10 = 13; p + 14= 17 đều là số 
 nguyên tố.
 + Nếu p = 3k + 1 => p + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3: 
 không là số nguyên tố.
 + Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3: 
 không là số nguyên tố
 Vậy p = 3 Bài 13: Cho a + b = p, p là một số nguyên tố. Chứng minh a và b nguyên tố cùng 
nhau.
HƯỚNG DẪN:
Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b.
Theo bài ra ta có: a, b < p
 a⋮d
 ❖ b⋮d => a + b ⋮ d => p ⋮ d => d = 1 => a, b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 14: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng?
HƯỚNG DẪN:
Gọi 3 số nguyên tố đó là a,b,c 
Ta có: abc =5(a+b+c) 
=> abc chia hết cho 5, do a,b,c nguyên tố 
=> chỉ có trường hợp 1 trong 3 số =5, giả sử là a =5 
=> bc = b+c +5 => (b-1)(c-1) = 6 
{b-1 =1 => b=2; c-1 =6 => c=7 
{b-1=2, c-1=3 => c=4 (loại) 
Vậy 3 số nguyên tố đó là 2, 5, 7 
Bài 15: Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố hay không?
HƯỚNG DẪN:
Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố vì với a = 1 thì a4 + a2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 
là số nguyên tố.
 SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 d) Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương 10n 1 10n 1
= 4. .10n 8. 1
 9 9
 4.102n 4.10n 8.10n 8 9 4.102n 4.10n 1
= 
 9 9
 2
 2.10n 1 
= 
 3 
Ta thấy:
 2.10n + 1 = 200...01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3
 n - 1 chữ số 0 
 2
 2.10n 1 
=> Z hay các số có dạng 44 ... 488 ... 89 là số chính phương.
 3 
Bài 4: Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n 
thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 hay là (m - 
n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) 
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) 
chia hết cho d 
=> 8m + 1 chia hết cho d. 
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d. 
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1. 
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) 
nên chúng đều là các số chính phương.
 d) DẠNG 2 : CHỨNG MINH MỘT SỐ KHONG PHẢI LA SỐ CHINH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính 
phương. 

File đính kèm:

  • docxchuyen_de_boi_duong_hsg_toan_6_kntt_so_nguyen_to_hop_so_so_c.docx