Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 5: Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Toán 7

 Chuyên đề 5. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa. Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
 a c
 • Dạng tổng quát : hoặc a :b c :d
 b d
Các số a và d gọi là ngoại tỉ ; các số b và c gọi là trung tỉ.
2. Tính chất của tỉ lệ thức
 a c
 • Tính chất cơ bản : ad bc b,d 0 
 b d
 • Tính chất hoán vị: Từ một tỉ lệ thức ta có thể:
 Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;
 Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;
 Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ.
 a c e a c e a c e a c e
3. Từ dãy tỉ số ta suy ra : 
 b d f b d f b d f b d f
 (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 a b c
4. Khi có dãy tỉ số , ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.
 2 3 5
 Ta cũng viết a :b :c 2 : 3 : 5
B. Một số ví dụ
 x y
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và 2x 3y 36
 3 4
 Giải
✓ Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể:
 • Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
 • Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
 • Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)
✓ Trình bày lời giải
+ Cách 1 : (Đặt ẩn phụ)
 x y
Đặt k suy ra : x 3k , y 4k
 3 4
Theo giả thiết : 2x 3y 36 6k 12k 36 18k 36 k 2
Do đó : x 3.2 6;y 4.2 8
Kết luận x 6, y 8
+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): x
Do đó: 3 x 27
 9
 y
 3 y 36
 12
 z
 3 z 60
 20
Kết luận : x 27, y 36,z 60 .
+ Cách 3. (phương pháp thế : ta tính x, y theo z)
 3z
 3.
 y z 3z x y 3y 9z
Từ giả thiết : y ; x 5 
 3 5 5 3 4 4 4 20
 9z 3z z
Mà 2x 3y z 6 2. 3. z 6 60 z 60
 20 5 10
 3.60 9.60
Suy ra : y 36,x 27
 5 20
Kết luận : x 27, y 36,z 60
 x y
Ví dụ 3: Tìm hai số x và y biết và xy 24
 2 3
 Giải
 x y
Đặt k suy ra : x 2k , y 3k
 2 3
Theo giả thiết : xy 24 2k .3k 24 k 2 4 k 2
+ Với k 2 thì x 4;y 6
+ Với k 2 thì x 4;y 6
Kết luận. Vậy x ;y là 4; 6 , 4;6 .
✓ Nhận xét. Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :
+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp k 2
 x y xy 24
+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất : 4! Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số 
 2 3 2.3 6
bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau. Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc 
lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ
 bz cy cx az ay bx
Ví dụ 4:Với a, b, c, x, y, z khác 0 , biết 
 a b c
 a b c
Chứng minh rằng : 
 x y z
 Giải a b c d a b c d a b c d a b c d
2019 2019 2019 2019 
 a b c d
 a b c d a b c d a b c d a b c d
 a b c d
+ Trường hợp 1: Xét a b c d 0 a b c d ;b c d a 
 c d d a c d d a
Suy ra M 
 c d d a c d d a 
M 1 1 1 1 4
+ Trường hợp 2 :Xét a b c d 0
 a a a a a a
Suy ra a b c d M 1 1 1 1 4
 a a a a a a
 21a 10b 21c 10d
Ví dụ 7: Cho a, b, c, d khác 0 ,thỏa mãn tỉ lệ thức 
 a 11b c 11d
 a c
Chứng minh rằng 
 b d
 Giải
 21a 10b a 11b
Từ . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
 21c 10d c 11d
 21a 10b a 11b 21a 231b 21a 10b 21a 231b 241b b
Từ 1 
 21c 10d c 11d 21c 231d 21c 10d 21c 231d 241d d
 231a 110b 10a 110b 231a 110b 10a 110b 241a a
Từ 2 
 231c 110d 10c 110d 231c 110d 10c 110d 241c c
 a b a c
Từ (1) và (2) , suy ra : hay 
 c d b d
Ví dụ 8: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần lượt từng độ dài 
hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5.
 Giải
Đặt độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c. Độ dài ba đường cao tương ứng là ha ;hb ;hc . Theo đề bài ta có : 
h h h h h h
 a b b c c a và ah bh ch 1 
 7 6 5 a b c
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
h h h h h h h h h h
 a b b c c a a b b c h h
 7 6 5 7 6 a c
 h h
 h h 5h 5h 2h 3h a c 2 
 c a a c a c 3 2
 h h h h 2h 2h h h 3h 2h h h
Mặt khác a b b c a b b c c b b c
 7 6 14 6 14 6 a c
5.6. Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn xa yb 0 và zc td 0
 b d
 xa yb xc yd
Chứng minh 
 za tb zc td
 3x y 3 x
5.7. Cho tỉ lệ thức . Tính giá trị của tỉ số 
 x y 4 y
 x y y z
5.8. Chứng minh rằng : Nếu 2 x y 5 y z 3 z x thì 
 4 5
5.9. Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn b 2 ac;c 2 bd . Chứng minh rằng:
 3
 a3 b 3 c 3 a b c a3 8b 3 27c 3 a
a) 3 3 3 ; b) 3 3 3 .
 b c d b c d b 8c 27d d
5.10. Chứng minh nếu a y z b z x c x y trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có 
 y z z x x y
a b c b c a c a b 
 a b c
5.11. Cho a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng :
 2016 2018 2020
 2
 a c 
 a b b c 
 4
 x y z
5.12. Cho a b c a2 b 2 c 2 1 và . Chứng minh rằng :
 a b c
 2
 x y z x 2 y 2 z 2
 x y z t
5.13. Cho . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị 
 y z t z t x t x y x y z
 x y y z z t t x
nguyên A 
 z t t x x y y z
 a a a a
5.14. Cho dãy tỉ số bằng nhau : 1 2 ... 2019 2020
 a2 a3 a2020 a1
 2
 a1 a2 ... a2020 
Tính giá trị biểu thức B 2 2 2 2
 a1 a2 a3 ... a2020
 a b c a49 .b 51
5.15. Cho và a b c 0 . Tính P 
 b c a c 100
 a b c b c a c a b
5.16. Cho a, b, c là ba số dương, thỏa mãn điều kiện : 
 c a b
 b a c 
Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 .
 a c b HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
5.1.
 1 2y 1 4y
a) Vì 24 1 2y 18 1 4y 24 48y 18 72y
 18 24
 1
 24y 6 y . Thay vào đề bài ta có :
 4
 1 1 3 5
 1 2. 1 6.
 3 5
 4 4 2 3 .6x 18. 18x 90 x 5
 18 6x 18 6x 2 3
 1 3y 1 5y 1 7y 4 20y 5 35y
b) Ta có : 
 12 5x 4x 20x 20x
 1 3y 4 20y 5 35y 12y
 y
 12 20x 20x 12
 1
 1 3y 12y y 
 15
 1
 1 5.
 1
 Thay vào đề bài ,ta được : 15 x 2
 5x 15
 1
 Vậy x 2 và y 
 15
5.2. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
2x 1 3y 2 2x 1 3y 2 2x 3y 1
 5 7 5 7 12
 2x 3y 1 2x 3y 1
Kết hợp với đề bài suy ra: 
 12 6x
✓ Trường hợp 1: Xét 2x 3y 1 0
 2x 1 3y 2 1 2
suy ra: 0 2x 1 0;3y 2 0 x ;y 
 5 7 2 3
✓ Trường hợp 2: Xét 2x 3y 1 0 suy ra 6x 12 x 2
 2.2 1 3y 2 3y 2
Thay vào đề bài ta có : 1 3y 2 7 y 3
 5 7 7
Vậy x 2;y 3
Nhận xét. bài này dễ bỏ sót trường hợp 1
5.3.
 x y z
a) Đặt k x 3k ;y 4k ;z 5k
 3 4 5
Mà 5z 2 3x 2 2y 2 594 5.25k 2 3.9k 2 2.16k 2 594
 66k 2 594 k 2 9 k 3