Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Dãy số tự nhiên theo quy luật

 CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ TỰ NHIÊN THEO QUY LUẬT
 a. DẠNG 1: MỘT SỐ DÃY SỐ TỔNG QUÁT
 푛.(푛 1)
 A = 1+2+3++(n-1)+n = 
 2
 (푛 1).푛.(푛 1)
 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.+ (n – 1) n = 
 3
 (푛 1).푛.(2푛 1)
 A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =
 6
 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = 
 (푛 2).(푛 1).푛.(푛 1)
 4
 푛.(푛 1)(2푛 1)
 A = 12 +22 +32+...+(n-1)2 +n2 = 
 6
 2
 A = 13 +23 +33+...+(n-1)3 +n3 = 푛.(푛 1) 
 2
 A = 15 + 25 + .... + n5 = 1 .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 
 12
 P n 1 1
 A = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn = ( p 1) 
 p 1
 (n 1)Pn 1 pn 1 1
 A = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn = ( p 1) 
 p 1 (P 1)2
 A =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1) = n2.(n + 1)
 A = 13+ +33 +53 +... + (2n +1 )3 = (n +1)2.(2n2 +4n +1) 
 1 1 1 푛
 A = ...... = , ( n > 1 ) 
 1.2 2.3 n(n 1) 푛 1
 1 1 1 1 푛.(푛 3)
 A = = ...... = 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 4.(푛 1).(푛 2)
 3 5 2n 1 푛.(푛 2)
 A = ....... = 2
 (1.2) 2 (2.3) 2 n(n 1)2 (푛 1)
 b. DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG (x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655
 H. Tìm x biết : 
 x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010
 I. Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2, 4, 6, 
 8,  Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để 
 đánh số trang cuốn sách?
 J. Tích A = 1.2.3500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
 K. Tính giá trị của biểu thức sau:
 A = 9 + 99 + 999 + + 999
 50 ℎữ 푠ố
 L. Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
 I. A = 1 + 2 + 3 + + 2015
 2015.(2015 1) 2015.2016
 A = = = 2015.1008 = 2031120
 2 2
 II. B = 1 + 3 + 5 + + 1017 
 1017 1
 B = (1017 + 1). + 1 :2 = 1018.509:2 = 259081
 2
 III. C = 2 + 4 + 6 + + 2014 
 2014 2
 C= (2014 + 2). + 1 :2 = 2016.1007:2= 1015056
 2
 IV. D = 1 + 4 + 7 + + 2008 
 2008 1
 D = (2008 +1). + 1 :2 = 2009.670:2= 673015
 3
 V. E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 1001.1002
 (1002 1).1002.(1002 1) 1001.1002.1003
 E = = = 335337002
 3 3
 VI. F = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 2013.2015
 (2014 1).2014.(2.2014 1) 2013.2014.4029
 F = = = 2722383213
 6 6
 VII. G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ++ 2013.2014.2015
 (2015 2).(2015 1).2015.(2015 1) 2013.2014.2015.2016
 G = = 
 4 4
 G = 4117265071920
 VIII. H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 5101 1
 B. N = 
 4
 XV. O = 1 + 31 + 32 + + 3100
 3101 1
 O = 
 2
Bài 2: Tìm giá trị của x để thỏa mãn điều kiện:
  Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 3100
 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
 Ta có A = 3.(1+ 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 399)
 A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 399 + 3100 – 3100)
 A = 3.(1 + A – 3100)
 A = 3 + 3.A - 3101
 2A = 3101 – 3
 3101 3
 A = 
 2
 C. 2A + 3 = 3n
 3101 3
  2. + 3 = 3n
 2
  3101 – 3 + 3 = 3n
  3101 = 3n
  n = 101
  Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
 Hỏi :
 o M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? 
 Ta có: M chia hết cho 4 vì 
 M = 3.(1 + 3) + 32.(1 + 3) + + 399.(1 + 3)
 M = 3.4 + 32.4+ + 399.4
 M = 4.(3 + 32 + + 399) ⋮ 4
 Ta có:
 M ⋮ 12 vì M = 4.(3 + 32 + + 399) ⋮ 4; 3 mà (4;3)=1
 b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
 M = 3.(1+ 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 399)
 M = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 399 + 3100 – 3100)
 M = 3.(1 + M – 3100) ▪ A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? 
 Ư(A) ={-101; -1; 1; 101} và 4 ước nguyên.
 vậy A có 2 ước tự nhiên
 Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
 ▪ Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? 
 A = 1 + 6 + 6 + .
 푛 1 푛 1
 • Nếu n lẻ : A = 1 + 6. = 181 => 6. = 180 => 
 2 2
 푛 1
 = 30 => n = 61 ( TM )
 2
 푛
 • Nếu n chẵn: A = - 6 – 6 - 6 - . = (-6).2 = -3n = 181 
 (loại)
 Vậy A có 61 số hạng.
 ▪ Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? 
 푛
 Nếu n chẵn: A = - 6 – 6 - 6 - . = (-6).2 = -3n 
 푛 1
 Nếu n lẻ: A = 1 + 6 + 6 + . = 1 + 6. = 3n - 2
 2
 Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
 ▪ Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. 
 Theo câu 5 n chẵn => A = -3n = -3.40 = -120
 ▪ Tìm số hạng thứ 2004 của A. 
 Ta có số hạng thứ nhất: A1 = 1
 2-1
 Số hạng thứ 2: A2 = (-1) .(1 + 6)
 3-1
 Số hạng thứ 3: A3 = (-1) .(1 + 6.2)
 4-1
 Số hạng thứ 4: A4 = (-1) .(1 + 6.3)
 .
 n-1
 Số hạng thứ n: An = (-1) .[1+6.(n-1)]
 2003-1
 n = 2004 => A2004 = (-1) .[1+6(2004-1)] = - (1+6.2003) 
 A2004 = -12019
 Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: 
 (x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655
  4.x + 2 + 12 + 42 + 47 = 655
  4.x + 103 = 655
  4.x = 655 – 103 = 552
  x = 552 : 4 = 138
 Tìm x biết : 
 x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010