Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 6: Chứng minh bằng phản chứng - Hình học 7

 Chương I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chuyên đề 6. CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG
A. Kiến thức cần nhớ
Khi giải bài 5.7 trong chuyên đề 5 ta đã dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Phương pháp 
này thuộc loại chứng minh gián tiếp. Để chứng minh mệnh đề A là đúng ta chứng minh phủ định của A là 
sai.
Nội dung chứng minh bằng phản chứng gồm ba bước:
- Bước 1 (phủ định kết luận): Giả sử điều trái với kết luận của bài toán.
- Bước 2 (đi đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử ở trên và từ các điều đã biết (giả thiết, tiên đề, định lí,) ta 
suy ra một điều vô lí (trái với giả thiết, trái với các kiến thức đã biết hoặc hai điều mâu thuẫn nhau).
- Bước 3 (khẳng định kết luận): Vậy điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đúng.
Chú ý:
 Trong bước 1 ta phải phủ định điều phải chứng minh.
Phủ định của “có A” là “không có A”.
Phủ định của “không có B” là “có B”.
Ví dụ: Phủ định của “ba điểm A, B, C thẳng hàng” là “ba điểm A, B, C không thẳng hàng”.
Phủ định của m n là m n (tức là m n hoặc m n ).
 Trong bước 2, nhất thiết phải suy ra được một điều mâu thuẫn với điều đã cho, đã biết. Nếu không thì 
chưa thể khẳng định được điều giả sử ở bước 1 là sai.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho 12 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành một số góc không có điểm trong chung. Chứng 
minh rằng trong các góc đó có ít nhất hai góc có số đo không vượt quá 15 .
 Giải (h.6.1)
* Tìm cách giải
Dễ thấy tổng số đo các góc không có điểm trong chung đúng bằng 360 . Vì 
vậy ta chỉ cần biết có bao nhiêu góc không có điểm trong chung được tạo 
thành. 
* Trình bày lời giải
12 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành 24 góc đỉnh O không có điểm trong 
chung. Tổng số đo các góc bằng 360 nên phải tồn tại một góc nhỏ hơn hoặc bằng 360 : 24 15.
Ta chứng minh điều này bằng phản chứng.
Giả sử mỗi góc đó đều lớn hơn 15 thì tổng của chúng lớn hơn: 15.24 360 (vô lí).
Vậy trong số các góc đó tồn tại một góc không vượt quá 15 . Góc này bằng góc đối đỉnh với nó nên tồn 
tại hai góc không vượt quá 15 . Vậy điều giả sử là sai, do đó các đường thẳng Ot và m phải cắt nhau.
Ví dụ 4: Cho ba tia phân biệt OA, OB, OC sao cho ·AOB B·OC C·OA . 
Chứng minh rằng trong ba tia đã cho không có tia nào nằm giữa hai tia còn 
lại.
 Giải (h.6.5)
* Tìm cách giải
Để giải ví dụ này bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử trong ba tia đã 
cho có một tia nằm giữa hai tia còn lại rồi dùng tính chất cộng số đo các góc 
dẫn đến kết quả có hai tia trùng nhau, trái giả thiết.
* Trình bày lời giải
Giả sử trong ba tia OA, OB, OC có một tia nằm giữa hai tia còn lại.
Không làm giảm tính tổng quát, ta sử giả tia OB nằm giữa hai tia OA, OC.
Khi đó ta có .
Nhưng do ·AOB B·OC ·AOC nên do đó ·AOB 0 , suy ra hai tia OA, OB trùng 
nhau, trái giả thiết.
Vậy điều giả sử là sai, suy ra trong ba tia đã cho không có tia nào nằm giữa hai tia còn lại.
C. Bài tập vận dụng
 Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau
6.1. Chứng minh định lí: Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt 
đường thẳng kia.
 Hướng dẫn giải (h.6.9)
Cho a / /b , c cắt a tại O. Ta phải chứng minh c cắt b. 
Giả sử c không cắt b thì c / /b . Như vậy qua điểm O có hai đường thẳng là a 
và c cùng song song với b, trái với tiên đề Ơ-clít. Vậy điều giả sử là sai, suy 
ra c cắt b.
6.2. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau tại O. Chứng minh rằng 
nếu đường thẳng c không vuông góc với b thì hai đường thẳng a và c cắt nhau.
 Hướng dẫn giải (h.6.10)
 Trường hợp đường thẳng c đi qua O thì c và a cắt nhau tại O.
 Trường hợp đường thẳng c cắt b tại K O :
Giả sử c và a không cắt nhau thì chúng song song với nhau.
Vì b  a nên b  c , trái giả thiết. Vậy c và a phải cắt nhau. 
6.3. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Từ A vẽ đường thẳng 
a  Ox , từ B vẽ đường thẳng b  Oy . Chứng minh rằng hai đường thẳng a và b cắt nhau. Do đó hay B·AC 90 trái giả thiết là góc A tù.
Vậy điều giả sử là sai, suy ra hai đường thẳng Bx và Cy cắt nhau.
6.6. Cho hai điểm A và B nằm ngoài đường thẳng m. Qua A vẽ 50 đường thẳng trong đó có đường thẳng 
qua B. Qua B vẽ 50 đường thẳng trong đó có đường thẳng qua A. Hỏi ít nhất cũng có bao nhiêu giao điểm 
của đường thẳng m với các đường thẳng đã vẽ?
 Hướng dẫn giải (h.6.14)
Trong số 50 đường thẳng vẽ qua A ít nhất cũng có 49 đường thẳng 
cắt m. 
Ta chứng minh điều này bằng phản chứng.
Giả sử có chưa đến 49 đường thẳng cắt m, suy ra ít nhất cũng còn 2 
đường thẳng không cắt m. Hai đường thẳng này cùng đi qua A và 
cùng song song với m. Điều này vô lí vì nó trái với tiên đề Ơ-clít. 
Vậy điều giả sử là sai, do đó ít nhất cũng có 49 đường thẳng cắt m.
 Nếu đường thẳng AB / /m thì số giao điểm của đường thẳng m với các đường thẳng đã vẽ ít nhất cũng 
là 49 49 98 (điểm).
 Nếu đường thẳng AB và đường thẳng m không song song thì giao điểm của đường thẳng AB với đường 
thẳng m cũng là giao điểm của đường thẳng BA với đường thẳng m. Do đó số giao điểm của đường thẳng 
m với các đường thẳng đã vẽ ít nhất cũng là 49 49 1 97 (điểm).
 Chứng minh hai góc không bằng nhau. Tính số đo góc
6.7. Trong hình 6.8, cho biết . Chứng minh rằng .
 Hướng dẫn giải (h.6.8)
Giả sử , suy ra AC / /BD (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Do đó (cặp góc so le trong).
Điều này trái giả thiết.
Vậy điều giả sử là sai, do đó .
6.8. Cho 9 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành một số góc không có điểm trong chung. Chứng minh 
rằng trong các góc đó tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 20 và tồn tại 
một góc nhỏ hơn hoặc bằng 20.
 Hướng dẫn giải (h.6.15)
9 đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung. 
Tổng của 18 góc này bằng 360 (*) Giả sử hai tia Ox, Oy không đối nhau.
Ta vẽ tia Oy là tia đối của tia Ox.
Khi đó z·Ox z·Oy 180 (hai góc kề bù). 
Mặt khác, z·Ox z·Oy 180 (gt).
Suy ra z·Oy z·Oy (cùng bù với z·Ox ). Điều này vô lí vì trên 
cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz bao giờ cũng có một và chỉ một tia Oy sao cho z·Oy m .
Vậy điều giả sử là sai, do đó hai tia Ox, Oy đối nhau.
6.12. Vẽ 9 đoạn thẳng trên mặt phẳng. Hỏi có thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn 
thẳng khác không?
 Hướng dẫn giải
Không thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác. Ta chứng minh bằng phản 
chứng.
Giả sử mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác.
Như vậy với cả 9 đoạn thẳng ta được 9.5 45 trường hợp hai đoạn thẳng cắt nhau. Nhưng như thế thì 
mỗi trường hợp đã được tính hai lần (vì đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng CD thì ngược lại, đoạn thẳng CD 
 45
cắt đoạn thẳng AB) do đó thực sự chỉ có trường hợp hai đoạn thẳng cắt nhau. Vì nên điều giả 
 2
sử là sai.
Do đó không thể xảy ra trường hợp mỗi đoạn thẳng cắt đúng 5 đoạn thẳng khác.