Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Điểm, đường thẳng, đoạn thẳng

 CHUYÊN ĐỀ 12: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG
CHƯƠNG I – ĐOẠN THẲNG
A – KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) ĐIỂM. ĐƯỜNG THẲNG. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
 a) Vị trí của điểm và đường thẳng
 a) Điểm A thuộc đường thẳng a, kí hiệu A ∈ a 
 b) Điểm B không thuộc đường thẳng a, kí hiệu B a
 b) Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng. ba điểm không 
 thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào
 c) Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm 
 còn lại. Trong hình dưới, điểm M nằm giữa hai điểm A và B
 d) Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng.
 e) Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành nhiều (4, 5, 6,) 
 điểm thẳng hàng
II – ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
 a) Có một đường thẳng và chỉ 1 đường thẳng đi qua hai điểm A và B
 b) Có ba cách đặt tên đường thẳng:
 c) Dùng một chữ cái in thường: ví dụ a
 d) Dùng hai chữ cái in thường: ví dụ xy
 e) Dùng hai chữ cái in hoa: ví dụ AB
 c) Có ba vị trí của hai đường thẳng phân biệt:
 f) Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song) Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
 Nếu AM + MB ≠ AB thì điểm M không nằm giữa A và B.
 Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì:
 AM + MN + NB = AB
V- VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI
 a) Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được 1 và chỉ một điểm M sao cho OM = a(đơn 
 vị dài)
 b) Trên tia Ox, OM = a, ON = b, nếu 0 < a < b thì điểm M nằm giữa hai điểm 
 O và N
 c) Trên tia Ox có 3 điểm M, N, P; OM = a; ON = b; OP = c; nếu 0 < a < b thì 
 điểm N nằm giữa hai điểm M và P.
VI – TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG
 a) Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách 
 đều hai đầu đoạn thẳng đó 5. Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MN khi:
 MN
 A. IM = IN B. IM IN 
 2
 C. IM + IN = MN D. IM = 2 IN
6. Cho các điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường thẳng. Có bao 
nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ các điểm trên ?
 A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 
7. Đường thẳng có đặc điểm nào trong các đặc điểm sau ?
 A. Giới hạn ở một đầu. B. Kéo dài mãi về một phía.
 C. Giới hạn ở hai đầu. D. Kéo dài mãi về hai phía.
8 . Ba điểm M, N, P thẳng hàng. Trong các câu sau, câu nào sai ?
 A. Đường thẳng MP đi qua N. B. Đường thẳng MN đi qua P.
 C. M, N, P thuộc một đường thẳng. D. M, N, P không cùng thuộc một đường thẳng.
9. Điểm E nằm giữa hai điểm M và N thì:
 A. ME + MN = EN B. MN + EN = ME C. ME + EN = MN D. Đáp án khác.
10. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua 5 điểm phân biệt mà trong đó không có 
3 điểm nào thẳng hàng?
 A. 15. B. 10. C. 5. D. Vô số.
1. PHẦN 2: TỰ LUẬN
Bài 1:Cho đường thẳng xy . Lấy điểm O xy ; điểm A xy và điểm B trên tia Ay 
(điểm B khác điểm A) 1. Giải thích vì sao M cũng là trung điểm của đoạn thẳng CD .
2. Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 10 : Gọi O là một điểm của đoạn thẳng AB . Xác định vị trí của điểm O để : 
1. Tổng AB + BO đạt giá trị nhỏ nhất 
2. Tổng AB + BO = 2 BO 
3. Tổng AB + BO = 3.BO .
Bài 11: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là một điểm của đoạn thẳng 
đó . 
 Cho biết AB = 6 cm ; AC = a ( cm ) ( 0 < a 6 ) . Tính khoảng cách CM .
Bài 12:Cho đoạn thẳng CD = 5 cm.Trên đoạn thẳng này lấy hai điểm I và K sao 
cho CI=1cm;DK=3 cm 
1. Điểm K có là trung điểm của đoạn thẳng CD không ? vì sao ? 
2. Chứng tỏ rằng điểm I là trung điểm của CK .
Bài 13: Cho đoạn thẳng AB ;điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M, N thứ tự là 
trung điểm của OA, OB
1. Chứng tỏ OA < OB .
2. Trong ba điểm O , M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
3. Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O 
 thuộc tia đối của tia AB)
Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = 8 cm . Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC = 2 cm .
1. Tính CB
2. Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD = 4 cm . Tính CD .
Bài 15: Trên tia Ox , lấy hai điểm E và F sao cho OE = 3 cm , OF = 6 cm .
1. Điểm E có nằm giữa hai điểm O và F không ? Vì sao ?
2. So sánh OE và EF .
3. Điểm E có là trung điểm của đoạn thẳng OF không ? Vì sao ? 
4. Ta có thể khẳng định OF chỉ có duy nhất một trung điểm hay không ? Vì sao 
 ? 
Bài 16: Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 3cm, OB = 6cm.
1. Điểm A có nằm giữa O và B không ? Vì sao?
2. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
3. Điểm A có phải là trung điểm của OB không ? Vì sao ?
4. Gọi P là trung điểm của đoạn thẳng OA, Q là trung điểm của đoạn thẳng 
 AB. Chứng tỏ OB = 2PQ. 
Bài 17: 1. PHẦN 3: CHUYÊN ĐỀ 12: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 5cm, điểm C nằm giữa A và B, các điểm D và E theo 
thứ tự là trung điểm của AC và CB. Tính độ dài DE.
Bài 2: Cho điểm C thuộc đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB. 
Biết CA = a, CB = b. Gọi I là trung điểm của AB. Tính độ dài IC.
Bài 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có 
thể bằng bao nhiêu?
Bài 4: Cho n điểm (n >= 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn 
thẳng.
a. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng 
hàng?
b. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng?
c. Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng.
Bài 5: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta 
vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n?
Bài 6: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, 
không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường 
thẳng đó là 780. Tính n?
Bài 7: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, 
không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
Bài 8: Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường 
thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. 
Bài 9: Cho ba điểm A, B, C nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng cả hai đoạn thẳng 
BA, BC đều cắt đường thẳng a. Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC không? Vì 
sao?
Bài 10: Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm 
giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. 
Tìm độ dài các đoạn BD; AC. 5
DE = DC + CE = + = = = = 2,5 (cm)
 2 2 2 2 2
Bài 2: Cho điểm C thuộc đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB. 
Biết CA = a, CB = b. Gọi I là trung điểm của AB. Tính độ dài IC.
Giải (H2)
Trường hợp a > b(H2a):IC = IB – CB = – b = 
 2 2
Trường hợp a < b (H2b): IC = 
 2
Trường hợp a = b thì I ≡ C
 Bài 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có 
 thể bằng bao nhiêu?
GIẢI
Bài toán đòi hỏi phải xét đủ các trường hợp:
1. Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm (H3.1 a) a. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng 
hàng?
 Giải:
 Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n – 1 điểm còn lại, ta vẽ 
 được n – 1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n(n-1) đoạn thẳng. 
 푛(푛 1)
 Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có đoạn 
 2
 thẳng. 
b. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng?
 Giải:
 Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, nhưng số đoạn thẳng phải đếm 
 푛(푛 1)
 vẫn không thay đổi, do đó vẫn có đoạn thẳng. 
 2
c. Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng.
 Giải:
 푛(푛 1)
 Ta có: = 1770.
 2
 Do đó: n(n – 1) = 2.1170 = 22.3.5.59 = 59.60
 Suy ra : n = 60
Bài 5: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta 
vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n?
HD:
 푛(푛 1)
Ta có: = 105 nên n(n-1) = 210 = 2.3.5.7 = 15.14. Vậy n = 15
 2
Bài 6: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, 
không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường 
thẳng đó là 780. Tính n?
HD:
 푛(푛 1)
Từ = 780 ta tính được n = 40
 2
Bài 7: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, 
không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Bài 10: Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm 
giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. 
Tìm độ dài các đoạn BD; AC.
GIẢI
 O D B A C x
Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC BA +AC =4 (1)
Lâp. luân B nằm giữa A và D.
Theo gt OD < OA D nằm giữa O và A. 
Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm
Ta có DB + BA = DA DB +BA =3 (2) 
(1) –(2) AC – DB = 1 (3) 
theo đề ra : AC = 2BD thay và (3)
Ta có 2BD – BD = 1 BD = 1 
 AC = 2BD AC = 2 cm
Bài 11: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ; OB = 6 cm . Trên 
tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .So sánh AB với AC.
GIẢI
 O C A B x
Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6) nên điểm A năm giữa O và B suy 
ra AB = OB – OA 
AB = 6 – 4 = 2 (cm)
Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 ) nên điểm A năm giữa hai điểm B 
và C 
Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm) 
Vậy AB > AC ( 2 >1)