Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 4: Lũy thừa của một số hữu tỉ - Toán 7

 Chuyên đề 4. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên 
 n
x x.x....x x Q;n N;n 1 
 n thõa sè
Quy ước : x 1 x ,x 0 1 x 0 
2. Các phép tính về lũy thừa
x m .x n x m n
x m : x n x m n x 0;m,n N 
 n
 x m x m .n
 n
 x .y x n .y n
 n
 x x n
 n y 0 
 y y
3. Lũy thừa với số mũ nguyên âm
 1
x n với x 0,n N 
 x n
B. Một số ví dụ
 212.35 46.81 30.47.329 5.145.212
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức : A 6 ;B 14 7 5 5
 22.3 84.35 54.6 .9 12.8 .7
 Giải
✓ Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về lũy thừa 
 của các số nguyên tố. Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối và phép cộng.
✓ Trình bày lời giải. 
 212.35 212.34 212.34 3 1 
a) Ta có : A 
 212.36 212.35 212.35 3 1 
 212.34.2 1
A 
 212.35.4 6
b) Ta có :
 15 30 17 5
 2.3.5.214.329 5.25.75.212 215.330.5 217.5.75 5 2 .3 2 .7 5
B 
 2.33.214.314.314 22.3.215.75 215.331 217.3.75 3. 215.330 217.75 3
Ví dụ 2: Tìm x
 2 3
a) x 2 64; b) x 5 125 c) 2x 2x 2 320;
 Giải 32021 1
 3.A A 32021 1 A 
 4
b) Xét 5.B 52021 52020 52019 52018 ... 53 52 5
 52021 1
 5.B B 52021 1 B 
 4
c) Xét 49.A 72023 72021 72019 72017 ... 77 75 73
 72023 1
 49.C C 72023 7 C 
 50
Ví dụ 5: Chứng minh rằng tổng:
 1 1 1 1 1 1 1
 S ... ... 0,2
 22 24 26 24n 2 24n 22018 22020
 Giải
✓ Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là thu gọn tổng S. Tương tự như ví dụ trên, dễ dàng phát hiện ra 
 1
 nhân hai vế của tổng S với . Sau đó cộng với biểu thức S. Cuối cùng đánh giá
 22
✓ Trình bày lời giải
 1 1 1 1 1 1
Xét .S ... 
 22 24 26 28 22016 22018
 1 1 1 5 1 1
 .S S .S S hay S 0,2
 22 22 22020 4 4 5
Ví dụ 6: Đặt A 3101 3102 3103 ... 3200 . Chứng minh rằng A chia hết cho 120
 Giải
Biểu thức A có 100 số hạng. Kể từ số hạng đầu, cứ nhóm 4 số hạng liên tiếp với nhau được 25 nhóm
A 3101 3102 3103 3104 3105 3106 3107 3108 ... 3197 3198 3199 3200 
A 3100. 3 32 33 34 3104. 3 32 33 34 ... 3196. 3 32 33 34 
A 3100.120 3104.120 ... 3196.120
A 120. 3100 3104 ... 3196 120 . Điều phải chứng minh
C. Bài tập vận dụng
4.1. Tính:
 6 32.2 6.32 212.35 46.92
a) A 2 2 4 ; b) 6
 3 3.3 3 22.3 84.35
 510.73 255.492
4.2. Thực hiện phép tính: A 3
 125.7 59.143
4.3. Cho T 22020 22019 22018 ... 2 1.Tính 2021T
4.4. Tìm x, biết : các ô vuông còn lại trong bảng bên sao cho
tích các lũy thừa trong mỗi hàng, mỗi cột và
mỗi đường chéo bằng nhau được không ? 1 1 1 1 1
4.8. Xét 3.B 1 ... 3B B 1 
 3 32 32019 32020 32021
 1 1
 2.B 1 1 B 
 32021 2
 1 1 1 1
4.9. Đặt A ... 
 52 62 72 1002
 1 1 1 1
 Ta có A ... 
 4.5 5.6 6.7 99.100
 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... 
 4 5 5 6 6 7 99 100
 1 1 1
 A 1 
 4 100 4
 1 1 1 1
 Ta có : A ... 
 5.6 6.7 99.100 100.101
 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... 
 5 6 6 7 7 8 100 101
 1 1 1 1 19 57 50 1
 A 2 
 5 101 5 100 100 300 300 6
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
 3 5 7 19
4.10. Ta có : ... 
 12.22 22.32 32.42 92.102
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99
 ... 1 1
 12 22 22 32 32 42 92 102 100 100
 Điều phải chứng minh
 3 4 2020
4.11. Xét : 2T 2 ... 
 2 22 22018
 2 3 4 2019 2020
mà T ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 1 2020
Suy ra : 2T T 2 ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 1 2020
 T 2 ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 2020
 2T 4 1 ... 
 2 22 22017 22018
 1 1 1 1 2020 2021 2020
 T 2 ... 2T T 3 3
 2 22 23 22018 22019 22018 22019
 T 3
4.12. Ta có : 1 52020 1
suy ra 5B B 1 B 
 52020 6.52020
 1 3 4 2020
c) Xét 3C 1 ... 
 3 32 33 32019
 1 1 1 1 2020
suy ra 3C C 1 ... 
 3 32 33 32019 32020
 1 1 1 1 2020
 2C 1 ... 
 3 32 33 32019 32020
 1 1 1 1 2020
Xét 6C 3 1 ... 
 3 32 33 32018 32019
 2019 2020 2019 2020 
Suy ra : 6C 2C 3 2019 2020 C 3 2019 2020 : 4
 3 3 3 3 
4.16. Bạn có thể điền như sau :