Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 7: Tổng ba góc của một tam giác - Hình học 7

 Chương II
 TAM GIÁC
 Chuyờn đề 7. TỔNG BA GểC CỦA MỘT TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tổng ba gúc của một tam giỏc.
Tổng ba gúc của một tam giỏc bằng 180 .
 .
2. Áp dụng vào tam giỏc vuụng
a) Định nghĩa: Tam giỏc vuụng là tam giỏc cú một gúc vuụng.
b) Tớnh chất: Trong tam giỏc vuụng, hai gúc nhọn phụ nhau.
 .
3. Gúc ngoài của tam giỏc
a) Định nghĩa: Gúc ngoài của tam giỏc là gúc kề bự với một gúc 
của tam giỏc.
b) Tớnh chất:
* Mỗi gúc ngoài của một tam giỏc bằng tổng của hai gúc trong 
khụng kề với nú.
* Gúc ngoài của tam giỏc lớn hơn mỗi gúc trong khụng kề với nú.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Tỡm x, trong hỡnh vẽ bờn:
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Để tỡm số đo x, chỳng ta vận dụng:
- Tổng ba gúc của một tam giỏc bằng 180 .
- Gúc ngoài của một tam giỏc bằng tổng hai gúc trong khụng kề với nú. * Tỡm cỏch giải. Chỳng ta nhận thấy là gúc của tam giỏc BKG; CKH nờn cần phải ghộp 
vào hai tam giỏc ấy. Khai thỏc yờu cầu của bài toỏn (liờn quan tới gúc ) đồng thời để vận 
dụng yếu tố tia phõn giỏc của giả thiết, chỳng ta cần xột cỏc cặp tam giỏc KGB, AGC và 
cặp tam giỏc KHC, DHB .
* Trỡnh bày lời giải.
Gọi G là giao điểm CK và AE và H là giao điểm 
BK và DE.
Xột KGB và AGC cú:
 (đối đỉnh)
Xột KHC và DHB cú:
 (đối đỉnh)
Từ (1) và (2), kết hợp với ; 
 .
Vớ dụ 4: Cho hỡnh vẽ bờn, biết rằng BD và CE là cỏc tia phõn giỏc 
của gúc B, gúc C.
a) Nếu , tớnh .
b) Nếu ; , tớnh .
 Giải
a) ABC cú nờn .
 . BIC cú nờn .
b) BDC cú mà nờn .
 BEC cú mà nờn .
Suy ra 
Do đú 7.3. Cỏc gúc ngoài đỉnh A, B, C tỉ lệ với 2; 3; 4. Tớnh tỉ lệ ba gúc trong của tam giỏc đú.
7.4. Cho tam giỏc ABC cú àA 2.Bà và Bà 3.Cà .
a) Tớnh cỏc gúc A; B; C?
b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB với tia phõn giỏc của gúc ngoài tại đỉnh C. Tớnh 
gúc AEC?
7.5. Tam giỏc ABC cú Bà Cà . Tia phõn giỏc Bã AC cắt BC tại D.
a) Chứng minh ãADC ãADB Bà Cà .
b) Đường thẳng chứa tia phõn giỏc gúc ngoài ở đỉnh A của tam giỏc ABC cắt đường thẳng BC 
 Bà Cà
tại E. Chứng minh rằng ãAEB .
 2
7.6. Cho tam giỏc ABC cú Bà Cà 18 . Tia phõn giỏc gúc A cắt BC tại D. Tớnh số đú gúc 
ADC? Gúc ADB?
7.7. Cho tam giỏc ABC. Tia phõn giỏc của gúc A cắt cạnh BC tại D. Biết ãADB 85.
a) Tớnh Bà Cà .
b) Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC nếu 4.Bà 5.Cà .
7.8. Cho tam giỏc ABC, O là điểm nằm trong tam giỏc.
a) Chứng minh rằng Bã OC àA ãABO ãACO .
 àA
b) Biết ãABO ãACO 90 và tia BO là tia phõn giỏc của gúc B. Chứng minh rằng tia CO 
 2
là tia phõn giỏc của gúc C.
7.9. Cho tam giỏc ABC cú àA 180 3Cà .
a) Chứng minh rằng Bà 2.Cà .
b) Từ một điểm D trờn cạnh AC vẽ DE//BC E AB . Hóy xỏc định vị trớ của D cho tia DE là 
tia phõn giỏc của gúc ãADB .
7.10. Chứng minh với mỗi tam giỏc bao giờ cũng tồn tại một gúc ngoài khụng lớn hơn 120 .
7.11. Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại A. Tia phõn giỏc của Cà cắt AB tại D.
a) Chứng minh rằng gúc BDC là gúc tự. Hướng dẫn giải
7.1. 
- Hỡnh 1. ABC cú àA Bà Cà 180 
 56 x 12 x 180 x 56.
- Hỡnh 2. MNP vuụng tại M Nà Pà 90 
 2x x 15 90 x 35.
- Hỡnh 3. DEF cú Dà Eà Fà 180 
 x 3x 25 x 10 180 x 39.
 ả à
7.2. Ta cú: A2 A1 45 (đối đỉnh).
 ả à ả
Ta cú B2 B1 180 B2 50 .
 à ả ả ả
 ABC cú C1 A2 B2 (gúc ngoài của tam giỏc) suy ra: C2 95 .
 x y z
7.3. Đặt số đo gúc ngoài đỉnh A; B; C lần lượt là x; y; z. Theo đầu bài, ta cú: và 
 2 3 4
 x y z 360.
Giải ra, ta được: x 80 ; y 120 ; z 160 .
Từ đú suy ra cỏc gúc trong đỉnh A; B; C tương ứng là 
100,60,20 .
Do đú tỉ lệ ba gúc trong là: 5:3:1.
7.4.
a) Ta cú àA 2.Bà ; Bà 3.Cà àA 6Cà .
 ABC cú àA Bà Cà 180 6.Cà 3Cà Cà 180
 Cà 18; Bà 54; àA 108 .
 ã à
b) Ta cú ACx C1 180 (hai gúc kề bự)
 ãACx 18 180 ãACx 162
 1
Ta cú: Cả Cả ãACx 81 .
 2 3 2
 BCE cú Eà Bà Bã CE 180; Eà 54 18 81 180 Eà 27 hay ãAEC 27 .
7.5.
 à à ã
a) ABD cú A1 B ADB 180 ;
 ả à ã
 ACD cú A2 C ADC 180 ;
 à ả à ã à ã ã ã à à
Mà A1 A2 nờn C ADC B ADB ADC ADB B C . 7.8.
 à à ã
a) ABO cú O1 A1 ABO (gúc ngoài tam giỏc).
 ả ả ã
 ACO cú O2 A2 ACO (gúc ngoài tam giỏc).
 Hay
Bã OC àA ãABO ãACO .
 àA
b) Từ ãABO ãACO 90 
 2
 Bà Cà Bà
 Bả Cả mà BO là tia phõn giỏc của Bà nờn Bà 
 2 2 2 2 1 2
 Cà
suy ra Cả ; hay CO là tia phõn giỏc của gúc Cà .
 2 2
7.9.
a) Từ: suy ra Bà 2.Cà
b) DE // BC Ã DE Cà (gúc đồng vị) và Eã DB Dã BC (gúc so le trong).
 1 1
Tia DE là tia phõn giỏc của ãADB ãADE Eã DB Cà Dã BC mà Cà Bà nờn Dã BC Bà 
 2 2
 BD là tia phõn giỏc của ãABC .
Vậy khi D là giao điểm của tia phõn giỏc Bà và AC thỡ DE là tia phõn giỏc của ãADB .
7.10. Giả sử cả ba gúc ngoài ở ba đỉnh đều lớn hơn 120 suy ra mỗi gúc trong đều nhỏ hơn 
60
Vậy tổng ba gúc trong của tam giỏc nhỏ hơn 180 , vụ lớ. Do đú tồn tại một gúc ngoài cú số đo 
khụng lớn hơn 120 .
7.11. 
a) Gúc BDC là gúc ngoài tại đỉnh D của tam giỏc ACD nờn 
 ; là gúc tự.
b) Bã DC àA ãACD (gúc ngoài tam giỏc)
 ãACD 15 .
7.12. Xột ABI cú àA Bà 180 ãAIB .
Xột CDH cú Cà Dà 180 Cã HD .
Xột EFK cú .