Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 2: Hai đường thẳng vuông góc - Hình học 7

 Chương I. ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chuyờn đề 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau và trong cỏc gúc tạo thành cú một gúc 
vuụng được gọi là hai đường thẳng vuụng gúc.
Trong hỡnh 2.1 ta cú AB  CD .
2. Cú một và chỉ một đường thẳng a đi qua O và vuụng gúc với đường thẳng a 
cho trước (h.2.2).
3. Đường thẳng vuụng gúc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nú được 
gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Trong hỡnh 2.3, đường thẳng xy là đường trung trực của AB.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho gúc bẹt AOB và tia OM sao cho ãAOM 60 . Vẽ tia ON nằm trong gúc BOM sao cho 
 1
ON  OM . Chứng tỏ rằng BãON ãAOM .
 2
 Giải (h.2.4)
* Tỡm cỏch giải
Muốn so sỏnh hai gúc BON và AOM ta cần tớnh số đo của chỳng. 
Đó biết số đo của gúc AOM nờn chỉ cần tớnh số đo của gúc BON.
* Trỡnh bày lời giải
Hai gúc AOM và BOM kề bự nờn ãAOM BãOM 180
 BãOM 180 60 120 . Vỡ OM  ON nờn Mã ON 90 .
Tia ON nằm trong gúc BOM nờn BãON Mã ON BãOM
 1 1
 BãON 120 90 30 . Vỡ 30 .60 nờn BãON ãAOM .
 2 2
Vớ dụ 2: Cho gúc bẹt AOB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc tia OE, OF sao cho 
ãAOE BãOF 90 . Vẽ tia phõn giỏc OM của gúc EOF. Chứng tỏ rằng OM  AB .
 Giải (h.2.5) KãOD 180 45 135 .
 (hai gúc kề bự)
 KãOB 180 45 135 .
2.2. Cho gúc AOB và tia OC nằm trong gúc đú sao cho ãAOC 4BãOC . Vẽ tia phõn giỏc OM của gúc 
AOC. Tớnh số đo của gúc AOB nếu OM  OB .
 Hướng dẫn giải (h.2.10)
 1
Tia OM là tia phõn giỏc của gúc AOC nờn Mã OC ãAOC mà
 2
ãAOC 4BãOC nờn Mã OC 2BãOC . 
Nếu OM  OB thỡ Mã OB 90.
Ta cú Mã OC BãOC 90 do đú 2BãOC BãOC 90 BãOC 30.
Vậy ãAOC 4.30 120.
2.3. Cho gúc tự AOB, ãAOB m . Vẽ vào trong gúc này cỏc tia OC, OD sao cho OC  OA;OD  OB .
a) Chứng tỏ rằng ãAOD BãOC .
b) Tỡm giỏ trị của m để ãAOD DãOC CãOB .
 Hướng dẫn giải (h.2.11)
a) Ta cú OC  OA nờn ãAOC 90 ; OD  OB nờn BãOD 90.
Tia OD nằm trong gúc AOB nờn ãAOD BãOD ãAOB .
 ãAOD ãAOB BãOD m 90 (1)
Tia OC nằm trong gúc AOB nờn ãAOC BãOC ãAOB 
 BãOC ãAOB ãAOC m 90 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: ãAOD BãOC m 90 .
b) Tia OC nằm giữa hai tia OB và OD. Suy ra BãOC DãOC BãOD 90 .
Nếu BãOC DãOC thỡ DãOC 90 : 2 45 .
Do đú ãAOD DãOC CãOD ãAOB 3.DãOC 3.45 135 m 135 .
 Chứng tỏ hai đường thẳng vuụng gúc
2.4. Trong hỡnh 2.7 cú gúc MON là gúc bẹt, gúc AOC là gúc vuụng. Cỏc tia OM, ON lần lượt là cỏc tia 
phõn giỏc của cỏc gúc AOB và COD. Chứng tỏ rằng OB  OD .
 Hướng dẫn giải (h.2.7)
 ã ả ả ã
Vỡ MON là gúc bẹt nờn O1 O3 AOC 180 (1) b) Tia OM nằm giữa hai tia OB và ON nờn (1).
Mặt khỏc (2).
Từ (1) và (2) suy ra: .
Vậy m 135 .
 Chứng minh một tia là tia phõn giỏc, là tia đối
2.7. Cho gúc AOB cú số đo bằng 120 . Vẽ tia phõn giỏc OM của gúc đú. Trờn nửa mặt phẳng bờ OM cú 
chứa tia OA, vẽ tia ON  OM . Trong gúc AOB vẽ tia OC  OB . Chứng tỏ rằng:
a) Tia OC là tia phõn giỏc của gúc AOM;
b) Tia OA là tia phõn giỏc của gúc CON.
 Hướng dẫn giải (h.2.14)
a) Tia OM là tia phõn giỏc của gúc AOB nờn . 
Ta cú OC  OB BãOC 90.
Tia OM nằm giữa hai tia OB, OC nờn 
 CãOM 90 60 30 .
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB nờn 
 .
Vậy ãAOC CãOM 30 . (1)
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OM nờn từ (1) suy ra tia OC là tia phõn giỏc của gúc AOM.
b) Ta cú OM  ON Mã ON 90 .
Tia OA nằm giữa hai tia ON, OM nờn ãAON ãAOM Mã ON .
Suy ra ãAON Mã ON ãAOM 90 60 30 .
Vậy ãAON ãAOC 30 (2)
Tia OA nằm giữa hai tia ON, OC nờn từ (2) suy ra tia OA là tia phõn giỏc của gúc CON.
2.8. Cho gúc bẹt AOB, tia OC  AB . Vẽ tia OM và ON ở trong gúc BOC sao cho 
 1
BãOM CãON BãOC . Tỡm trong hỡnh vẽ cỏc tia là tia phõn giỏc của một gúc.
 3
 Hướng dẫn giải (h.2.15)
Ta cú OC  AB nờn ãAOC BãOC 90 (1)
Tia OC nằm giữa hai tia OA, OB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia OC là tia phõn giỏc của gúc AOB. 2.11. Cho bốn điểm M, N, P, Q nằm ngoài đường thẳng xy. Biết MN  xy ; PQ  xy và xy là đường 
trung trực của đoạn thẳng NP. Chứng tỏ rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải (h.2.18)
Ta cú MN  xy; NP  xy (vỡ xy là đường trung trực của NP). Qua 
điểm N chỉ vẽ được một đường thẳng vuụng gúc với xy, suy ra ba 
điểm M, N, P thẳng hàng. (1) 
Ta cú NP  xy; PQ  xy . Qua điểm P chỉ vẽ được một đường 
thẳng vuụng gúc với xy, suy ra ba điểm N, P, Q thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra cỏc điểm M, N, P, Q thẳng hàng vỡ chỳng 
cựng thuộc đường thẳng NP.
2.12. Hai gúc gọi là cú cạnh tương ứng vuụng 
gúc nếu đường thẳng chứa mỗi cạnh của gúc 
này tương ứng vuụng gúc với đường thẳng 
chứa một cạnh của gúc kia. 
Xem hỡnh 2.8 (a, b) rồi kể tờn cỏc gúc nhọn 
(hoặc tự) cú cạnh tương ứng vuụng gúc.
 Hướng dẫn giải
Trờn hỡnh 2.8a) cú AH  Ox, AK  Oy nờn cỏc gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc là: gúc HAK và gúc 
xOy; gúc HAt và gúc xOy.
Trờn hỡnh 2.8b) cú AB  AC và AH  BC nờn cỏc gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc là: gúc BAH và 
gúc C; gúc CAH và gúc B.