Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 6 (KNTT) - Bất đẳng thức

 CHUYÊN ĐỀ 8: BẤT ĐẲNG THỨC
 ❖ DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ
 Bài vận dụng:
 10750 và 7375
 291 và 535
 544 và 2112
 19920 và 200315
 339 và 1121
 98 và 89
 333444 và 444333
 5143 và 7119 (*)
 21995 và 5863 (*)
 3976 . 42015 và 71997 (*)
 a. DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
 Bài tập minh họa:
Bài 1: 
 Cho biểu thức: A = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 và B = 3101 – 1. Chứng minh 
 rằng: A < B.
 Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
 Cho H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 và B = 10100. Chứng minh rằng H > B
 Cho E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 999.1000 và B = 111111000. Chứng minh 
 rằng E > B.
 1 1 1
Bài 2: Cho E ... . 
 22 32 1002
 3
 Chứng minh rằng: E 
 4
 1 3 5 199 1
Bài 3: Cho C . . ..... . Chứng minh: C 2 
 2 4 6 200 201 1.4 2.5 3.6 98.101
Bài 8: Cho N ... . Chứng minh 97 < N < 98.
 2.3 3.4 4.5 99.100
 5 5 5 1
Bài 9: Cho C ... . Chứng minh C 
 5.8.11 8.11.14 302.305.308 48
 4 10 28 398 1
Bài 10: Cho B ... . Chứng minh B < 100.
 3 9 27 398
 a) DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
 a) Bài tập minh họa:
 14 
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = đạt giá trị lớn nhất.
 4 
 7 
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = đạt giá trị lớn nhất.
 5
 13
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 3 đạt giá trị nhỏ nhất.
 2 4
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a và b nhỏ nhất sao cho a7 = b8 
Bài 6: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho ta có cách thêm n chữ số vào sau 
số đó để được số chia hết cho 39.
Bài 7: Viết số 72 thành tổng của hai số mà BCNN của chúng có giá trị lớn nhất.
Bài 8: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, 4, , 50.
  Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
  Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
 a) Bài tập tự luyện:
 1
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 4 đạt giá trị lớn nhất.
 5 19
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = đạt giá trị lớn nhất.
 4
 10 25
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = đạt giá trị nhỏ nhất.
 2 4
 3 7
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = đạt giá trị nhỏ nhất.
 1 1
Bài 3: Viết phân số thành tổng của hai phân số có tử bằng 1, mẫu dương và khác 
 6
nhau.
Bài 4: Tìm hai phân số có tử bằng 1, các mẫu dương, biết rằng tổng của hai phân số 
 1
ấy cộng với tích của chúng bằng 
 2
Bài 5: Tìm bốn số tự nhiên sao cho tổng nghịch đảo các bình phương của chúng 
bằng 1.
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
 ❖ DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ
 Bài vận dụng:
 ❖ 10750 và 7375
 10750 < 10850 = (4.27)50 = 2100. 3150 (1)
 7375 > 7275 =(8.9)75 = 2225.3150 (2)
 Mà 2100 .3150 < 2225. 3150 (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra: 10750 < 7375
 ❖2 91 và 535
 291 = (213)7 = 81927 
 535 = (55)7= 31257
 => 291> 535
 ❖ 544 và 2112
 Có 544 = (2.27)4 = (2.33)4 = 24.312
 2112 = (3.7)12 = 312.712
 712 > 24 => 544 < 2112
 ❖ 19920 và 200315
 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 . 52)20 = 260.540
 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24 .53)15 = 260.545
 Vì 260.545 > 260.540 nên 200315 > 19920
 ❖3 39 và 1121
 339 < 340 = (34)10 = 8110
 1121 > 1120 = (112)10 = 12110
 Mà 12110 > 8110 => 1121 > 339 3
 Chứng minh rằng: E 
 4
Giải:
 1
Giữ nguyên phân số , còn các phân số sau thay bằng các phân số lớn hơn, ta có:
 22
 1 1 1 1 1
E < + + +.+ = + F
 22 2.3 3.4 99.100 4
 1 1 1 1 1 1
F = - + - ++ - 
 2 3 3 4 99 100
 1 1 1 3
Do đó: E < + - < (ĐPCM)
 4 2 100 4
 1 3 5 199 1
Bài 3: Cho C . . ..... . Chứng minh: C 2 
 2 4 6 200 201
Giải:
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều 
chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, 
các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số 
tăng thêm, do đó:
 2 4 6 200
C < . . .. (2)
 3 5 7 201
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:
 1 3 5 199 2 4 6 200
C2 < ( . . .. ).( . . .. )
 2 4 6 200 3 5 7 201
 1
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng 
 201
 1
Vậy C2 < (đpcm)
 201
 1 1 1
Bài 4: Cho A = . Chứng minh rằng:
 1 + 2 + 3 + + 2100 1
 ❖ A < 100
 Để chứng tỏ A < 100, ta chia A thành 100 nhóm: 5 5
 3C 
 1 498
 5 5
 C 
 3 3.498
 5
 C 
 3
 5 8 11 302 5 1
Bài 7: Cho G ... . Chứng minh: 2 G 3
 3 32 33 3100 9 2
 1 1 1 1 1
Bài 8: So sánh L 1 1 1 .... 1 với 
 2 3 4 20 21
Giải:
 1 2 3 19 1 1
L = . . . = > 
 2 3 4 20 20 21
 1 1 1 1
Bài 9: Cho C ... . Chứng minh rằng:
 101 102 103 200
 7
 C > 
 12
 7
 . Tách C thành 
 Ta chọn biểu thức D làm trung gian sao cho C > D, còn D > 12
 hai nhóm, mỗi nhóm có 50 phân số, rồi thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng 
 phân số nhỏ trong nhóm đấy, ta được:
 1 1 1 1 1 1 1
 C = + +  + + + +  + > .50 + 
 101 102 150 151 152 200 150
 1 1 1 7
 .50 = + = (đpcm).
 200 3 4 12
 5
 C > 
 8
 Tách C thành 4 nhóm rồi cũng làm như trên ta được:
 25 25 25 25 1 1 1 1 107 1 1 1 5
C > + + + = + + + = + > + = 
 125 150 175 200 5 6 7 8 210 8 2 8 8
 b) Bài tập tự luyện:
 1 1 1 1 4
Bài 1: Cho C ... . Chứng minh rằng: < < 2,5
 11 12 13 70 3 Chứng minh rằng: 0,2 < A < 0,4.
Giải:
 A = 1 ― 1 + 1 ― 1 + 1 ― 1 ++ 1 ― 1 
 2 3 4 5 6 7 98 99
 13 12
 Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất = > = 0.2
 60 60
 2
 Để chứng minh A < ta viết: 
 5
 1
 A = 1 ― 1 + 1 ― 1 + 1 - 1 ― 1 -- 1 ― 1 - 
 2 3 4 5 6 7 8 97 98 99
 2
 Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất < , còn các dấu ngoặc trong biểu thức 
 5
 2
đều dương, do đó A < .
 5
 1 1 1 1 1
Bài 4: Chứng minh rằng: A ... 
 22 42 62 1002 2
Giải:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A = + + ++ = 1 + + +  + < 
 22 42 62 1002 22 22 32 502 4
 1 1 1 1 1 1
 1 + + +  + = 1 + 1 ― < . (đpcm)
 1.2 2.3 49.50 4 50 2
 2 2 2 2 1003
Bài 5: Cho A ... . Chứng minh: A 
 32 52 7 2 2007 2 2008
Giải:
 2 2 1 1
Ta có: < = - 
 (2푛 1)2 2푛.(2푛 2) 2푛 2푛 2
Thay n = 1, 2, 3, , 1003
 1 1 1003
Ta có: A < - = (đpcm)
 2 2008 2008 Giải:
 13 ( 3) 16 16
A = = = 1 - 
 3 3 3
 16
Để A thì => (x + 3)  x 
 min 3 max min min
Nếu x + 3 < 0 thì không tìm được giá trị A nhỏ nhất
Nếu x + 3 > 0  x > -3 mà x nguyên nên (x + 3)min khi x = -2
Vậy Amin = -15 khi x = -2
 2 4
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = đạt giá trị nhỏ nhất.
 1
Giải:
 2 4 2 2 2 2
A = = = 2 + 
 1 1 1
 2
Amin  min
 1
 2
TH1: Nếu x + 1 > 0 x > -1 => 1 > 0 không thỏa mãn.
TH 2: 
 2
Nếu x + 1 x 1 < 0 
 2
 1 푖푛 x + 1 = -1 x = -2 => Amin = 0
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a và b nhỏ nhất sao cho a7 = b8 
Giải:
 7 7
Ta có : a7 = b8 (1) => b = = .
 7 
Do b là số tự nhiên nên a ⋮ b, đặt a = b.k (k ∈ N)
Do b > 1 nên > 1, do đó k ≥ 2 (2)