Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 21: Chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm (Đồng quy) - Hình học 7

 Chuyên đề 21. CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY)
A. Kiến thức cần nhớ
Trong các chuyên đề trước ta gặp một số bài toán về chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy.
Phương pháp giải các bài toán này là vận dụng định lí về các đường đồng quy của tam giác:
- Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy;
- Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy;
- Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy;
- Ba đường cao của một tam giác đồng quy.
Nếu ba đường thẳng a, b, c đã cho không phải là các đường chủ yếu của tam giác thì để chứng minh a, b, 
c đồng quy, ta có thể gọi giao điểm của a và b là O rồi chứng minh đường thẳng c đi qua O hay chứng 
minh O nằm trên đường thẳng c.
Một số trường hợp có thể đưa bài toán chứng minh ba đường đồng quy về chứng minh ba điểm thẳng 
hàng.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, góc A tù. Vẽ các đường thẳng m và n lần lượt là đường trung trực của AB và 
AC, cắt BC theo thứ tự tại E và F. Vẽ tia phân giác Ax của góc EAF. Chứng minh rằng các đường thẳng 
m, n và Ax đồng quy
 Giải (h.21.1)
* Tìm cách giải.
Gọi O là giao điểm của m và n. Ta phải chứng minh tia Ax đi qua O. Muốn vậy phải chứng minh 
O· AE O· AF. 
* Trình bày lời giải.
Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng m và n.
Ta có: OB OC OA. 
 AOE BOE (c.c.c). Suy ra µA1 Bµ 1. 
 AOF COF (c.c.c). Suy ra µA2 Cµ 2. 
Mặt khác, Bµ 1 Cµ 2 (vì BOC cân tại O) nên µA1 µA2 
Do đó tia AO là tia phân giác của góc EAF.
Suy ra ba đường thẳng m, n và Ax đồng quy tại O.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho 
AD AE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BE và CD đồng quy
 Giải (h.21.2)
* Tìm cách giải.
Gọi O là giao điểm của BE và CD. Ta phải chứng minh AM đi qua O tức là phải chứng minh ba điểm A, 
O, M thẳng hàng. * Trình bày lời giải.
Tam giác DAB vuông cân tại D µA1 45. 
Tam giác EAC vuông cân tại E µA2 45. 
Ta có B· AD B· AC 45 135 180, suy ra ba điểm D, A, C 
thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta được ba điểm B, A, E thẳng 
hàng.
Xét ABC có AH, BD, CE là ba đường cao nên chúng đồng quy.
* Lưu ý: Trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.
C. Bài tập vận dụng
 Đưa chứng minh đồng quy về chứng minh thẳng hàng
21.1. Trong hình 21.5 có: AB / /CD, AB CD, AM CN. Chứng minh 
rằng ba đường thẳng AC, BD và MN đồng quy. 
21.2. Cho tam giác ABC vuông tại A, Bµ 60. Gọi M là một điểm ở trong tam giác sao cho 
M· BC 40, M· CB 20. Vẽ điểm D và E sao cho đường thẳng BC là đường trung trực của MD và đường 
thẳng AC là đường trung trực của ME. Chứng minh rằng ba đường thẳng BM, AC và DE đồng quy.
21.3. Cho tam giác nhọn ABC và điểm M nằm trong tam giác sao cho ·AMB ·AMC 120. Trên nửa mặt 
phẳng bờ BC không chứa A vẽ các tia Bx và Cy sao cho C· Bx B· Cy 60. 
Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, Bx, Cy đồng quy.
21.4. Hình 21.6 có B· Ax ·ABy 90. Gọi d là đường trung trực của AB. 
Chứng minh rằng các đường thẳng Ax, By và d đồng quy.
21.5. Cho tam giác ABC và một điểm O ở trong tam giác.
21.6. Gọi F và G lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB và AOC.
Chứng minh rằng ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy. 
 Ba đường phân giác đồng quy MOA NOC c.g.c M· OA N· OC. 
Ta có M· OA M· OC 180 (kề bù)
 N· OC M· OC 180 M· ON là góc bẹt.
Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng, dẫn tới ba đường thẳng AC, 
BD và MN đồng quy.
21.2. (h.21.9)
Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BM và AC.
Ta phải chứng minh DE đi qua O.
Xét ABC vuông tại A, Bµ 60 Cµ 30 
Ta có B· OC 180 40 30 110. 
Do đó C· MO 180 110 10 60. 
Điểm C nằm trên đường trung trực của MD và ME nên CD CM CE. 
Ta có CEO CMO (c.c.c) C· EO C· MO 60. 
Xét tam giác CDE cân tại C có
D· CE D· CM E· CM 2 B· CM A· CM 2.A· CB 60. 
Vậy CDE là tam giác đều C· ED 60. 
Vậy C· ED C· EO 60 , hai tia ED và EO trùng nhau dẫn tới ba 
điểm D, O, E thẳng hàng. Do đó ba đường thẳng BM, AC và DE đồng 
quy.
21.3. (h.21.10)
Gọi O là giao điểm của các tia Bx và Cy.
Ta phải chứng minh đường thẳng AM đi qua O. Vẽ 
OH  MB; OK  MC. 
Tam giác BOC là tam giác đều nên B· OC 60. (1) · µ µ µ µ 0
Vì BAC 120 nên dễ thấy A1 A2 A3 A4 60 . 
Xét ADC có AE là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, CE là đường phân giác trong tại đỉnh C nên DE là 
đường phân giác ngoài tại đỉnh D.
Xét ABD có đường thẳng AC là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, đường thẳng xy là đường phân giác 
ngoài tại đỉnh B, đường thẳng DE là đường phân giác trong tại đỉnh D. Do đó ba đường thẳng xy, DE và 
AC đồng quy. 
21.8. (h.21.14) 
Điểm F nằm trên đường trung trực của DM nên FD FM. 
Suy ra FDM cân tại F do đó FB là đường phân giác tại 
đỉnh F của DEF. Chứng minh tương tự ta được EC là 
đường phân giác ngoài tại đỉnh E của DEF.
Xét DEF có hai đường phân giác ngoài cắt nhau tại A nên 
DA là đường phân giác của góc EDF. (1)
Mặt khác, DB  DA nên DB là đường phân giác ngoài tại D.
Điểm B là giao điểm của hai đường phân giác ngoài tại đỉnh 
F và D của DEF nên EB là đường phân giác của góc DEF. (2)
Chứng minh tương tự ta được FC là đường phân giác của góc DFE. (3) 
Từ (1), (2), (3), suy ra AD, BE, CF đồng quy.
* Lưu ý: Nếu bỏ điều kiện nhọn của tam giác ABC thì bài toán vẫn đúng.
21.9. (h.21.15)
Xét ABC vuông tại A, AH  BC nên B· AH A· CB 
(cùng phụ với A· BC). 
Gọi M là giao điểm của AO và CK, gọi N là giao điểm 
của AK và BO.
Vì O là giao điểm của các đường phân giác của ABH 
nên B· AO H· AO. 
Vì K là giao điểm của các đường phân giác của ACH nên A· CK B· CK 
 A· CB B· AH
Xét AMC có M· AC M· CA M· AC M· AC M· AC M· AB B· AC 900. 
 2 2
Suy ra A· MC 900 CM  AO. 
Chứng minh tương tự ta được BN  AK. 
Xét AOK có AD, BO và CK là ba đường cao nên đồng quy. 
21.10. (h.21.16)
Trên tia đối của tia AD lấy điểm K sao cho AK BC. Ta có A· FG F· CE (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc).
 AFG FCE (g.c.g) AG FE. 
 AGE EFB (c.g.c) ·AGE E· FB. 
Ta có ·AGE A· EG 90 E· FB K· EF 90 EK  BF. 
Xét EFG có CE, BF và d1 là ba đường cao do đó ba đường thẳng này đồng quy.
21.12. (h.21.18)
Tam giác ABC vuông tại A, AH  BC nên B· AH A· CB 
(cùng phụ với góc ABC) 
Ta có C· AH A· BC (cùng phụ với A· CB ).
 Xét AFC có AFB là góc ngoài nên 
·AFB F· AC F· CA F· AH B· AH F· AB. 
Suy ra BAF cân tại B do đó đường phân giác của góc B 
cũng là đường trung trực của AF.
Chứng minh tương tự ta được CAE cân tại C do đó 
đường phân giác của góc C cũng là đường trung trực của 
AE.
Ta có d / / AH mà AH  EF nên d  EF. 
Mặt khác, ME MF nên d là đường trung trực của EF.
Xét AEF có các đường phân giác của góc B, góc C cùng với đường thẳng d là ba đường trung trực nên 
chúng đồng quy. 
21.13. (h.21.19)
Ta có C· AD A· CD DAC cân DC DA. (1)
Tam giác ABC vuông tại A A· BC A· CB 90. 
Mặt khác, B· AD C· AD 90 mà A· CB C· AD nên A· BC B· AD. 
Do đó DAB cân DB DA. (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC DB. Vậy D là trung điểm của BC.
Xét ABE vuông tại A có AE2 BE2 AB2 25 16 9 AE 3 cm E là trung điểm của AC.