Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 4: Tiên đề Ơ-clít, tính chất của hai đường thẳng song song - Hình học 7

 Chương I. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chuyên đề 4. TIÊN ĐỀ Ơ-CLÍT. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tiên đề Ơ-clít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường 
thẳng song song với đường thẳng đó.
Trong hình 4.1, đường thẳng m đi qua O và song song với a là duy nhất.
2. Tính chất của hai đường thẳng song song
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
a) Hai góc so le trong bằng nhau;
b) Hai góc đồng vị bằng nhau;
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau.
3. Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau 
(h.4.2);
b) Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với 
đường thẳng kia (h.4.2);
c) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau 
(h.4.3).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ các tia Cx và 
Cy sao cho . Chứng tỏ rằng các tia Cx và Cy trùng nhau.
 Giải (h.4.4)
* Tìm cách giải
Để chứng tỏ hai tia Cx và Cy trùng nhau ta chứng tỏ hai đường 
thẳng chứa hai tia đó trùng nhau, đồng thời hai tia này cùng nằm 
trên một nửa mặt phẳng bờ BC.
* Trình bày lời giải
Ta có (vì có cặp góc so le trong bằng 
nhau). (1) * Tìm cách giải
Ta phải chứng minh hai đường thẳng Ax và By song song. Giữa hai đường thẳng này chưa có một đường 
thẳng thứ ba cắt chúng nên chưa thể vận dụng dấu hiệu nhận biết nào để chứng minh chúng song song.
Ta sẽ vẽ thêm một đường thẳng thứ ba làm trung gian rồi dùng dấu hiệu: hai đường thẳng phân biệt cùng 
song song với một đường thẳng thứ ba thì song song.
* Trình bày lời giải (h.4.8)
Ở trong góc AOB, vẽ tia Ot / / Ax . Khi đó (cặp góc so le 
trong).
Suy ra B·Ot 100 30 70 .
Vậy .
Do đó By / /Ot (vì có cặp so le trong bằng nhau).
Từ đó suy ra Ax / /By (vì cùng song song với Ot).
C. Bài tập vận dụng
 Tiên đề Ơ-clít
4.1. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm M sao cho góc BAM bằng và so le trong với góc B. Vẽ điểm N sao góc 
CAN bằng và so le trong với góc C. Chứng tỏ rằng ba điểm M, A, N 
thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải (h.4.19)
Ta có suy ra AM / /BC (vì có cặp góc so le trong bằng 
nhau). 
 suy ra AN / /BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Theo tiên đề Ơ-clít qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với 
BC, do đó ba điểm M, A, N thẳng hàng.
4.2. Qua điểm A ở ngoài đường thẳng a vẽ 101 đường thẳng. Chứng tỏ rằng 
ít nhất cũng có 100 đường thẳng cắt a.
 Hướng dẫn giải (h.4.20)
Giả sử trong số 101 đường thẳng vẽ qua A có chưa đến 100 đường thẳng cắt 
a. Suy ra ít nhất cũng còn hai đường thẳng không cắt a. Hai đường thẳng 
này cùng đi qua A và cùng song song với a. Điều này vô lí vì nó trái với 
tiên đề Ơ-clít. Vậy điều giả sử là sai, do đó qua A có ít nhất 100 đường 
thẳng cắt a. 
4.3. Cho điểm O ở ngoài đường thẳng xy. Qua O vẽ n đường thẳng. Xác định giá trị nhỏ nhất của n để 
trong số các đường thẳng đã vẽ, ít nhất cũng có 10 đường thẳng cắt xy.
 Hướng dẫn giải Tia Bx nằm giữa hai tia BA và By. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia Bx là tia phân giác của góc ABy.
 Vận dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hai đường thẳng song song
4.7. Hình 4.10, ngoài những số đo đã ghi còn biết . Chứng tỏ rằng b  m .
 Hướng dẫn giải (h.4.10)
Ta có . Vậy .
Suy ra m / /n (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Ta có mà nên .
Suy ra b  n do đó b  m (vì m / /n ). 
4.8. Hình 4.11 có AB  AC,CD  AC và OE  AC . Biết O·AB m;O·CD 50 . Tìm giá trị m để tia 
OE là tia phân giác của góc AOC.
 Hướng dẫn giải (h.4.11)
Ta có AB  AC;CD  AC;OE  AC (đề bài).
Suy ra AB / /CD / /OE (cùng vuông góc với AC).
Do đó ·AOE O·AB m (cặp góc so le trong); E·OC O·CD 50 (cặp góc so le trong).
Tia OE nằm giữa hai tia OA và OC nên tia OE là tia phân giác của góc AOC ·AOE E·OC m 50 .
4.9. Hình 4.12 có ·AEF 45, E·FC 3.·AEF . Các tia Em và Fn lần lượt là các tia phân giác của các góc 
AEF và EFD. Chứng tỏ rằng Em / /Fn .
 Hướng dẫn giải (h.4.12) Vậy .
Suy ra CD / /Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Do đó AB / /CD (vì cùng song song với Ot).
4.13. Hình 4.16 có và OA  OB . Chứng tỏ rằng AB / /CD .
 Hướng dẫn giải (h.4.26)
Vì OA  OC nên ·AOC 90 . Trong góc AOC vẽ tia Ot sao cho Ot / / AB .
Khi đó (cặp góc trong cùng phía).
Suy ra ·AOt 180 130 50.
Vì ·AOC 90 nên C·Ot 40 .
Ta có .
Do đó CD / /Ot (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).
Suy ra AB / /CD (vì cùng song song với Ot).
4.14. Cho góc AOB. Trên tia OA lấy điểm M, trên tia OB lấy điểm N. Vẽ ra ngoài góc AOB các tia Mx và 
Ny song song với nhau. Cho biết ·AMx 140, B·Ny 150 , tính số đo của góc AOB.
 Hướng dẫn giải (h.4.27)
Vì ·AMx 140 nên .
Vì B·Ny 150 nên .
Ở trong góc AOB vẽ tia Ot / /Mx , khi đó Ot / /Ny (vì Mx / /Ny ).
Ta có (cặp góc so le trong).
 (cặp góc so le trong).
Suy ra .
4.15. Hình 4.17 có Ax / /By;OA  OB và . Tính số đo góc B.
 Hướng dẫn giải (h.4.28)