Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Bội, Ước, Bội chung nhỏ nhất, Ước chung lớn nhất

 CHUYÊN ĐỀ 5: BỘI – ƯỚC – ƯCLN – BCNN
 ❖ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
 ❖ Ước và bội
 a⋮ b  a là bội của b  b là ước của a
 ❖ Ước chung lớn nhất:
 ✓ Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các 
 ước chung của các số đó. Ước chung lớn nhất của a, b, c được kí hiệu là: 
 UCLN(a, b, c) hoặc (a, b, c). 
 ✓ Ta có: (a, b) = d Tồn tại a’, b’ ∈ N sao cho a = da’, b = db’, (a’ , b’) 
 = 1.
 ❖ Bội chung nhỏ nhất:
 ✓ Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập 
 hợp các bội chung của các số đó. Bội chung nhỏ nhất của a, b, c được kí 
 hiệu là BCNN (a, b, c) hoặc [a, b, c].
 ✓ Ta có: [a, b] = m Tồn tại x, y ∈ N sao cho m = ax, m = by, (x, y) = 
 1.
 ❖ Tính chất:
 ✓ Số lượng các ước của một số: Giả sử số tự nhiên A được phân tích ra 
 thừa số nguyên tố là: ax.by.cz thì số lượng các ước của A bằng (x + 1)(y 
 + 1)(z + 1)
 ✓ Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích 
 chia hết cho p.
 ✓ Nếu tích ab chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau 
 thì a chia hết cho m.
 ✓ Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n
 ✓ Tích của hai số bằng tích của BCNN với UCLN của chúng: a.b = (a, 
 b).[a, b].
 ✓ Ba số a, b, c nguyên tố cùng nhau đôi một nếu (a, b) = 1; (b, c) = 1; (c, a) 
 = 1.
 ❖ Thuật toán Ơ – clit: Để tìm ƯCLN(a, b) ta thực hiện như sau:
 ✓ Chia a cho b có số dư là r:
 Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b. Việc tìm ƯCLN dừng lại.
 Nếu r > 0, ta chia tiếp b cho r, được số dư r1
 - Nếu r1 = 0 thì r1 = ƯCLN(a, b). Dừng lại việc tìm ƯCLN
 - Nếu r1 > 0 thì ta thực hiện phép chia r cho r1 và lập lại quá trình như 
 trên. ƯCLN(a, b) là số dư khác 0 nhỏ nhất trong dãy phép chia nói 
 trên. Bài 6: Ba khối 6,7,8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp 
hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Có thể xếp 
nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở 
mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang?
Bài 7: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3, cho 5, cho 7 được số dư 
theo thứ tự 2, 3, 4.
Bài 8: Một số tự nhiên chia cho 3 thì dư 1, chia cho 4 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 
3, chia cho 6 thì dư 4 và chia hết cho 13.
 ✓ Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên.
 ✓ Tìm dạng chung của tất cả các số có tính chất trên.
Bài 9: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15, nhưng xếp hàng 41 
thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000.
Bài 10 : Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. 
 a) Bài tập tự luyện: 
Bài 1 : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. 
Bài 2 : Tìm hai tự nhiên a, b > 0, biết a + b = 128 và (a, b) = 16. 
Bài 3 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72. 
Bài 4 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140. 
Bài 5: Tìm số tự nhiên a, biết rằng 350 chia cho a thì dư 14, còn 320 chia cho a 
thì dư 26.
Bài 6: Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số phần 
thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng, mỗi 
phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy?
Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500, sao cho chia nó cho 15, cho 35 được các số 
dư theo thứ tự là 8 và 13.
Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8, 10, 15, 20 được số dư theo thứ tự 5, 
7, 12, 17 và chia hết cho 41. 1575 343
 343 203 4
 203 140 1
 140 63 1
 63 14 2
 14 7 4
 0 2
 Suy ra ƯCLN (1575, 343) = 7
 c) Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm ƯCLN(702, 306) bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố và bằng 
thuật toán Ơclit.
Bài 2: Dùng thuật toán Ơclit để tìm 
a/ ƯCLN(318, 214)
b/ ƯCLN(6756, 2463)
Bài 3: Tìm UCLN (A, B) biết rằng A là số gồm 1991 chữ số 2, B là số gồm 8 chữ 
số 2.
Bài 4: Tìm ƯCLN của các số sau: (187231, 165148)
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ Ghép các thừa số lại để được tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
 23.3.52 = (8.3).25 = 24.25
Đáp số: 24 và 25
Bài 4: Tìm số tự nhiên n, sao cho: n + 5 chia hết cho n + 1
Ta có: n + 5 = (n + 1) + 4
Để n + 5 ⋮ n + 1 thì (n + 1) + 4 ⋮n + 1 => n + 1 là ước của 4
Ta có bảng sau:
 n + 1 1 2 4
 n 0 1 3
Vậy n = {0; 1; 3}
Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 1 + 2 + 3 +  + n = 820
 푛.(푛 1)
Ta có: 1 + 2 + 3 +  + n = = 820
 2
 ❖ n.(n+1) = 1640 = 40.41 
 ❖ n = 40
  Bài tập tự rèn luyện:
Bài 1: Tìm ba số lẻ liên tiếp có tích bằng 12075.
12075 = 3.52.7.23 = 21.23.25
Bài 2: Tìm số tự nhiên n, sao cho: 2n + 7 chia hết cho n + 2
Ta có: 2n +2 = 2n + 4 + 3. 
Để 2n + 7 chia hết cho n + 2 thì n + 2 phải là ước của 3. Ư(3) = {1;3}
Vậy n = 1
Bài 3: Hãy viết số 100 dưới dạng tổng các số lẻ liên tiếp.
Giả sử số 100 viết được dưới dạng k số lẻ liên tiếp là n +2 ; n +4; ; n + 2k, ta có: 
(n + 2) + (n + 4) + + (n + 2k) = 100 với n lẻ, k > 1. Giả sử a ≤ b, vì (a, b) = 16 nên a = 16m, b =16n với m, n ∈ N*
(m, n) = 1 và m ≤ n => ab = 16m.16n = 256mn vì ab = 3840 nên 256mn = 3840 
=> mn = 15
Lập bảng: 
 m n a b
 1 15 16 240
 3 5 48 80
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là : 16 và 240, 48 và 80.
Bài 3 : Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết ab = 216 và (a, b) = 6. 
Giả sử a ≤ b, vì (a, b) = 6 nên a = 6m, b =6n với m, n ∈ N*
(m, n) = 1 và m ≤ n => ab = 6m.6n = 36mn vì ab = 216 nên 36mn = 216 => mn 
= 6
Lập bảng: 
 m n a b
 1 6 6 36
 2 3 12 18
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là : 6 và 36, 12 và 18.
Bài 4 : Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết ab = 180, [a, b] = 60. 
 180
Từ ab = (a, b)[a, b] => (a, b) = = = 3.
 [ ] 60
Giả sử a ≤ b, vì (a, b) = 3 nên a = 3m, b =3n với m, n ∈ N*
(m, n) = 1 và m ≤ n => ab = 3m.3n = 9mn vì ab = 180 nên 9mn = 180 => mn = 
20
Lập bảng: 
 m n a b
 1 20 3 60
 4 5 12 15
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là : 3 và 60, 12 và 15. ❖ Tìm dạng chung của tất cả các số có tính chất trên.
 a. Gọi x là số phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 nên x + 2 là BC (3, 4, 5, 
 6).
 BCNN (3, 4, 5, 6) = 60 nên x + 2 = 60n, do đó x = 60n – 2 (n = 1,2, 3, )
 Ngoài ra x phải là số nhỏ nhất có tính chất trên và x phải chia hết cho 13.
 Lần lượt cho n bằng 1, 2, 3.. ta thấy đến n = 10 thì x = 598 chia hết cho 13. 
 Số nhỏ nhất phải tìm là 598.
 b. Số phải tìm phải thỏa mãn hai điều kiện: x +2 chia hết cho 60(1), x chia hết 
 cho 13 (2). 
 Từ (1) => x + 182 chia hết cho 60
 Từ (2) => x + 182 chia hết cho 13
 Vì (13, 60) = 1 nên x + 182 = 780k hay x = 780 – 182 (k = 1, 2, 3, )
 Với k = 1, giá trị nhỏ nhất của x bằng 598.
Bài 9: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15, nhưng xếp hàng 41 
thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000.
Gọi số người của đơn vị là a (người)( a ∈ N, a ≤ 1000). Khi xếp hàng 20; 25; 30 
đều dư 15 người.
Do đó: (a – 15) ∈ BC (20, 25, 30).
BCNN(20, 25, 30) = 300
 ❖ (a -15) ∈ B(30) = {0, 300, 600, 900, 1200, }
 ❖ a ∈ {15, 315, 615, 915, 1215, }
 do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a ⋮41; a ≤ 1000 nên a = 615
Đáp số: 615 người
Bài 10 : Tìm hai số tự nhiên a, b > 0, biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. 
Do (a, b) = 5 => a = 5m, b = 5n với m, n ∈ N* , (m, n) = 1 nên = 푛 = 2, 6 = 
 13
 5
Vì (m, n) = 1 nên m = 13, n = 5. Khi đó a = 13.5 = 65, b = 5.5 = 25. Lần lượt thay các giá trị của d vào (1), (2) để tính m , n ta thấy chỉ có d = 6 là 
thỏa mãn.
 ❖ m + n = 7 và m.n = 12
 chỉ có m = 3 và n = 4 là thỏa mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy hai số cần 
 tìm là 18 và 24
Bài 4 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140. 
Đặt (a, b) = d => a = m.d, b = nd với m ,n ∈ N*; (m, n) = 1. Giả sử a > b khi đó 
m > n. do đó a - b = d(m - n) = 7 (1)
[a, b] =dmn = 140 (2)
Từ (1) và (2) => d ∈ ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7 => d ∈ Ư (7) nên d 
∈ {1, 7}.
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1), (2) để tính m , n ta thấy chỉ có d = 7 là 
thỏa mãn.
 ❖ m - n = 1 và m.n = 20
 chỉ có m = 5 và n = 4 là thỏa mãn. Khi đó a = 35 và b = 28. Vậy hai số cần 
 tìm là 35 và 28
Bài 5: Tìm số tự nhiên a, biết rằng 350 chia cho a thì dư 14, còn 320 chia cho a 
thì dư 26.
Số 350 chia cho a dư 14 nên a là ước của 350 – 14 = 336 và a > 14
Số 320 chia cho a dư 26 nên a là ước của 320 – 26 = 294 và a > 26
Do đó a là ước chung của 336 và 294, đồng thời a > 26.
ƯCLN(360;432) = 42 mà 42 > 26 nên a = 26.
Bài 6: Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số phần 
thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng, mỗi 
phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy?
Số phần thưởng phải tìm là ƯCLN (200, 240, 320) = 40. Mỗi phần thưởng có 5 
bút bi, 6 bút chì và 8 tẩy.
Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500, sao cho chia nó cho 15, cho 35 được các số 
dư theo thứ tự là 8 và 13. Gọi d là ước chung của 8n - 1 và 7n + 3 => 8n - 1⋮ d và 7n + 3⋮ d
 => 8(7n + 3) - 7(8n - 1) ⋮ d hay 56n + 24 - 56n + 7 = 31 ⋮ d => d {1; 31}
 Nếu d = 31 thì ta có :
 8n - 1⋮ 31 8n – 1- 31 = 8n – 32 ⋮ 31 => 8(n - 4) ⋮ 31
 => n - 4 ⋮ 31 vì ( 8; 31) = 1. Vậy n - 4 = 31k , ( k ∈ N )  n = 31k + 4, ( k ∈ N 
 )
 Thử lại :
 Với n = 31k + 4 thì 8n - 1⋮ 31 và 7n + 3 = 7(31k + 4 ) + 3 = 9.31k + 31 ⋮ 31.
 Do đó ƯCLN (8n - 1; 7n + 3) = 31
 Nếu n ≠ 31k + 4 thì 8n - 1 không chia hết cho 31
 Do đó ƯCLN (8n - 1; 7n + 3) = 1.
 Đáp số : ƯCLN (8n - 1; 7n + 3) = 17 khi n = 31k + 4 ( k ∈ N )
 ƯCLN (8n - 1; 7n + 3) = 1. khi n ≠ 31k + 4 ( k ∈ N )
  DẠNG 4: VẬN DỤNG THUẬT TOÁN Ơ – CLIT TÌM ƯCLN
 e) Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm ƯCLN(702, 306) bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố và bằng 
thuật toán Ơclit.
Đáp số: 18
Bài 2: Dùng thuật toán Ơclit để tìm 
a/ ƯCLN(318, 214)
b/ ƯCLN(6756, 2463)
Đáp số: a/ 2; b/ 1
Bài 3: Tìm ƯCLN (A, B) biết rằng A là số gồm 1991 chữ số 2, B là số gồm 8 chữ 
số 2.
Ta có 1991 chia cho 8 dư 7; còn 8 chia cho 7 dư 1.
Theo thuật toán Ơclit