Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 8: Hai tam giác bằng nhau, các trường hợp bằng nhau của hai tam giác - Hình học 7

 Chương II
 TAM GIÁC
 Chuyờn đề 8. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa. Hai tam giỏc bằng nhau là hai tam giỏc cú cỏc cạnh tương ứng bằng nhau, cỏc gúc 
tương ứng bằng nhau.
 àA àA 
 Bà Bà 
 Cà Cà 
 ABC A B C 
 AB A B 
 AC A C 
 BC B C 
2. Cỏc trường hợp bằng nhau của hai tam giỏc
 Nếu ba cạnh của tam giỏc này bằng ba cạnh của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau.
 AB A B 
 AC A C  ABC A B C c.c.c 
BC B C 
 Nếu hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc này bằng hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc kia thỡ 
hai tam giỏc đú bằng nhau.
 AB A B 
Bà Bà  ABC A B C c.g.c 
BC B C 
  B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho ABC MNP .
a) Viết kớ hiệu về sự bằng nhau của hai tam giỏc đú với ba cỏch khỏc.
b) Cho AB 5cm ; AC 6cm ; NP 7cm . Tớnh chu vi mỗi tam giỏc? Hóy nờu nhận xột?
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Khi viết hai tam giỏc bằng nhau thỡ cỏc đỉnh tương ứng phải viết theo cựng một thứ 
tự. Viết như vậy, thỡ việc suy ra cỏc cặp cạnh tương ứng bằng nhau mới chớnh xỏc.
* Trỡnh bày lời giải.
a) ACB MPN ; CBA PNM ; BAC NMP .
b) ABC MNP suy ra AB MN 5cm ; AC MP 6cm ; BC NP 7cm .
Chu vị ABC bằng: AB AC BC 5 6 7 18 cm .
Chu vi MNP bằng: MN MP NP 5 6 7 18 cm .
* Nhận xột. Hai tam giỏc bằng nhau thỡ cú chu vi bằng nhau.
Vớ dụ 2: Cho ABC HIK , biết àA Bà 124 ; Hà I 16 . Tớnh cỏc gúc của mỗi tam giỏc.
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Bài toỏn yờu cầu tớnh số đo gúc của tam giỏc nờn từ ABC HIK , chỳng ta chỉ 
quan tõm tới cặp gúc tương ứng bằng nhau.
* Trỡnh bày lời giải.
 ABC HIK àA Hà; Bà I; Cà Kà (cặp gúc tương ứng).
Vỡ àA Bà 124 Hà I 124; mà Hà I 16 , nờn 
Hà 124 16 : 2 70;
I 124 16 : 2 54 .
 HIK cú Hà I Kà 180 ; 70 54 Kà 180 Kà 56 .
Vỡ ABC HIK nờn àA Hà 70; Bà I 54; àC Kà 56 .
Vớ dụ 3: Cho gúc nhọn xOy . Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA OB . Vẽ 
hai cung trũn tõm A và tõm B cú cựng bỏn kớnh nhỏ hơn OA sao cho chỳng cắt nhau tại 2 điểm C và 
D. Chứng minh rằng:
a) AOC BOC .
b) Ba điểm O, C, D thẳng hàng.
 Giải
a) Xột OAC và OBC cú: OA OB (giả thiết), AC BC (bỏn kớnh bằng nhau), OC cạnh 
chung.
 OAC OBC c.c.c . Xột ABI và MBI cú AB MB ; ãABI Mã BI ; BI là cạnh chung
 ABI MBI c.g.c 
 ãAIB Mã IB mà ãAIB Mã IB 180 nờn ãAIB Mã IB 90 , suy ra: AM  BD .
c) ãAMD 36 nờn IãMB 90 36 54 ;
 BIM vuụng nờn IãBM 90 54 36 .
Suy ra Bà 36.2 72 do đú Cà 90 72 18 .
Vớ dụ 6: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Vẽ đoạn thẳng 
 AM  AB ; AM AB sao cho M và C khỏc phớa đối với đường 
thẳng AB. Vẽ đoạn thẳng AN  AC và AN AC sao cho N và 
B khỏc phớa đối với đường thẳng AC. Gọi I, K lần lượt là trung 
điểm BN và CM. Chứng minh rằng:
a) AMC ABN ;
b) MC BN và MC  BN ;
c) AI AK và AI  AK .
 Giải
a) Mã AC Bã AN 90 Bã AC nờn MAC BAN c.g.c .
b) MAC BAN BN CM . Và ãAMC ãABN .
Gọi P là giao điềm của AB và CM
Ta cú: ãAMC ãAPM 90 (vỡ AMP vuụng)
 ãABN Bã PO 90 BN  CM .
c) CM BN MK BI , mà ãAMK ãABN ; AM AB
nờn AMK ABI c.g.c AK AI .
 Mã AK Bã AI ; mà Mã AK Kã AB 90
 Bã AI Kã AB 90 hay AI  AK .
Vớ dụ 7: Cho ABC vuụng tại A cú BC 2.AB . Tia phõn giỏc của gúc Bà cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng BD CD .
b) Tớnh gúc Bà và Cà của tam giỏc ABC.
 Giải
 1 
a) Gọi E là trung điểm của BC. Suy ra BE CE AB BC 
 2 
 ABD và EBD cú BA BE ; ãABD Eã BD (giả thiết); BD là cạnh chung a) Chứng minh rằng BHE CHD ;
b) Chứng minh rằng ABD ACE ;
c) Chứng minh AH là tia phõn giỏc của Bã AC .
d) Gọi I là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng AI  BC .
 Giải
a) BHE và CHD cú Bã EH Cã DH 90 ; HD HE ; 
Bã HE Cã HD
 BHE CHD g.c.g .
b) BHE CHD BH CH ; mà HD HE
 BD CE .
 ADB và AEC cú ãADB ãAEC 90 ; BD CE ; Bã AC 
chung
 ADB AEC (cạnh huyền – gúc nhọn).
c) ABD ACE AB AC .
 ABH và ACH cú AB AC ; AH là cạnh chung; BH CH (chứng minh trờn) 
 ABH ACH c.c.c 
 Bã AH Cã AH AH là tia phõn giỏc của Bã AC .
d) ABI và ACI cú AB AC ; Bã AI Cã AI ; AI là cạnh chung
 ABI ACI c.g.c 
 ãAIB ãAIC ; mà ãAIB ãAIC 180 ãAIB ãAIC 90 hay AI  BC .
Vớ dụ 10: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 
 1
 AM BC .
 2
 Giải
 1
* Tỡm cỏch giải. Để chứng minh AM BC ta cần chứng minh 
 2
BC 2.AM . Về mặt suy luận, ta cần dựng một đoạn thẳng bằng 
2.AM rồi chứng minh đoạn thẳng đú bằng BC.
* Trỡnh bày lời giải.
Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD MA . Suy ra 
 AD 2.AM
 ả ả
 AMB và DMC cú AM MD ; M1 M 2 ; MB MC nờn 
 AMB DMC . 8.3. Cho ABC MNP biết Bà Cà 10 ; Nà Pà 120 . Tớnh số đo cỏc gúc của mỗi tam giỏc.
8.4. Cho ABC MNP . Biết AB AC 9cm ; MN NP 3cm ; NP 5cm . Tớnh chu vi của mỗi 
tam giỏc.
 BC AB
8.5. Cho ABC RST , biết và ST RS 8cm ; AC 18cm . Tớnh mỗi cạnh của mỗi 
 5 3
tam giỏc.
 Trường hợp c.c.c
8.6. Điền vào ụ trống:
8.7. Cho hỡnh vẽ bờn. Chứng minh rằng OB là tia phõn giỏc của ãAOC .
8.8. Trong hỡnh vẽ bờn biết AB CD , AD BC . Chứng minh: AB // CD , AD // BC .
8.9. Cho ABC cú àA 50 ; AB AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tớnh cỏc gúc của ABM , 
 ACM .
 Trường hợp c.g.c
8.10. Cho ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của ãABC cắt AC ở D; E là một điểm trờn cạnh BC sao 
cho BE BA. 8.17. Để đo khoảng cỏch AB mà khụng đo trực tiếp, người ta đó thực hiện như sau:
- Chọn vị trớ điểm O.
- Lấy điểm C trờn tia đối tia OA sao cho OC OA.
- Lấy điểm D trờn tia đối tia OB sao cho OD OB .
- Đo độ dài đoạn thẳng CD, đú chớnh là khoảng cỏch AB. 
Hóy giải thớch tại sao?
 Trường hợp g.c.g
8.18. Cho tam giỏc ABC cú àA 120 . Cỏc tia phõn giỏc của BE; CF của ãABC và ãACB cắt nhau tại 
I (E, F lần lượt thuộc cạnh AC, AB). Trờn cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho Bã IM Cã IN 30 .
a) Tớnh số đo của Mã IN .
b) Chứng minh CE BF BC .
8.19. Cho tam giỏc ABC cú Bà Cà 60, tia phõn giỏc của Bã AC cắt BC tại D. Trờn AD lấy điểm O, 
trờn tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho ãABM ãABO . Trờn tia đối của tia AB lấy điểm N sao 
cho ãACN ãACO . Chứng minh rằng AM AN .
8.20. Cho tam giỏc ABC cú BC 5cm . Trờn tia AB lấy điểm K và D sao cho AK BD .
Vẽ KI //BC ; DE//BC I; E AC .
a) Chứng minh AI CE .
b) Tớnh độ dài DE KI .
8.21. Cho ABC vuụng tại A cú AB AC . Lấy M thuộc BC BM MC . Kẻ BD và CE vuụng 
gúc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng:
a) ABD CAE .
b) BD CE DE . AB CD ; AD BC ; AC cạnh chung
Nờn ABC CDA c.c.c 
Suy ra Dã AC Bã CA .
Mà hai gúc ở vị trớ so le trong AD / /CD .
Bã AC Dã CA mà hai gúc ở vị trớ so le trong AB / /CD .
8.9. AMB và AMC cú AM chung; AB AC ; BM CM
 AMB AMC c.c.c 
 Bã AM Cã AM (gúc tương ứng)
 1 1
 Bã AM Cã AM Bã AC .50 25 .
 2 2
 ãAMB ãAMC (gúc tương ứng).
Mà ãAMB ãAMC 180 nờn ãAMB ãAMC 90 .
 AMB cú ãABM Bã AM ãAMB 180 .
 ãABM 25 90 180 ãABM 65 suy ra ãACM 65 .
 Trường hợp c.g.c
8.10. 
a) ABD và EBD cú AB BE ; ãABD Eã BD ; BD chung
 ABD EBD c.g.c .
b) ABD EBD Bã ED Bã AD
 Bã ED 90 DE  AB .
c) ABD EBD AD ED .
 ADF và EDC cú ãADF Eã DC ; AD ED ; 
Fã AD Dã EC 90 
 ADF EDC g.c.g DC DF .
8.11.
a) ABD cú ãADB 90 ãABD Bã AC 90 1 
 ACE cú ãAEC 90 ãACE Bã AC 90 2 
Từ (1) và (2), suy ra: ãABD ãACE do đú 
 ãABH ãACK . c) AH //DE ãAHO IãDO (cặp gúc so le trong).
 AHO và IDO cú ãAHO IãDO ; OH OD ; AH ID
 AHO IDO c.g.c ãAOH IãOD.
Mà ãAOH ãAOD 180 (kề bự) IãOD ãAOD 180 .
Suy ra A, O, I thẳng hàng.
8.15.
a) Cã BD ãABE 90 
 Cã BA ãABD Cã BA Cã BE
 ãABD Cã BE
Xột ABD và EBC cú AB EB ; ãABD Cã BE 
(cựng phụ với gúc ABC); BD BC
 ABD EBC c.g.c 
 AD CE .
b) Gọi H, I là giao điểm của đường thẳng AD với CE và BC. ABD EBC suy ra: Bã DA Bã CE 
mà Bã DA Bã IA 90
 Bã CE Cã IH 90 CIH vuụng, hay AD  CE .
8.16.
a) AMC và NMB cú AM MN ; ãAMC Nã MB ; 
BM CM
 AMC NMB c.g.c 
 AC BN mà AC AE
 BN AE .
b) Ta cú Bã AD 90 ; Cã AE 90
 Bã AC Dã AE 180 1 
 AMC NMB (chứng minh trờn)
 Mã AC Mã NB BN //AC
 Bã AC ãABN 180 2 
Từ (1) và (2) suy ra: Dã AE ãABN .
Xột ABN và DAE cú AD BA ; Dã AE ãABN ; AE BN
 ABN DAE c.g.c 8.20. 
a) Kẻ EM //AB M BC 
 ả ả
Tam giỏc DEM và tam giỏc MBD cú D1 M1 ; DM chung; 
 ả ả
D2 M 2
nờn DEM MBD g.c.g suy ra BD ME ; DE BM .
 à à à ả
Ta cú AB//EM nờn A1 E1 ; B1 M 3
 ả à
Lại cú KI //BC nờn K1 B1 .
 à à ả ả à
- Tam giac AKI và tam giỏc EMC cú A1 E1 ; AK EM BD ; M 3 K1 B1 
Nờn AKI EMC g.c.g 
Suy ra AI EC và KI MC .
b) Ta cú KI MC ; DE BM suy ra KI DE MC BM BC 5cm .
8.21.
a) Xột ABD và CAE cú Bã DA ãAEC 90 ; AB AC (giả 
 à à ả
thiết); B1 C1 (cựng phụ với A2 )
do đú ABD CAE (cạnh huyền – gúc nhọn). 
b) ABD CAE nờn BD AE ; AD CE do đú 
BD CE AE AD . Vậy BD CE DE .
* Nhận xột. Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hay một hiệu hai đoạn thẳng ta thường biến 
đổi đoạn thẳng đú thành hai đoạn cựng nằm trờn một đường thẳng và sử dụng cộng, trừ đoạn thẳng.