Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Dãy phân số theo quy luật

 CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
 a. Bài tập minh họa:
 푛 10
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là một số nguyên.
 2푛 8
 21푛 3
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 6푛 4
 63
Bài 3: Cho phân số: A = 3푛 1 với n thuộc số tự nhiên.
 a. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
 b. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
 b. Bài tập tự luyện:
 푛 3
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là số nguyên.
 2푛 2
 8푛 193
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 4푛 3 sao cho:
 a. Có giá trị là số tự nhiên.
 b. Là phân số tối giản
 c. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được?
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của n để các phân số sau có giá trị là số nguyên:
 3푛 4
 a. A = 
 푛 1
 6푛 3
 b. B = 3푛 1
 a. DẠNG 2: TÍNH NHANH
 c. Bài tập minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
 1 1 1 1
 a. S = 
 1 + 3 + 32 + 33 + + 3푛
 1 1 1 1
 b. A ... 
 2 22 23 2100
 1 1 1 1 
 c. C 1 1 1 .... 1 
 2 3 4 99 1 1 1 
 100 1 ... 
 2 3 100
 D 
 ❖ 1 2 3 99
 ... 
 2 3 4 100
 b. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC
 e. Bài tập minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản:
 푛 + 1
 2푛 ― 3
 2푛 + 3
 4푛 + 8
 3푛 + 2
 5푛 + 3
 1 1 1 1
Bài 2: Chứng minh rằng: ... 2
 2 3 4 63
 1 1 1 1
Bài 3: Cho A =1 + 
 2 + 3 + 4 + + 100
 Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
 1 1 1 1 n
 a) ... 
 2.5 5.8 8.11 (3n 1)(3n 2) 6n 4
 5 5 5 5 5n
 b) ... 
 3.7 7.11 11.15 (4n 1)(4n 3) 4n 3
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n N;n 2 ta có:
 3 3 3 3 1
 ... 
 9.14 14.19 19.24 (5n 1)(5n 4) 15
 1 1 1 1 2 8
Bài 6: Cho A ... . Chứng minh A 
 22 32 42 92 5 9 50x 25x 1
Bài 2: Tìm x, biết rằng: x 11
 100 200 4
 30 200x
Bài 3: Tìm x, biết rằng: x 5 . 5
 100 100
Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820
 ❖ Bài tập tự luyện:
 1 1 1 2 1989
Bài 5: 1 + ...... 1
 3 6 10 x(x 1) 1991
 1 1 1 1 15
Bài 6: ... 
 3.5 5.7 7.9 (2x 1)(2x 3) 93
 7 4 4 4 4 29
Bài 7: ... 
 x 5.9 9.13 13.17 41.45 45
 DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
 Bài tập minh họa:
 102004 1 102005 1
Bài 1: Cho A và B 
 102005 1 102006 1
 So sánh A và B?
Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 +  + 1000 và B = 1.2.311
 So sánh A và B?
 1 1 1 1 1
Bài 3: So sánh L 1 1 1 .... 1 với 
 2 3 4 20 21
 1 1 1 1 11
Bài 4: So sánh M 1 1 1 ..... 1 với 
 4 9 16 100 19
 Bài tập tự luyện:
 15 16
Bài 1: Cho 10 1 và 10 1
 = 1016 1 = 1017 1 2 1
 ― =
6 30
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
 a. DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ
 h. Bài tập minh họa:
 푛 10
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là một số nguyên.
 2푛 8
 푛 10 2푛 8 28 28
A = => 2A = = 1 + Để 2A nguyên thì 2n – 8 phải là ước của 28
 2푛 8 2푛 8 2푛 8
Ta có bảng đáp số: 
 2n - 8 n 2A A Kết luận
 -28 -10 -1 -1/2 L
 -14 -3 -2 -1 TM
 -7 ½ -4 -2 L
 -4 2 -7 -7/2 L
 -2 3 -14 -7 TM
 -1 7/2 -28 -14 L
 1 9/2 28 14 L
 2 5 14 7 TM
 4 6 7 7/2 L
 7 15/2 4 2 L
 14 11 2 1 TM
 28 18 1 1/2 L
 63
Bài 3: Cho phân số: A = 3푛 1 với n thuộc số tự nhiên.
 1 Với giá trị nào của n thì A rút gọn được.
 2 Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
 Hướng dẫn: 1
 2A = 1 +A - 
 2100
 1
 A = 1 - 
 2100
 1 1 1 1 
 ❖ C 1 1 1 .... 1 
 2 3 4 99 
 3 4 5 100 100
 C = . . .. = = 50
 2 3 4 99 2
 3 8 15 899
 ❖ D . . ..... .
 22 32 42 302
Bài 2: Tính các tổng sau:
 1 1 1 1
 A = 
 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 999.1000
 1 1 1 1 1 1 1
 A = 1 - + - + - + ..+ - 
 2 2 3 3 4 999 1000
 1 999
 A = 1 - = 
 1000 1000
 1 1 1
 B = 
 1.6 + 6.11 + + 496.501
 1 1 1 1 1 1
 B = 1 ― + ― +  + ― = 
 5 6 6 11 496 501
 1 1 100
 B = 1 ― = 
 5 501 501
 1 1 1 1
 C = 
 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 998.999.1000
 Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai 
 số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
 Ta xét: 
 1 1 2 1 1 2
 - = ; - = ; ;
 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4
 1 1 2
 - = 
 998.999 999.100 998.999.100
 1 1 2
 Tổng quát: 푛.(푛 1) - (푛 1).(푛 2) = 푛.(푛 1).(푛 2)
 1 1 1 1 1 1 1
 2C = - + - + + - = - 
 1.2 2.3 2.3 3.4 998.999 999.1000 1.2
 1
 999.1000 Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai 
 số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
 Ta xét: 
 1 1 2 1 1 2 1 1 2
 - = ; - = ; ; - = 
1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 98.99 99.100 98.99.100
 1 1 2
 Tổng quát: 푛.(푛 1) - (푛 1).(푛 2) = 푛.(푛 1).(푛 2)
 1 1 1 1 1 1 1 1
 C = - + - + + - = - 
 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1.2 99.100
 50.99 1 4951
 C= = 
 99.100 99.100
❖ D = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
 (50 chữ số 9) 
 D = 10 – 1 + 100 -1 + 1000 – 1 + .+ 100.0 - 1
 (50 푠 0)
 D = 111.10 – 50.1 = 111.1060 
 (50 푠 1) (48 푠 1)
 2 2 2
❖ S ... 
 1.2.3 2.3.4 37.38.39
 S = Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của 
 hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:
 Ta xét: 
 1 1 2 1 1 2 1 1 2
 - = ; - = ; ; - = 
1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 37.38 38.39 37.38.39
 1 1 2
 Tổng quát: 푛.(푛 1) - (푛 1).(푛 2) = 푛.(푛 1).(푛 2)
 1 1 1 1 1 1 1 1
 C = - + - + + - = - 
 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 1.2 38.39
 19.39 1 370
 C = = 
 38.39 19.39
 1 1 1 1 1 1
❖ B ... 
 2 22 23 24 299 2100
 1 1 1 
 100 1 ... 
 2 3 100
 D 
❖ 1 2 3 99
 ... 
 2 3 4 100 Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n N;n 2 ta có:
 3 3 3 3 1
 ... 
 9.14 14.19 19.24 (5n 1)(5n 4) 15
 3 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có VT = ― + ― + ― +  + ―
 5 9 14 14 19 19 24 5푛 1 5푛 4
 3 1 1 3 1 1
= ― đpcm
 5 9 5푛 4 5 9 15
 1 1 1 1 2 8
Bài 6: Cho A ... . Chứng minh A 
 22 32 42 92 5 9
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A > + + ++ = - + - ++ - 
 2.3 3.4 4.5 9.10 2 3 3 4 9 10
 1 1 4 2
= - = = (1)
 2 10 10 5
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8
A < + ++ = 1 - + - ++ - = 1 - = 
 1.2 + 2.3 3.4 8.9 2 3 3 8 9 9 9
(2)
Từ (1) và (2) => đpcm
 1 1 1 
Bài 7: Tổng bằng phân số . Chứng minh rằng a chia hết 
 50 + 51 + + 99 
cho 149.
 l. Bài tập tự luyện:
 2 2 2 2 1003
Bài 8: Cho A ... . Chứng minh: A 
 32 52 7 2 2007 2 2008
 2 2 1 1
Ta có: < = - 
 (2푛 1)2 2푛.(2푛 2) 2푛 2푛 2
Thay n = 1, 2, 3, , 1003
 1 1 1003
Ta có: A < - = (đpcm)
 2 2008 2008