Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 7: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai. Số thực - Toán 7

 Chuyên đề 7. SỐ VÔ TỈ. KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI. SỐ THỰC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Số vô tỉ. Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I.
2. Khái niệm về căn bậc hai
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 a 
* Số dương a có đứng hai căn bậc hai, một số dương kí hiệu là a và một số âm kí hiệu là a. 
* Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0, cũng biết 0 0. 
3. Số thực
* Số vô tỉ và số hữu tỉ gọi chung là số thực.
* Tập hợp các số thực kí hiệu là R.
* Cách so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.
* Trong tập hợp các số thực cũng có các phép toán với các tính chất tương tự như các phép toán trong tập 
hợp các số hữu tỉ.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tính và so sánh:
a) 4.9 và 4. 9; b) 9.36 và 9. 36. 
c) 25.81 và 25. 81. d) 0,64.0,25 và 0,64. 0,25. 
 Giải
✓ Tìm cách giải. Để tính a.b ta thực hiện phép nhân a.b trước, sau đó mới khai căn kết quả. Để tính 
 a. b ta tính a và b sau đó nhân kết quả với nhau.
✓ Trình bày lời giải
a) Ta có: 9.4 36 6 và 9. 4 3.2 5 
Suy ra 9.4 4.9.
b) Kết quả 9.36 9. 36 18.
c) Kết quả 25.81 25. 81 45.
d) Kết quả 0,64.0,25 0,64. 0,25 0,4
Từ đó ta có thể dự đoán một công thức: a.b a. b với a 0;b 0 .
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:
 25 1 4 25 2 1
a) 36. . b) : 1 . c) 0,1. 225. . 
 16 4 81 81 5 4
 Giải 1 1 1 1 5
+ Trường hợp 2: Xét: 2x2 0 2x2 x2 x . 
 0,18 0,18 0,36 0,6 3
 2 2 5 5 
Vậy x ; ; ; . 
 3 3 3 3 
 3 1 4 2 22
c) x 
 5 20 5 3 15
 3 1 22 3 91 91 8281
+ Trường hợp 1: Xét: x x x x . 
 5 20 15 5 60 36 1296
 3 1 22 3 17
+ Trường hợp 2: Xét: x x Không tồn tại x.
 5 20 15 5 12
 8281
Vậy x . 
 1296
 4 5
d) x2 5 0 hoặc 3x2 0 hoặc x 0. 
 3 4
Xét x2 5 0 x2 5 x 5. 
 4 4 2
Xét 3x2 0 x2 x . 
 3 9 3
 5 5 5
Xét x 0 x x . 
 4 16 16
 2 2 5 5 
Vậy x 5; 5; ; ; ; . 
 3 3 16 16 
Ví dụ 5: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh:
a) 26 17 với 9. b) 8 5 với 1.
c) 63 27 với 63 27. 
 Giải
✓ Tìm cách giải: Khi so sánh các biểu thức chứa căn bậc hai, mà không dùng máy tính, chúng ta vận 
dụng tính chất:
 • a b 0 a b. 
 • a b, x y a x b y. 
✓ Trình bày lời giải.
a) Ta có: 26 25 5; 17 15 4. 
 26 17 5 4. 26 17 9. 
b) 8 9 3; 5 4 2 8 5 3 2 hay 8 5 1. 
c) Ta có: 63 27 36 6 
 63 27 64 25 8 5 3 63 27 63 27. Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 2 trái với ƯCLN (m,n) 1.
Vì vậy 2 không thể là số hữu tỉ, do đó 2 là số vô tỉ.
C. Bài tập vận dụng
7.1 Thực hiện phép tính:
a) A 64 81 ( 7)2 . b) B 121 ( 5)2 16. 
7.2 Thực hiện phép tính:
 2
 7 9
a) A 2,25 4 ( 2,15)2 3. . 1 . 
 6 16
 5 
 361 3 8 2.10
b) B 6 . . ( 10) 30. . 
 10 2 5 
 2
 25 2 
c) 64 2. ( 3)2 7. 1,69 3 : 5 
 C 
 16 3 
 10 1,21 22 0,25 5 225 
7.3 Thực hiện phép tính: : . 
 B 
 7 3 49 9 
 810 410
7.4 Thực hiện phép tính: A 
 84 411
7.5 So sánh:
a) 0,04 0,25 và 0,01 5 0,36 
 4 9 9 
b) 0,5 100 và 1 : 5 
 x 
 25 16 16 
7.6 So sánh:
a) 17 và 4. b) 63 và 8. c) 13 17 và 13 17. 
7.7 Tính giá trị biểu thức: B x2 y2 x2 với x 7, y 6,z 2. 
7.8 Tìm x biết:
a) 7 x ( 5)2 . b) 2020 : x 2 1 2 3 2 1. 
 22,09 1 9
c) x . d) x 81 52 32 . 
 5 10 25
 1 2 25
e) x . 
 3 3 36
 1 1
7.9 Hãy so sánh A với B biết: A 225 1; B 196 
 5 6 Suy ra 0,04 0,25 0,01 5. 0,36. 
 4 2 2 23
b) Ta có 0,5. 100 0,5.10 5 . 
 5 5 5 5
 9 9 25 9 1 5 3 1 1
 1 : 5 . . . 
 16 16 16 16 5 4 4 5 10
 4 9 9 
Suy ra 0,5 100 1 : 5 
 5 16 16 
7.6 a) 17 16 4. b) 63 64 8. 
c) 13 17 30 36 6. 
 13 17 9 16 3 4 7 
Suy ra: 13 17 13 17 
7.7 Thay x 7, y 6,z 2 vào biểu thức ta được;
B 72 62 22 49 36 4 81 9 
7.8 a) 7 x 5 x 2. 
b) 2020 : x 2 3 2020 : x 5 x 404. 
 4,7 0,3
c) x x 1. 
 5 5
d) x 9 4 x 5. 
 1 2 5 2 1 3
e) .x , x x . 
 3 3 6 3 2 4
 1 1
7.9 Ta có: A 15 1 14 
 5 5
 1 1 1 1 1
B 14 mà 5 6 A 14 B 14 A B 
 6 5 6 5 6
 1 1
7.10 a) Ta có: P x 
 2 2
 1
Dấu bằng xảy ra khi x 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi x 0. 
 2
b) Ta có: Q 7 2 x 1 7. Dấu bằng xảy ra khi x 1. Vậy giá trị lớn nhất của Q là 7 khi x 1. 
7.11 M có giá trị nguyên x 12 hay x 1 là số chính phương chẵn. Mà x 50 nên x 1 49 suy 
ra x 1 0;4;16;36 x 1;5;17;37 
Vậy với x 1;5;17;37 thì M có giá trị là số nguyên.
7.12 x 5 Ư (9) mà Ư (9) 1;3;9; 1; 3; 9