Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 9: Tam giác cân - Hình học 7

 Chương II
 TAM GIÁC
 Chuyên đề 9. TAM GIÁC CÂN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tam giác cân
a) Định nghĩa. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
 ABC
 ABC cân tại A 
 AB AC
b) Tính chất. Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
 ABC cân tại A Bµ Cµ .
c) Dấu hiệu nhận biết
 Theo định nghĩa.
 Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
2. Tam giác vuông cân
a) Định nghĩa. Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh 
góc vuông bằng nhau.
 ABC
 ABC vuông cân tại A µA 90
 AB AC
b) Tính chất. Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45.
Bµ Cµ 45 .
3. Tam giác đều
a) Định nghĩa. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
 ABC
 ABC đều 
 AB BC CA
b) Tính chất. Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60 .
µA Bµ Cµ 60 .
c) Dấu hiệu nhận biết
 Theo định nghĩa.
 Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
 Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 thì tam giác đó là tam giác đều.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình vẽ bên. Biết rằng AB AC AD ; ·ABC 45 ; ·ACD 75 . Tính số đo góc B· AD . DEC cân tại D. Đặt D· CE D· EC x .
 DEC có ·ADE D· CE D· EC 2x (góc ngoài tam giác).
 AED cân tại E nên E· AD ·ADE 2x .
 AEC có: B· EC C· AE E· CA 3x (góc ngoài tam giác)
 BCE cân tại C nên Bµ B· EC 3x .
 ABC cân tại A nên B· CA Bµ 3x .
 ABC có µA Bµ Cµ 180 .
Suy ra 2x 3x 3x 180 x 22,5 .
Do đó: B· AC 2.22,5 45 .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm E sao cho E· BC 2.·ABE . Trên tia BE lấy 
điểm M sao cho EM BC . So sánh M· BC và B· MC .
 Giải
* Cách 1. Trên tia BE lấy điểm K sao cho BK BC BKC cân tại B
 180 K· BC
 B· CK B· KC 90 ·ABE ·AEB
 2
 CEK cân tại C CE CK ; 
C· EK C· KE C· EB C· KM
Mà BK EM BE KM
 CEB CKM c.g.c , suy ra M· BC B· MC .
* Cách 2. Kẻ MH  AC H AC 
Gọi MH cắt tia phân giác C· BE tại I.
 · · · 1 · 
Ta có: ABE EBI IBC EBC 
 2 
mà ·ABE E· MI (so le trong) E· MI C· BI ·ABE .
 BIM có I·BM I·MB BIM cân IB IM .
Từ đó suy ra IBC IME c.g.c 
 IE IC IEC cân tại I, mà IH  EC 
nên dễ có EMH CMH c.g.c 
 EM CM BC CM
 BCM cân tại C suy ra M· BC B· MC . e) BIF đều nên B· FI 60 B· FD 120 B· IA 120 .
Mà B· ID 60 nên D· IA 60 ·AIE 60 . Do đó ·AID ·AIE 60 
hay IA là tia phân giác của góc DIE.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC nhọn AB AC . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của B trên đoạn thẳng AM. Trên tia đối tia AM lấy điểm N sao cho AN 2.MH . Chứng 
minh BN AC .
 (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội, năm 2015)
 Giải
* Tìm cách giải. Bài toán chưa thể ghép BN và AC vào hai tam giác bằng nhau trực tiếp được. Mặt khác 
MB MC , do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc trên tia đối của tia MA lấy MD MA bởi đây là giả 
thiết quen thuộc, để suy ra AC BD . Sau đó chỉ việc chứng minh BD BN .
* Trình bày lời giải.
Trên tia đối của tia MA lấy MD MA . 
 ACM và DBM có MA MD ; ·AMC D· MB ; BM CM
Suy ra ACM DBM c.g.c 
 AC BD .
Ta có: HN HA AN HA 2.HM AM HM
HD MD HM AM HM HN HD .
 BDN có BH  DN ; HD HN BDN cân tại B BN BD .
Vậy BN AC .
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C sao 
cho tam giác DAB vuông cân tại D; điểm E (khác A) không thuộc đoạn AD. Đường thẳng qua E, vuông 
góc với BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng EF EB .
 Giải * Tìm cách giải. Từ đề bài, suy ra được. Gợi cho chúng ta liên tưởng tới góc của tam giác đều. Phân tích 
 1
kết luận AC BC , dễ dàng cho chúng ta hai hướng suy luận:
 2
 Hướng 1. Tạo ra một đoạn thẳng bằng 2.AC , sau đó chứng minh đoạn thẳng ấy bằng BC. Chú ý 
·ACB 60 , nên chúng ta dựng điểm D trên tia CA sao cho CD 2.AC , sau đó chứng minh BC CD . 
Bài toán được giải quyết.
 1
 Hướng 2. Tạo ra một đoạn thẳng bằng .BC , sau đó chứng minh đoạn thẳng ấy bằng AC. Chú ý 
 2
·ACB 60 , nên chúng ta gọi trung điểm M của BC. Sau đó chứng minh CM AC . Bài toán được giải 
quyết.
* Trình bày lời giải.
 Cách 1. Dựng điểm D trên tia đối tia AC sao cho AD AC .
 ABC và ABD có AD AC ; B· AC B· AD 90 ; AB là cạnh chung, 
do đó ABC ABD c.g.c BC BD .
 BCD có ·ACB 60 , BC BD BCD đều BC CD . Vậy 
 1
AC .BC .
 2
 Cách 2. Gọi M trung điểm của BC.
 ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC, suy ra: MA MB MC (theo 
ví dụ 10, chuyên đề 8).
 MAC có MA MC , ·ACB 60 nên MAC là tam giác đều, suy ra 
 1
AC MC . Vậy AC BC .
 2
* Nhận xét. Đây là một tính chất thú vị về một tam giác vuông đặc biệt. Tính chất được phát biểu như 
sau: Trong một tam giác vuông có một góc bằng 30 , thì cạnh đối diện với góc 30 bằng nửa cạnh 
huyền.
 1
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. Biết rằng AM .BC , chứng minh rằng tam 
 2
giác ABC vuông tại A.
 Giải
 ¶ ¶
 AMC có AM CM , nên AMC cân tại M A2 C2 .
 µ µ
 AMB có AM BM , nên AMB cân tại M A1 B1 .
 µ ¶ µ
 ABC có A B2 C1 180 9.8. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E 
sao cho BD CE .
a) Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân.
b) Kẻ BH  AD H AD , kẻ CK  AE K AE . Chứng minh rằng BH CK .
c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?
9.9. Cho tam giác ABC có Bµ 2.Cµ . Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Trên tia đối BA lấy BE BH . 
Đường thẳng EH cắt AC tại F. Chứng minh: 
a) FH FA FC .
b) AE HC .
9.10. Cho tam giác ABC B· AC 90 , đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB, kẻ HK vuông góc với 
AC. Gọi E; F lần lượt là điểm sao cho I; K lần lượt là trung điểm của HE và HF. Đường thẳng EF cắt AB; 
AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) AE AF ;
b) HA là phân giác của M· HN .
9.11. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam 
giác đều ACD và BCE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Chứng minh rằng:
a) AE BD .
b) CME CNB .
c) Tam giác MNC là tam giác đều.
9.12. Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn. Dựng ra phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA; MNB 
và NLC. Chứng minh rằng: LB MC NA.
9.13. Cho góc x· Oz 120 . Oy là tia phân giác x· Oz ; Ot là tia phân giác của x· Oy . M là điểm miền trong 
góc yOz. Vẽ MA vuông góc Ox, MB vuông góc Oy, MC vuông góc Ot. Chứng minh rằng: 
OC MA MB .
9.14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
AD AE . Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường 
thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH ở I. Chứng minh rằng:
a) ACD AME ;
b) AGB MIA ;
c) BG GH .
9.15. Cho tam giác ABC với ·ABC ·ACB 36. Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm N sao cho 
B· CN 12 . Hãy so sánh độ dài của CN và CA.
9.16. Cho ABC có các tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song 
song với BC cắt AB, AC tại D và E. Chứng minh BD CE DE . Hướng dẫn giải
9.1. ABC AB AC cân. Đặt Bµ Cµ 
 ABD có ·ADC Bµ B· AD 60 .
 ADE AD AE cân nên ·ADE ·AED
 ·AED C· DE ·ADE C· DE ·ADC 60
 CED có ·AED Cµ C· DE .
Từ đó suy ra:
Cµ C· DE C· DE ·AED C· DE ·ADC 60
 2.C· DE 60 C· DE 30 .
9.2. ABC có µA Bµ Cµ 180 mà Bµ 80 µA Cµ 100.
 180 µA
 AED cân tại A D¶ .
 1 2
 180 Cµ
 CDF cân tại C D¶ .
 2 2
 360 µA Cµ
Suy ra: D¶ D¶ 130 .
 1 2 2
 ¶ ·
Do vậy D3 50 EDF 50 .
9.3. AEC có ED là đường trung trực của AC nên dễ dàng chứng minh được AEC cân tại E
 D· CE B· AC mà B· AC ·ACB 90 D· CE ·ACB 90
 D· CE B· CE
Đặt x
 5 2
 D· CE 5x; B· CE 2x
Suy ra: 5x 5x 2x 90 x 7,5
Do vậy D· CE 5.7,5 37,5 ; B· CE 2.7,5 15
 ·ACB 37,5 15 52,5 .
9.4. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM AB
Từ giả thiết suy ra MC BD 1 
 ABD và AMD có AB AM ; B· AD C· AD ; AD là cạnh chung
 ABD AMD c.g.c BD MD ; ·ABD ·AMD 2 
Từ (1) và (2) suy ra MD MC MCD cân 
 ·AMD 2.·ACB (góc ngoài của tam giác) ·ABC 2.·ACB b) BHD và CKE có B· HD C· KE ; ·ADB ·AEC ; BD CE
 BHD CKE BH CK
c) BHD CKE H· BD K· CE O· BC O· CB OBC cân tại O.
9.9.
a) BHE BH BE cân tại B ·ABC 2.B· HE .
Mà ·ABC 2.Cµ Cµ B· HE
 Cµ F· HC CHF cân tại F
 FH FC 1 
Ta có F· HC F· HA 90; C· AH Cµ 90 mà F· HC Cµ F· HA C· AH
 FHA cân tại F FA FH 2 
Từ (1) và (2), suy ra: FH FA FC .
b) Trên tia HC lấy HI HB AHB AHI c.g.c 
 AB AI và ·ABH ·AIH ·AIH 2.Cµ 1 
Mà AIC có ·AIH Cµ I·AC 2 
Từ (1) và (2), suy ra: Cµ I·AC 2Cµ I·AC Cµ
 IAC cân tại I AI IC .
Từ đó suy ra AB IC mặt khác BE HI BH 
 AB BE IC HI hay AE HC .
9.10. a) AIE và AIH có: ·AIH ·AIE 90 ; IE IH ; AI chung
 AIE AIH c.g.c AE AH .
Tương tự, ta có: AKF AKH AF AH AE AF .
b) AIE AIH E· AI H· AI