Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 5: Định lí thuận, định lí đảo - Hình học 7

 Chương I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chuyên đề 5. ĐỊNH LÍ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định lí
 Định lí là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng.
 Mỗi định lí đều có hai phần:
- Phần đã cho gọi là giả thiết của định lí.
- Phần phải suy ra gọi là kết luận của định lí.
Khi định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu A thì B” thì A là giả thiết; B là kết luận.
2. Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.
3. Hệ quả là một định lí được suy ra trực tiếp từ một định lí hoặc từ một tính chất được thừa nhận.
4. Định lí thuận, định lí đảo
Xét định lí “Nếu A thì B” có mệnh đề đảo là “Nếu B thì A”. Nếu mệnh đề đảo này đúng thì mệnh đề đảo 
được gọi là định lí đảo của định lí đã cho và định lí đã cho gọi là định lí thuận.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Định lí “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có định lí đảo không?
 Giải
Định lí “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có mệnh đề đảo là “Hai góc bằng 
nhau thì đối đỉnh”. Mệnh đề đảo này sai.
Ví dụ, xét góc AOB, tia phân giác OM (h.5.1). 
Rõ ràng hai góc AOM và BOM bằng nhau nhưng không đối đỉnh vì mỗi cạnh 
của góc này không là tia đối một cạnh của góc kia.
Vậy định lí “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” không có định lí đảo.
Nhận xét: Một ví dụ chứng tỏ một mệnh đề nào đó là sai gọi là một phản ví dụ. 
Như vậy ta đã dùng phương pháp đưa ra một phản ví dụ để chứng tỏ mệnh đề 
“Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh” là sai.
Ví dụ 2: Chứng minh định lí: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau nếu hai góc cùng 
nhọn hoặc cùng tù”.
 Giải (h.5.2)
 và cùng nhọn (tù)
 GT
 Ox / /O x ;Oy / /O y 
 KL x·Oy x· O y 
* Tìm cách giải Từ (3) và (4), suy ra: x·Oy x· O y m·O n .
 Trường hợp hai góc đều tù: Chứng minh tương tự.
Nhận xét: Người ta cũng chứng minh được rằng:
Nếu hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì:
- Chúng bù nhau nếu góc này nhọn, góc kia tù;
- Góc này vuông thì góc kia vuông.
C. Bài tập vận dụng
5.1. Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia OC và OD sao cho 
·AOC B·OD 90 . Vẽ tia OM ở trong góc COD. Chứng minh rằng OM  AB khi và chỉ khi OM là tia 
phân giác của góc COD.
 Hướng dẫn giải (h.5.6)
 Tìm cách giải
Với cấu trúc khi và chỉ khi ta phải chứng minh hai mệnh đề thuận và đảo 
sau: 
- Mệnh đề thuận: Nếu OM  AB thì OM là tia phân giác của góc COD.
- Mệnh đề đảo: Nếu OM là tia phân giác của góc COD thì OM  AB .
 Trình bày lời giải
- Chứng minh mệnh đề thuận: OM  AB (gt) suy ra ·AOM B·OM 90 .
Do đó ·AOC C·OM B·OD D·OM (vì tia OC nằm giữa hai tia OA, OM; tia OD nằm giữa hai tia OB và 
OM).
Mặt khác ·AOC B·OD (gt) nên C·OM D·OM . (1)
Tia OM nằm giữa hai tia OC và OD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia OM là tia phân giác của góc COD.
- Chứng minh mệnh đề đảo:
OM là tia phân giác của góc COD (gt). Suy ra C·OM D·OM .
Mặt khác ·AOC B·OD (gt) nên ·AOC C·OM B·OD D·OM .
Do đó ·AOM B·OM (vì tia OC nằm giữa hai tia OA, OM; tia OD nằm giữa hai tia OB, OM).
Lại có ·AOM B·OM 180 (hai góc kề bù) nên ·AOM 180 : 2 90 .
Suy ra OM  AB .
5.2. Cho định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song 
song với nhau”. Hãy phát biểu định lí đảo và chứng minh.
 Hướng dẫn giải (h.5.7)
Phát biểu định lí đảo: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường song song thì nó cũng vuông 
góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải
a) 
 (không phải là số đo của một góc tù).
b) .
5.5. Điền vào các chỗ trống:
a) Cho và . Suy ra. (vì.).
b) Cho và . Suy ra  (vì.).
 Hướng dẫn giải
a) Suy ra (vì cùng phụ với góc O).
b) (vì cùng bằng hai góc bằng nhau).
5.6. Điền vào các chỗ trống:
a) Cho AB CD . Suy ra 3AB 3CD (vì..).
b) Cho AB CD và MN PQ . Suy ra AB MN ..CD PQ (vì.).
 Hướng dẫn giải
a) “=” (vì gấp ba lần hai đoạn thẳng bằng nhau thì được hai đoạn thẳng bằng nhau).
b) “=” (vì thêm những đoạn thẳng bằng nhau vào những đoạn thẳng bằng nhau thì tổng bằng nhau).
5.7. Chứng minh định lí: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong 
bằng nhau”.
 Hướng dẫn giải (h.5.9)
 a / /b
 GT
 và là cặp góc so le trong.
 KL .
Chứng minh
Giả sử các góc và không bằng nhau.
Qua A vẽ đường thẳng xy tạo với đường thẳng c góc .
Khi đó theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta được xy / /b .
Mặt khác, a / /b (gt) nên qua A có hai đường thẳng song song với b trái với tiên đề Ơ-clít. Do đó xy phải 
trùng với đường thẳng a.
Suy ra hay .
5.8. Cho và là hai góc có cạnh tương ứng song song. Tính số đo các góc A và B, biết: Thật vậy, các góc xMy và AOC là các góc có cạnh tương ứng song song, cùng nhọn nên các tia phân giác 
của chúng song song với nhau (xem bài 5.9).
Mặt khác, d  Mt trên d  tia phân giác của góc AOC.
5.11. Cho 10 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng tồn tại 
hai đường thẳng tạo với nhau một góc nhỏ hơn hoặc bằng 18 .
 Hướng dẫn giải (h.5.12)
Gọi 10 đường thẳng đã cho là a1,a2 ,...,a10 .
Từ một điểm O bất kì vẽ 10 đường thẳng d1,d2 ,...,d10 tương ứng song 
song với 10 đường thẳng đã cho. Vì trong 10 đường thẳng đã cho không 
có hai đường thẳng nào song song nên 10 đường thẳng d1,d2 ,...,d10 
cũng không có hai đường thẳng nào trùng nhau. 10 đường thẳng này cắt 
nhau tại O tạo thành 20 góc không có điểm trong chung nên tồn tại một 
góc nhỏ hơn hoặc bằng 360 : 20 18. Góc này bằng góc có cạnh 
tương ứng song song với nó.
Vậy trong 10 đường thẳng đã cho, tồn tại hai đường thẳng tạo với nhau một góc nhỏ hơn hoặc bằng 18 .