Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Dấu hiệu chia hết, chia có dư

 CHUYÊN ĐỀ 2: DẤU HIỆU CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ
 A. LÝ THUYẾT
 1. Định nghĩa.
 Với mọi a, b N (b 0) ta luôn tìm được số tự nhiên r sao cho
 a = bq + r (0 r < b)
 a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
 - Nếu r = 0 ta được phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a: 
 b), hay a là bội của b, hay b chia hết a, hay b là ước của a (b/a).
 - Nếu r > 0,ta được phép chia có dư, ta nói rằng a không chia hết 
 cho b (a:b).
 2. Các tính chất về phép chia hết. (10 tính chất)
 a. Số 0 chia hết cho mọi số b 0.
 b. Số a chia hết cho mọi a 0.
 c. Nếu a b, b c thì ac.
 d. Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b và a-b đều chia hết 
 cho m.
 e. Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia 
 hết cho m thì a+b và a-b đều không chia hết cho m.
 f. Nếu tổng hoặc hiệu hai số chia hết cho m và một trong hai số 
 ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
 g. Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho 
 m.
 h. Suy ra a  m thì an m (n N *).
 i. Nếu a  m, b  n thì ab  mn
 j. Suy ra nếu a  b thì an  bn.
 k. Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó 
 chia hết cho tích của hai số đó.
 l. Nếu tích ab chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên 
 tố cùng nhau thì a chia hết cho m.
 m. Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa 
 số của tích chia hết cho p. Suy ra nếu a n  p, p là ngyên tố thì 
 a  p.
 a. Dấu hiệu chia hết cơ bản:
 a. Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là: 0,2,4,6,8
 b. Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là: 0,5
 c. Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 
 3 a. Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
b. Chứng minh rằng ∀ 푛 ∈ thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không 
 chia hết cho 30.
c. Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 
 9 dư 1.
d. Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, ∀ , ∈ .
e. Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, ∀ 푛 ∈ .
f. Chứng minh rằng: ∀ 푛 ∈ thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
 ❖ DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ
a. Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 87 chia hết cho 9
b. Cho n = 7 5 + 8 4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
c. Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng 
 ∗ 657 và hiệu của chúng bằng 5 ∗ 91.
d. Tìm chữ số a, biết rằng: 20 20 20 chia hết cho 7
e. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta 
 được một số chia hết cho 37.
f. Tìm các số tự nhiên chia cho 4 dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3
g. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số 
 của nó.
h. Tìm số , biết rằng số đó chia hết cho tích các số và .
i. ∗ 63 ∗ chia hết cho cả 2,3,5,9
j. Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng: 34 5 mà chia hết cho 36.
 ❖ DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
3. Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, bao nhiêu số chia hết cho 5?
4. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 5 và dư 3?
5. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3?
6. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 
 nhưng không chia hết cho 5? Ta có:
 H = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) +  + 259.(1+2)
 H = 2.3 + 23.3 +  + 259.3
 H = 3.(2 + 23 + .. . + 259) ⋮ 3
 Ta có:
 H = 2.(1 + 2 + 22) + 24.(1 + 2 + 22) +  + 258.(1 + 2 + 22) 
 H = 2.7 + 24.7 +  + 258.7
 H = 7.(2 + 24 ++ 258) ⋮ 7
 Ta có:
 H = 2.(1 + 2 + 22 + 23) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) ++ 257.(1 + 2 + 22 + 23) 
 H = 2.15 + 25.15 +  + 257.15
 H = 15.(2 + 25 ++ 257) ⋮ 15
 Vậy H chia hết cho 3, 7, 15.
9. I = 1 + 3 + 32 + 33 ++ 31991 chia cho 13 và 41.
 Ta có:
 I = (1 + 3 + 32) + 33.(1 + 3 + 32) +  + 31989.(1 + 3 + 32)
 I = 13 + 33.13 +  + 31989.13
 I = 13.(1 + 33 +  + 31989) ⋮ 13 (đpcm)
 Ta có:
 I = (1 + 32 + 34 + 36) + (3 + 33 + 35 + 37) +  + (31984 + 31986 + 31988 + 31990 
 ) + (31985 + 31987 + 31989 + 31991 )
 I = (1 + 32 + 34 + 36) + 3.(1 + 32 + 34 + 36) ++ 31984.(1 + 32 + 34 + 36) + 
 31985.(1 + 32 + 34 + 36) 
 I = 820.(1 + 3+ + 31984 + 31985) 
 I = 41.20.(1 + 3+ + 31984 + 31985) ⋮ 41
 Vậy I chia hết cho 13, 41.
10.J = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
 Ta có: 
 J = 10n + 18n – 1 = (10n - 1) + 18n 
 J = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
 j = 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) 
 J = 9.L 
 Xét biểu thức trong ngoặc
 L = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
 Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư 
 trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + 
 ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
 => 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 
 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3  (69.29.a + 7.29.b + 29.c + 29.d) - (a + 3.b + 9.c + 27.d) ⋮ 29
  (a + 3.b + 9.c + 27.d) ⋮ 29 (đpcm)
6. chia hết cho 21 a - 2b + 4c chia hết cho 21
 Ta có: 
 = 100a + 10b + c 
 = 100a - 84a +10b - 42b + c + 63c +84a + 42b -63c
 = 16a - 32b + 64c + 84a + 42b -63c 
 = 16( a-2b+4c) + 84a + 42b -63c
 chia hết cho 21, 84a + 42b -63c chia hết cho 21 => a-2b+4c (đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng:
a. Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
 Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2 
 Tổng của ba số là: a + a +1 + a +2 = 3.a + 3 ⋮ 3(đpcm) (tính chất chia hết 
 của một tổng)
b. Chứng minh rằng ∀ 푛 ∈ thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không 
 chia hết cho 30.
 Ta có:
 60 ⋮ 15 => 60n ⋮ 15 ; 45 ⋮ 15 => 60n + 45 ⋮ 15 (theo tính chất chia hết của 
 một tổng)
 60 ⋮ 30 => 60n ⋮ 30; 45 không chia hết cho 30 => 60n + 45 không chia 
 hết cho 30 ( theo tính chất chia hết của một tổng).
c. Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 
 9 dư 1.
 Giả sử có số a ∈ N thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì:
 = 15푞 + 6 ℎ푖 ℎế푡 ℎ표 3
 1 => Mâu thuẫn
 = 15푞2 + 1 ℎô푛 ℎ푖 ℎế푡 ℎ표 3
 Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn. (đpcm)
d. Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, ∀ , ∈ .
 Vì 1005 chia hết cho 3 nên 1005.a chia hết cho 3 với mọi a
 Vì 2100 chia hết cho 3 nên 2100.b chia hết cho 3 với mọi b
  (1005a + 2100b) chia hết cho 3 với mọi a,b
 Vì 1005 chia hết cho 5 nên 1005a chia hết cho 5 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 5 nên 2100b chia hết cho 5 với mọi b
  (1005a + 2100b) chia hết cho 5 với mọi a, b 24 + a + b chia hết cho 9.
Mà a, b 9 a + b 18
 a + b = 3 hoặc a + b = 12.
- a + b = 3
 a = (3 + 6) : 2 = 9/2 không thuộc N (loại)
- a + b = 12
 a = (12 + 6) : 2 = 9 ; b = 9 - 6 = 3 (chọn)
Vậy a = 9 và b = 3.
❖ Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng 
 ∗ 657 và hiệu của chúng bằng 5 ∗ 91.
Vì hai số chia hết cho 9 nên tổng của hai số là: ∗ 657 ⋮ 9  * = 9; và 
hiệu của chúng bằng 5 ∗ 91 ⋮ 9  * = 3.
Vậy tổng của hai số là 9657 và hiệu của hai số là 5391.
  Hai số cần tìm là: 7524 và 2133
❖ Tìm chữ số a, biết rằng: 20 20 20 chia hết cho 7
Ta có 20 20 20 =20 20 .1000 + 20 
 = (20 .1000 + 20 ).1000 + 20 
 = 1001.20 .1000 + 20 
 = 7.143.20 .1000 + 20 ⋮ 7
 Mà 7.143.20 .1000 ⋮ 7 => 20 ⋮ 7
 20 = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a) ⋮ 7
 Mà 196 ⋮ 7 => 4 + a ⋮ 7 => a = 3
❖ Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì 
 ta được một số chia hết cho 37. 
Gọi số phải tìm là . Ta có: 
1999 ⋮ 37 => 199900 + ⋮ 37
  5402.37 + 26 + ⋮ 37
  26 + ⋮ 37
 Vậy = {11; 48; 85}
❖ Tìm các số tự nhiên chia cho 4 dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3 Thử chọn thấy 77175 là thích hợp.
 Đ/S: 77175.
 ❖ Tìm số , biết rằng số đó chia hết cho tích các số và .
 Ta có: = 00 + = 100. + chia hết cho . 
 => chia hết cho . Đặt = k. (1 ≤ k ≤ 9)
 có .100 + k. chia hết cho . = .k. 
 => 100 + k chia hết cho k. (1) => 100 chia hết cho k
 => k = {1, 2, 4, 5}
 + k = 1; = ; từ (1) => 101 chia hết cho vô lí vì 101 nguyên tố
 + k = 2; = 2. , từ (1) => 102 chia hết cho 2. => 51 chia hết cho 
 không thể là 51 (vì nếu thế thì = 102 vô lí) => = 17 => = 
 34
 Số cần tìm là 1734 (dễ kiểm tra 1734 : (17.34) = 3)
 + k = 4; = 4. => 104 chia hết cho 4. => 26 chia hết cho => 
 = 13, = 52 (nhận) hoặc = 26, = 104 (loại)
 + k = 5; = 5. , từ (1) => 105 chia hết cho 5. => 21 chia hết cho 
 => = 21 => = 105 vô lí
 Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu là: 1734 và 1352
 ❖ ∗ 63 ∗ chia hết cho cả 2,3,5,9
 ∗ 63 ∗ chia hết cho 2 và 5 => ∗ 63 ∗ = ∗ 630 .
 Vì ∗ 63 ∗ chia hết cho 9 nên tổng các số phải chia hết cho 9 
  * + 6 + 3 + 0 = * + 9 chia hết cho 9
  * = 0 (loại) hoặc * = 9.
Số chia hết cho 9 thì sẽ chia hết cho 3. Vậy số cần tìm là: 9630
 ❖ Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng: 34 5 mà chia hết cho 36.
 Ta có: 36 = 9.4 mà ƯC(4;9) = 1
 Vậy để 34 5 chia hết cho 36 thì 34 5 chia hết cho 4 và 9
 34 5 chia hết cho 9  3+4+x+5+y ⋮9  12 + x + y ⋮9 (1)
 34 5 chia hết cho 4  5 chia hết cho 4 => y = 2 hoặc y = 6
 Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x ⋮9 => x = 4
 Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x ⋮9 => x = 0 hoặc x = 9
 Vậy các cặp (x, y) cần tìm là: (4; 2), (0; 6), (9; 6).