Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Một số phương pháp giải toán

 CHUYÊN ĐỀ 10: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
 a) PHƯƠNG PHÁP 1: DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
 a) Bài tập minh họa:
Bài 1: Hiện nay, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp 6 lần 
tuổi con. Tính tuổi mẹ, tuổi con hiện nay. 
 Bài giải
 Hiện nay , tuổi mẹ gấp bốn lần tuổi con nên hiệu số tuổi của mẹ và con hiện 
nay số lần là: 4- 1 = 3 (lần)
 Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con nên hiệu số tuổi của mẹ và 
con bốn năm trước đây gấp tuổi con trước đây là 6 – 1 = 5 (lần)
 Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không đổi nên 3 lần tuổi còn hiện nay bằng 5 
lần tuổi con bốn năm trước, hay tuổi mẹ hiện nay bằng 5/3 tuổi con bốn năm trước.
 Tuổi con hiện nay hơn tuổi con 4 năm trước là 4 tuổi.
 Ta có sơ đồ:
 Tuổi con hiện nay: |-----|-----|-----|-----|-----|
 4 tuổi
 Tuổi con 4 năm trước: |-----|-----|-----|
 Hiệu số phần bằng nhau là: 5 - 3 = 2 (phần)
 Tuổi con hiện nay là: 4 : 2 x 5 = 10 (tuổi)
 Tuổi mẹ hiện nay là: 10 x 4 = 40 (tuổi)
 Đáp số: con 10 tuổi; mẹ 40 tuổi.
 1
Bài 2: Tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ, tuổi con bằng tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người, 
 5
biết tổng số tuổi của mẹ và con là 36. 
 Bài giải Năm nay, nếu coi tuổi cháu là 1 phần thì tuổi cô là 6 phần như thế. Hiệu số 
phán tuổi của hai cô cháu là: 6 – 1 = 5 (phần).
 Vì hiệu số tuổi của hai cô cháu không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi 
cháu bằng tuổi cô hiện nay thì cháu vẫn kém cô 5 phần tuổi cháu hiện nay. 
 Khi đó ta có sơ đồ:
 Tuổi cháu: |------|------|------|------|------|------| 68 tuổi
 Tuổi cô: |------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
 Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 6 + 11 = 17 (phần)
 Khi đó tuổi cháu là: 68 : 17 x 6 = 24 (tuổi)
 Khi đó tuổi cháu bằng tuổi cô hiện nay nên tuổi cô hiện nay là 24 tuổi.
 Tuổi cháu hiện nay là: 24 : 6 = 4 (tuổi).
 Đáp số: Cháu: 4 tuổi; Cô: 24 tuổi.
Bài 5: Tổng số tuổi chị và tuổi em hiện nay bằng 32. Khi tuổi chị bằng tuổi em 
hiện nay thì tuổi chị gấp 3 lần tuổi em. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi? 
 Bài giải
 Khi tuổi chị bằng tuổi em hiện nay thì tuổi chị gấp ba lần tuổi em, vậy nếu 
coi tuổi em hiện nay là 3 phần bằng nhau thì tuổi em trước đây là 1 phần.
 Số phần tuổi chị nhiều hơn tuổi em trước đây là : 3 – 1 = 2 (phần).
 Vì hiệu số tuổi của hai chị em không thay đổi theo thời gian nên hiện nay chị 
vẫn hơn em hai phần tuổi em trước đây. Do đó nếu coi tuổi em hiện nay là 3 phần 
tuổi em trước đây thì tuổi chị hiện nay là 5 phần như thế (2 + 3 = 5) ta có sơ đồ:
 Tuổi em hiện nay: |------|------|------|
 32 tuổi
 Tuổi chị hiện nay: |------|------|------|------|------|
 Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)
 Tuổi em hiện nay là: 32 : 8 x 3 = 12 (tuổi)
 Tuổi chị hiện nay là: 32 – 12 = 20 (tuổi)
 Đáp số: Em: 12 tuổi; Chị: 20 tuổi. Đáp số: Số bé: 197; Số lớn: 1970.
Bài 8: Hiện nay mẹ 35 tuổi, con 8 tuổi. Hỏi:
 a) Mấy năm nữa tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con?
 b) Có khi nào tuổi mẹ gấp 5 nần tuổi con không? 
 Bài giải
 a) Hiệu số tuổi của hai mẹ con là: 35 – 8 = 27 (tuổi)
 Hiệu số tuổi của hai mẹ con sẽ không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi 
 mẹ gấp 4 lần tuổi con thì mẹ vẫn hơn con 27 tuổi. Ta có sơ đồ:
 Tuổi con: |------| 27 tuổi
 Tuổi mẹ: |------|------|------|------|
 Khi đó tuổi con là: 27 : (4 – 1 ) = 9 (tuổi)
 Vì 9 – 8 = 1 nên sau một năm nữa thì tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con.
 b) Khi tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con thì mẹ vẫn hơn con 27 tuổi. Ta có sơ đồ khi 
 đó:
 Tuổi con: |------| 27 tuổi
 Tuổi mẹ: |------|------|------|------|------|
 Tuổi con khi đó là: 27 : (5 – 1) = 27 : 4
 Vì 27 không chia hết cho 4 nên không có khi nào tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi 
 con.
 23
Bài 9: Cho phân số . Hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi cùng bớt cả tử số và 
 28
 2
mẫu số của phân số đã cho đi m thì ta được phân số mới có giá trị bằng .
 3
 Bài giải
 23
 Hiệu của mẫu số và tử số của phân số là 28 – 23 = 5 
 28
 Nếu cùng bớt m ở cả tử số và mẫu số thì hiệu mẫu số và tử số không đổi 
 2
(vẫn bằng 5) mà khi đó được phân số mới có giá trị bằng nên ta có sơ đồ:
 3
 Tử số mới: |------|------|
 5
 Mẫu số mới: |------|------|------|
 Tử số mới là: 5 : (3 – 2) x 2 = 10
 Số tự nhiên m là:23 – 10 = 13. Theo sơ đồ ta có:
 7 phần tuổi con + 4 tuổi + 6 phần tuổi con + 4 tuổi = 73 tuổi
 Hay 13 phần tuổi con + 8 tuổi = 73 (tuổi)
 13 phần tuổi con = 65 (tuổi)
 Vậy một phần tuổi con khi đó là: 65 : 13 = 5 (tuổi)
 Tuổi con hiện nay là : 5 x 7 + 4 = 39 (tuổi).
 Đáp số: 39 tuổi. 
Bài 12: Bố nói với con: “10 năm trước đây tuổi bố gấp 10 lần tuổi con”, 22 năm 
sau nữa thì tuổi bố sẽ gấp đôi tuổi con. Hãy tính tuổi bố và tuổi con hiện nay. 
 Bài giải
 Mười năm trước đây, nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 10 phần như 
thế. Thời gian từ cách đây 10 năm đến sau đây 22 năm nữa có số năm là: 
 10 + 22 = 32 (năm)
 Theo bài ra ta có sơ đồ:
Tuổi con 10 năm trước: |----|
Tuổi bố 10 năm trước: |----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
 32 tuổi
Tuổi bố 22 năm sau: |----|--------------------------------|----|----|----------------------|
 32 tuổi
Tuổi con 22 năm sau: |----|--------------------------------| 
Nhìn sơ đồ ta thấy:
 1 phần tuổi con + 32 tuổi = (10 phần tuổi con + 32 tuổi) : 2
Hay 1 phần tuổi con + 32 tuổi = 5 phần tuổi con + 16 tuổi
 16 tuổi = 4 phần tuổi con
 Vậy tuổi con cách đây 10 năm là: 16 : 4 = 4 (tuổi).
 Tuổi bố cách đây 10 năm là: 4 x 10 = 40 (tuổi)
 Tuổi con hiện nay là: 4+ 10 = 14 (tuổi) 1
 9 – 10x = 8(l)
 10
 1
 Vậy lúc đầu bình 1 có số lít nước là: 8 : (1 - ) = 12 (l)
 3
 1
 Sau khi đổ số nước ở bình 2 sang bình 3 thì bình 2 còn 9 lít (theo bài ra), 
 4
 1
vậy trước khi đó bình 2 có số lít nước là: 9 : (1 - ) = 12 (l).
 4
 1
 Vậy trước khi nhận số nước của bình 1 hay lúc đầu bình 2 có số lít nước 
 3
là:
 1
 12 – 12x = 8 (l).
 3
 1
 Bình 2 đổ sang bình 3 số lít nước là: 12 x = 3 (l)
 4
 1
 Theo lời giải đầu thì trước khi đổ số nước sang bình 1 thì bình 3 có 10 lít 
 10
nước, vậy trước khi nhận 3 lít nước ở bình 2 đổ sang hay lúc đầu bình 3 có số lít 
nước là: 10 – 3 = 7 (l).
 Đáp số: Bình 1: 12l; Bình 2: 8l; Bình 3: 7l.
Bài 15: Tìm bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng bằng 5420 
 Bài giải
 Gọi bốn số tự nhiên chẵn có dạng: 2k; 2k + 2; 2k + 4; 2k +6. (k ∈ N)
 Theo bài ra ta có: 2k + 2k +2 + 2k + 4 +2k + 6 = 5420
 Hay 8k + 12 = 5420
 8k = 5408
 k = 676 ( TM )
 Vậy 4 số tự nhiên cần tìm là: 1352; 1354; 1356; 1358.
Bài 16: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng tổng của số lớn nhất và số nhỏ nhất 
bằng 114. Lúc đó là năm : 2000 + 24 = 2024.
 Đáp số: Năm 2024
 a) Bài tập tự luyện:
Bài 1: Năm nay tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi. Đến khi tuổi con bằng tuổi 
cha hiện nay thì tuổi hai cha con cộng lại bằng 109. Tìm tuổi của mỗi người hiện 
nay. 
 Bài giải
 Nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi cha là 7 phần như thế cộng thêm 3 tuổi. 
Vậy hiệu số tuổi của hai cha con là 6 phần tuổi con cộng thêm 3 tuổi.
 Vì hiệu số tuổi của hai cha con không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi 
con bằng tuổi cha hiện nay thì con vẫn kém cha 6 phần tuổi con hiện nay cộng 
thêm 3 tuổi, ta có sơ đồ khi đó:
 7 phần 3t
 Tuổi con: |---|---|---|---|---|---|---|--|
 7 phần 6 phần 3t 109 tuổi
 Tuổi cha: |---|---|---|---|---|---|---|--|---|---|---|---|---|---|--|
 Theo sơ đồ ta có:
 7 phần + 7 phần + 6 phần + 3 tuổi + 3 tuổi + 3 tuổi = 109 tuổi
 20 phần + 9 tuổi = 109 tuổi
 20 phần = 100 tuổi
 Vậy tuổi con hiện nay là: 100 : 20 = 5 (tuổi)
 Tuổi cha hiện nay là: 5 x 7 + 3 = 38 (tuổi).
 Đáp số: Con: 5 tuổi; Cha: 38 tuổi.
Bài 2: Hiệu của hai số là 2345. Tìm hai số đó, biết rằng nếu viết thê chữ số 5 vào 
tận cùng bên phải số bé thì được số lớn. 
 Bài giải