Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 9: Sử dụng tính chất bất biến để giải toán suy luận logic - Toán 7

 Chuyên đề 9.
 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT BIẾN ĐỂ GIẢI TOÁN SUY LUẬN LOGIC
A. Kiến thức cần nhớ
Bài toán suy luận logic thường phát biểu dưới dạng toán đố (có lời văn). Để làm được dạng toán này 
không nhất thiết cần nhiều kiến thức phức tạp mà thường đòi hỏi suy tư sáng tạo, nhận xét tinh tế.
Ta thường gặp bài toán cho trạng thái ban đầu cùng các thao tác thay đổi liên tục trạng thái đó và yêu cầu 
cần phải chỉ ra một điều gì đó về trạng thái cuối cùng của nó. Việc khảo sát toàn bộ sau tất cả các lần thay 
đổi như vậy rất phức tạp. Khi đó ta có thể trả lời câu hỏi mà bài toán yêu cầu nhờ tính toán một đại lượng 
nào đó đặc trưng cho trạng thái của bài và được đảm bảo qua tất cả các lần thay đổi. Đại lượng không đổi 
đó được gọi là bất biến của bài toán đã cho. Như vậy trong trạng thái cuối cùng của bài toán, giá trị của 
bất biến vẫn giữ nguyên như trạng thái ban đầu, tức là hệ thống không thể ở trong trạng thái với một giá 
trị khác với bất biến. Để tìm lời giải cho bài toán:
• Ta xác định đại lượng ở hai trạng thái: trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng.
• Khảo sát sự thay đổi của nó qua một số lần thay đổi liên tiếp để phát hiện sự bất biến.
Các tính chất bất biến thường gặp là: xét tính chẵn lẻ, xét tính chia hết của một số nguyên, xét màu sắc 
của vật cần xét.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Trên bảng, người ta viết 2020 dấu (+) và 2021 dấu (-). Giả sử mỗi lần ta thực hiện thao tác: Hai 
dấu bất kì trên bảng bị xóa đi và thay bằng dấu (+) nếu chúng giống nhau, thay bằng dấu (-) nếu chúng 
khác nhau. Sau khi thực hiện nhiều lần đến khi trên bảng còn lại một dấu. Hỏi trên bảng còn lại dấu (+) 
hay dấu (-)?
 Giải
✓ Tìm cách giải. Đọc xong đề bài, chúng ta nhận thấy:
- Lúc đầu có tất cả 4041 dấu cả dấu (+) và dấu (-).
- Mỗi lần thực hiện thao tác, xóa hai dấu và viết lại một dấu nên sau mỗi thao tác số dấu trên bảng giảm đi 
1.
- Do vậy sau 4040 lần thực hiện thao tác, trên bảng chỉ còn 1 dấu.
- Bài toán không thể thực hiện hết được tất cả các thao tác trong mọi trường hợp, do vậy chúng ta thử một 
vài khả năng xảy ra để tìm yếu tố bất biến (không đổi) trong mọi thao tác. Thật vậy:
+ Trường hợp 1. Nếu xóa hai dấu (+) thì viết lại một dấu (+).
+ Trường hợp 2. Nếu xóa hai dấu (-) thì viết lại một dấu (+).
+ Trường hợp 3. Nếu xóa một dấu (+) và một dấu (-) thì viết lại một dấu (-).
- Ta nhận thấy trong ba trường hợp thì số dấu (+) có thể giữ nguyên, có thể tăng 1, có thể giảm 1. Còn số 
dấu (-) chỉ giữ nguyên hoặc giảm 2. Như vậy số dấu (-) trong mọi thao tác luôn luôn là số lẻ.
✓ Trình bày lời giải ✓ Tìm cách giải. Nhận xét, mỗi mảnh hình chữ nhật chỉ ghép được 2 ô liền nhau, nên chúng ta nghĩ tới 
việc tô màu hoặc đánh số chẵn lẻ.
✓ Trình bày lời giải.
Ta ghi các số 1 và 2 vào bảng sao cho hai ô liền nhau được ghi hai số khác nhau (chẳng hạn như hình vẽ), 
sẽ có 50 ô số 1 và 50 ô số 2, hai số ghi ở hai góc đối diện sẽ cùng là số 1 hoặc cùng là số 2.
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Mỗi lần ghép một hình chữ nhật thì chiếm hai ô cùng hàng hoặc cùng cột liền nhau, tức là tô màu một ô 
ghi số 1; một ô ghi số 2. Như vậy sau mỗi lần ghép một hình chữ nhật thì số ô ghép t hình chữ nhật ghi số 
1 bằng số ô chưa tô màu ghi số 2. Sau 49 lần ghép hình chữ nhật sẽ còn 2 ô: 1 ô ghi số 1, 1 ô ghi số 1. Hai 
ô này không thể ở hai góc đối của bảng được.
Ví dụ 5: Cho bảng ô vuông kích thước 2009 x 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi. Gọi T là thao 
tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô 
có chứa sỏi). Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về 
cùng một ô không?
 (Tuyển sinh lớp 10, chuyên TP Hải Phòng, năm học 2009 – 2010)
 Giải
✓ Tìm cách giải. Tương tự như ví dụ trên, chúng ta nhận thấy mỗi thao tác chỉ dịch chuyển hai viên sỏi ở 
hai ô sang ô bên cạnh. Do vậy chúng ta nghĩ tới việc tô màu như bàn cờ vua. Mỗi thao tác, một viên sỏi 
chuyển từ ô đen sang ô trắng hoặc ngược lại. Nếu tất cả các viên sỏi vào một ô đen (hoặc ô trắng) thì số 
sỏi ở ô đen là số chẵn và số sỏi ở ô trắng cũng là số chẵn. Vậy ta có lời giải sau:
✓ Trình bày lời giải.
Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua. Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen 
bằng 1005 x 2009 là một số lẻ.
Sau mỗi phép thực hiện thao tác T, xảy ra những trường hợp sau:
• Trường hợp 1. Nếu lấy hai viên sỏi ở hai ô đen thì chuyển sang hai ô trắng số sỏi ở ô đen giảm 2.
• Trường hợp 2. Nếu lấy hai viên sỏi ở hai ô trắng thì chuyển sang hai ô đen số sỏi ở ô đen tăng 2. • Trường hợp 3. Nếu đổi 2 đồng xu mặt xanh, 2 đồng xu mặt đỏ thành 2 đồng xu mặt đỏ, 2 đồng xu mặt 
xanh ngửa lên thì số đồng xu mặt xanh ngửa lên không đổi.
• Trường hợp 4. Nếu đổi 1 đồng xu mặt xanh, 3 đồng xu mặt đỏ thành 1 đồng xu mặt đỏ, 3 đồng xu mặt 
xanh ngửa lên thì số đồng xu mặt xanh ngửa lên tăng 2.
• Trường hợp 5. Nếu đổi 4 đồng xu mặt đỏ thành 4 đồng xu mặt xanh ngửa lên thì số đồng xu mặt xanh 
ngửa lên tăng 4.
- Ta nhận thấy trong năm trường hợp thì đồng xu mặt xanh ngửa lên tăng hoặc giảm đi số chẵn lần. Như 
vậy số đồng xu mặt xanh ngửa lên trong mọi thao tác luôn luôn là số lẻ và số đồng xu mặt đỏ ngửa lên 
luôn là số chẵn.
✓ Trình bày lời giải.
Không thể nhận được tất cả 2005 đồng xu trên bàn đều ngửa mặt đỏ lên trên.Vì thế mỗi lần thay đổi 4 
đồng xu: có x đồng xu ngửa mặt xanh lên trên và có 4 – x đồng xu ngửa mặt đỏ lên. Do đó số đồng xu 
ngửa mặt đỏ lên đã thay đổi là 4x 2 , một số chẵn đồng xu. Nghĩa là số các đồng xu ngửa mặt xanh 
thành mặt đỏ không thay đổi tính chẵn lẻ. Ban đầu có 0 đồng xu ngửa mặt đỏ lên là một số chẵn thì không 
thể biến đổi thành số lẻ là 2005 đồng xu ngửa mặt đỏ lên.
✓ Nhận xét. Vì tính chất bất biến là tính chẵn lẻ nên ta thay số 2005 thành một số lẻ bất kỳ và số 4 thành 
một số chẵn bất kỳ thì bài toán không thay đổi kết quả.
Ví dụ 8: Có thể phủ kín bảng 20 x 13 ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới (có thể 
xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát) sao cho các miếng lát không chờm lên nhau không?
 (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên TP Hải Phòng, năm học 2013 – 2014)
 Giải
Tô màu các dòng của bảng ô vuông bằng hai màu đen trắng xen kẽ: dòng 1 đen, dòng 2 trắng, dòng 3 đen, 
dòng 4 trắng,
Khi đó mỗi miếng lát sẽ luôn phủ đúng 3 ô đen 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng 1 ô đen.
Trong bảng, số ô đen bằng số o trắng nên số miếng lát phủ 3 ô đen 1 ô trắng bằng số miếng lát phủ 3 ô 
trắng 1 ô đen, do đó phải có chẵn miếng lát.
Tuy nhiên trong bảng có 65 miếng lát, mâu thuẫn. Vậy không thể được phủ được bảng thỏa mãn.
C. Bài tập vận dụng
9.1. Trên bảng ghi một dãy số gồm 2019 số 1 và 2020 số 2. Ta thực hiện xóa hai số bất kỳ và thay bằng 
hiệu của chúng. Quá trình cứ tiếp tục như vậy. Hỏi trên bảng có khi nào gồm toàn số 0 hay không?
9.2. Một tờ giấy được xé thành 4 mảnh, mỗi tờ giấy trong số tờ giấy nhỏ này lại được xe nhỏ thành 4 
mảnh nhỏ nữa, , tiếp tục như vậy có khi nào được 2019 mảnh giấy hay không? Vì sao? 9.12. Nam cắt một tờ giấy ra làm 4 miếng hoặc 8 miếng, rồi lấy một số miếng nhỏ đó cắt ra làm 4 hoặc 8 
miếng nhỏ hơn và Nam cứ tiếp tục thực hiện việc cắt như thế nhiều lần. Hỏi với việc cắt như vậy, Nam có 
thể cắt được 2016 miếng lớn nhỏ hay không? Vì sao?
 (Thi tuyển sinh lớn 10, THPT chuyên TP. Hồ Chí Minh,năm học 2016-2017) Nếu hai con khác màu gặp nhau thì đổi sang màu thứ 3 nên số dư chia cho 3 của các màu giảm 1, giảm 2 
và tăng 2 nên có ba số dư là 1, 2, 0 vẫn đầy đủ.
Mặt khác, nếu tất cả đều về 1 màu thì số dư sẽ là 0, 0, 0. Điều này vô lý nên không thể có trường hợp tất 
cả các tắc kè có cùng màu.
9.7 Định hướng: Xét số dư chia cho 9 dư 1.
Ta biết rằng một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9. Do đó nếu 
thay đồng thời các số có ở trên bảng bởi các chữ số của nó thì số các số chia cho 9 dư 1 vẫn không đổi.
Muốn biết sau một số lần ta nhận được 2020 số mà mỗi số chỉ có một chữ số có bao nhiêu số 1, chúng ta 
chỉ cần tìm xe từ 1 đến 2020 có bao nhiêu số chia cho 9 dư 1.
Các số chia cho 9 dư 1 là: 1; 10; 19; 28; 37; ; 2017.
Số các số là: (2017 1) : 9 1 225 (số)
Vậy trên bảng có 225 số 1.
9.8 Cứ mỗi lần rút ra hai viên là một lần bỏ lại một viên, do đó sau mỗi lần rút thì số bi trong bao giảm đi 
1. Lúc đầu có 225 hòn bi, nên sau 224 lần bốc sẽ giảm đi 224 hòn bi và cuối cùng phải còn lại một viên 
trong bao.
Để ý rằng sau mỗi lượt bốc ra rồi bỏ lại, thì hoặc là số bi trắng trong bao không đổi (nếu anh ta bốc được 
ít nhất một hòn đen) hoặc là số bi trắng trong bao giảm đi trong tất cả các lần là một số chẵn. Vì có 75 
viên trắng (số lẻ) nên viên còn lại là màu trắng.
9.9 Chia sân hình vuông cạnh 3,5m thành 14 x 14 = 196 hình vuông nhỏ cạnh 25cm. Tô màu đen vào các 
hình vuông nhỏ của hình vuông như hình vẽ, có 50 ô đen và 146 ô trắng. Mỗi viên gạch 25cm x 100cm 
được lát lên 1 ô đen và 3 ô trắng.
Giả sử lát kín được sân thì số ô trắng phải gấp 3 lần số ô đen. Nhưng 146 50 x 3 nên không thể lát kín 
được.
9.10 Ta tô bảng vuông bằng màu đen và trắng sau cho như hình vẽ. Ta nhận được 25 o đen và 75 ô trắng.