Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 22: Bất đẳng thức và cực trị hình học - Hình học 7

 Chuyên đề 22. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
A. Kiến thức cần nhớ
 Để chứng minh hai đoạn thẳng hai góc không bằng nhau ta có thể:
1. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối trong một tam giác (h.22.1)
 ABC :
AC AB Bµ Cµ.
Suy ra trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông) thì cạnh đối với góc tù (hoặc 
góc vuông) là cạnh lớn nhất.
2. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối trong hai tam giác có hai 
cặp cạnh bằng nhau (h.22.2)
 ABC và A' B 'C ' có:
 AB A' B '; AC A'C '.
 Khi đó: BC B 'C ' µA µA'
3. Dùng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường 
xiên và hình chiếu
 AH  a, B, M a (h.22.3). Khi đó: 
  AM AH (dấu “=” xảy ra M  H ) 
  AM AB HM HB
4. Dùng bất đẳng thức tam giác (h.22.4)
 ABC :
 b c a b c
Mở rộng: Với ba điểm A, B, C bất kì bao giờ ta cũng có: AB AC CB (dấu " " xảy ra C thuộc 
đoạn thẳng AB).
 Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB thay đổi
Ta phải chứng minh AB a (số a không đổi) và chỉ rõ khi nào dấu " " xảy ra. Khi đó giá trị lớn nhất 
của độ dài AB là bằng a. Ta viết maxAB a. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB thay đổi
Ta phải chứng minh AB b (số b không đổi) và chỉ rõ khi nào dấu " " xảy ra. Khi đó giá trị nhỏ nhất 
của độ dài AB là bằng b. Ta viết minAB b. AD AE
Vậy AB 
 2
Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax 
và By cùng vuông góc với AB. Lấy điểm E Ax, điểm F By sao cho E· OF 90. Đặt ·AOE m. Xác 
định giá trị của m để EF có độ dài ngắn nhất. 
 Giải (h.22.7)
* Tìm cách giải.
Vẽ EH  By. Dễ thấy EF EH AB (không đổi).
Ta cần tìm giá trị của m để dấu " " xảy ra.
Khi đó minEF AB. 
* Trình bày lời giải.
Vẽ EH  By. Theo tính chất đoạn chắn song song ta được 
EH AB và AE BH. 
Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên ta có EF EH, 
do đó EF AB. Dấu " " xảy ra F  H AE BF AOE BOF 
 ·AOE B· OF 45 (vì ·AOE B· OF 90). 
Vậy EF có độ dài ngắn nhất (bằng độ dài AB) khi và chỉ khi ·AOE 45, tức là khi và chỉ khi m 45. 
Ví dụ 4. Cho góc nhọn xOy và một điểm A ở trong góc đó. Xác định điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia 
Oy sao cho OM ON và tổng AM AN nhỏ nhất.
 Giải (h.22.8)
* Tìm cách giải.
Xét ba điểm A, M, N ta có AM AN MN nhưng độ dài MN lại thay 
đổi. Do đó không thể kết luận tổng AM AN có giá trị nhỏ nhất bằng 
độ dài MN được. Ta phải thay thế tổng AM AN bằng tổng của hai 
đoạn thẳng có tổng lớn hơn hoặc bằng độ dài của một đoạn thẳng cố 
định. Muốn vậy ta cần vẽ thêm hình phụ để tạo thêm một điểm E cố 
định.
* Trình bày lời giải.
Trên nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa A vẽ tia Ot sao cho 
·yOt ·AOx. 
Trên tia Ot lấy điểm E sao cho OE OA. Như vậy hai điểm A và E cố định, đoạn thẳng AE có độ dài 
không đổi.
Ta có AOM EON (c.g.c) AM EN. Do đó AM AN EN AN. Gọi F là giao điểm của AE 
với tia Oy. 22.14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB a. Tìm một điểm M sao cho tam giác MAC cân tại M, 
đồng thời tổng MA MB nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
22.15. Cho đường thẳng xy và tam giác ABC có cạnh AB nằm trên một nửa mặt phẳng bờ xy còn đỉnh C di 
động trên xy. Biết AB 13cm, khoảng cách từ A và B đến xy lần lượt bằng 2cm và 7cm.
Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC.
22.16. Một hộp gỗ hình lập phương mỗi cạnh dài 20cm. Đáy ABCD đặt áp sát mặt bàn. Nắp hộp 
A' B 'C ' D ' có thể mở dựng đứng lên trên (h.22.9). Một con kiến ở đỉnh A muốn bò tới đỉnh C ' bằng cách 
vượt qua cạnh A' B ' thì phải bò một quãng đường ngắn nhất là bao nhiêu?
 Hướng dẫn giải
22.1. (h.22.10)
 Nếu Bµ Cµ thì ABC cân, Aµ 60 nên ABC đều. 
Do đó AB BC CA. 
Suy ra AB3 BC3 CA3. Vậy BC3 AB3 CA3. 
 Nếu Bµ Cµ thì Bµ 60 (vì Bµ Cµ 120). 
Do đó Aµ Bµ BC AC. 
Suy ra BC3 AB3 CA3. 
 Nếu Bµ Cµ, cũng chứng minh tương tự, ta được: BC3 AB3 CA3.
22.2. (h.22.11)
Theo định lí Py-ta-go ta có BE2 2AB2 ,CF2 2AC2 mà AB AC nên BE CF. 
Dễ thấy ABF AEC (c.g.c).
Suy ra BF CE. BC
Vậy nếu A nhọn thì AM 
 2
 BC
• Chứng minh mệnh đề: "Nếu AM thì góc A nhọn."
 2
Nếu Aµ 90 thì từ (*) suy ra D· CA 90. 
 BC
 BAC DCA (c.g.c) BC AD hay AM , trái giả thiết.
 2
Nếu Aµ 90 thì từ (*) suy ra D· CA 90. Vậy B· AC D· CA. 
 BAC và DCA có: AB CD; AC chung và B· AC D· CA.
 BC
Do đó BC AD hay BC 2AM tức là AM , trái giả thiết.
 2
 BC
Vậy nếu AM thì góc A nhọn.
 2
22.5. (h.22.14)
Vẽ các đoạn thẳng DA, DB, DC. Ta có A· DB B· DC C· DA 360. 
Suy ra tồn tại ít nhất một góc có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 120 (vì 
nếu cả ba góc này đều lớn hơn 120 thì tổng của chúng lớn hơn 
360, vô lí).
Giả sử góc đó là góc BDC.
Xét BDC có B· DC 120, suy ra
D· BC D· CB 60. 
Do đó tồn tại ít nhất một góc lớn hơn hoặc bằng 30 29. 
Vậy ba điểm cần tìm là B, C, D.
22.6. (h.22.15)
Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên đường 
thẳng a.
Khi đó AH có độ dài không đổi.
 1
Ta có ABC vuông tại A nên AM BC 
 2
hay BC 2AM 2AH (quan hệ giữa đường vuông góc với đường 
xiên)
Do đó BC có độ dài nhỏ nhất là 2AH M  H ABH vuông 
cân.
Ta xác định điểm B như sau: Do đó BD CE BM CM BC (dấu " " xảy ra D và E trùng với M AM  BC). 
Vậy tổng BD CE có giá trị lớn nhất là bằng độ dài BC 
• Tính độ dài BC (h.22.21)
Vẽ AH  BC. 
 1
 AHC vuông tại H có Cµ 30 nên AH AC 52 : 2 26 cm . 
 2
Ta có HC2 AC2 AH 2 522 262 2028 
 HC 45 cm .
Xét ABH vuông tại H, có Bµ 45 nên là tam giác vuông cân 
 BH AH 26cm. Do đó BC 26 45 71 cm . 
Vậy giá trị lớn nhất của tổng BD CE là 71cm khi M là hình chiếu của A trên BC.
22.10. (h.22.22)
Xét ABC có Aµ và AB AC 2a. 
Ta phải chứng minh rằng khi AB AC a 
thì chu vi ABC sẽ nhỏ nhất.
Thật vậy, giả sử AB AC. 
Trên tia AB lấy điểm B', trên tia AC lấy điểm C ' sao cho 
AB' AC ' a. 
Khi đó B' và C ' là các điểm cố định và B'C ' có độ dài không đổi.
Ta có AB AC AB' AC ' 2a. 
Do đó AB AC ' C 'C AB BB' AC ' CC ' BB'. 
Vẽ BH  B'C ' và CK  B'C '. 
 BB'H CC 'H (cạnh huyền, góc nhọn) HB' KC ' do đó HK B'C '. (1) 
Gọi M là giao điểm của BC và B'C '. 
Ta có MH MB; MK MC MH MK MB MC hay HK BC. (2) 
Từ (1) và (2) suy ra BC B'C '. 
Ta có chu vi ABC AB BC CA 2a B'C ' (không đổi).
Dấu " " xảy ra B'  B và C '  C. 
Vậy chu vi ABC nhỏ nhất khi AB AC a, tức là khi ABC cân tại A.
22.11. (h.22.23)
Vẽ AH  xy, tia AH cắt đường thẳng BC tại D. Khi đó BD không đổi.
 CHA CHD (g.c.g) HA HD xy là đường trung trực của AD.
Gọi M là một điểm bất kì trên xy. Dấu " " xảy ra khi M  O với O là giao điểm của d với cạnh BC.
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng MA MB là a 2 khi M  O
* Nhận xét: Ta thấy MA MB AB a, nhưng không có vị trí nào của M để 
dấu " " xảy ra. Vì thế không thể kết luận min MA MB a. 
22.15. (h.22.27) 
 Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất
Chu vi của ABC là CA CB AB. Do AB cố định nên chu vi ABC nhỏ nhất CA CB nhỏ nhất.
Vẽ AH  xy. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD HA. 
Khi đó BD là một đoạn thẳng cố định. Gọi C ' là một 
điểm trên xy.
 AHC ' DHC ' (c.g.c) C ' A C 'D. 
Xét ba điểm BDC’ ta có C 'B C 'D BD (dấu " " xảy 
ra C '  C với C là giao điểm của BD với xy).
Do đó C 'B C 'D nhỏ nhất là bằng BD khi C '  C 
Suy ra khi C là giao điểm của BD với xy thì chu vi ABC 
nhỏ nhất. 
• Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC
Vẽ BK  xy, BI  AH ta tính được IH 7cm; IA 5cm và ID 9cm. 
Áp dụng định lí Py-ta-go vào IAB vuông tại I ta có:
BI 2 AB2 IA2 132 52 144. 
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông IDB, ta được
 BD2 IB2 ID2 144 92 225 BD 15 cm . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC là CA CB AB BD AB 15 13 28 cm . 
22.16. (h.22.28)
Gọi M là điểm trên cạnh A'B' mà con kiến phải qua khi bò từ A đến C ' 
Mở nắp hộp A'B'C 'D ' đứng lên đến vị trí A'B'C1D1. 
Xét ba điểm A, M, C1 ta có MA MC1 AC1. 
Dấu  " " xảy ra
 M trùng với giao điểm O của AC1 với cạnh A'B'. 
 A' AM B'C1M (g.c.g) MA' MB' 
 M là trung điểm của A'B'. 
 2 2 2 2 2
Ta có AC1 AB BC1 20 40 2000 AC1 2000 44,7 cm .