Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ - Toán 7

 Chuyên đề 2. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA
 SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
 a b
1. Với x = , y = (a,b,m Î Z,m > 0) ta có:
 m m
 a b a + b a b a- b
x + y = + = ;x - y = - = .
 m m m m m m
 a c
2. Với x = ;y = ta có:
 b d
 a c ac a c a.d
x.y = . = ;x : y = : = (với y ¹ 0).
 b d bd b d b.c
3. Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với 
phép cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập 
hợp Z.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính:
a) ; b) ;
 Giải
✓ Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực hiện trong 
ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải. Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng 
cách bỏ ngoặc. Ngoài ra có thể dùng tính chất giao hoán và kết hợp nhằm giải bài toán được nhanh hơn.
✓ Trình bày lời giải.
a) 
b) 
Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính
a) ; b) 
 Giải
✓ Tìm cách giải. Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên ta có thể 
vận dụng tính chất phân phối:
a : m + b : m = (a + b): m
a : m- b : m = (a- b): m
✓ Trình bày lời giải d) 
Mà . Suy ra x = - 340 .
 5 y 1
Ví dụ 4. Tìm số nguyên x, y biết: + =
 x 4 8
 Giải
✓ Tìm cách giải. Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý thì a Î Ư(k), 
 b Î Ư(k).
Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế còn lại là một số nguyên.
✓ Trình bày lời giải.
Vì x;y Î Z Þ 1- 2y là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị:
 1- 2y 1 5 -1 -5
 y 40 8 -40 -8
Từ đó suy ra 
Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:
 5 5 5 6 6 6
 5- + - + -
a) A = 13 19 27 + 101 123 134 ;
 11 11 11 11 11 11
 11- + - + -
 3 19 27 101 123 134
 1 1 1
 - +
b) B = 6 39 51
 1 1 1
 - +
 8 52 68
 Giải
✓ Tìm cách giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể dẫn đến sai 
lầm. Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân 
phối
 để rút gọn.
✓ Trình bày lời giải. Giải
✓ Tìm cách giải. Với điều kiện đề bài, chúng ta không thể tính được giá trị của a, b, c. Do vậy 
 1 1 1
chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và + + . Quan sát kỹ chúng ta thấy 
 a + b b + c c + a
 a b c
phần kết luận + + , mỗi phân số đều có tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng a + b + c . 
 b + c c + a a + b
Do đó chúng ta cộng mỗi phân số với 1, và có lời giải sau:
✓ Trình bày lời giải.
 a b c
Ta có S = + 1+ + 1+ + 1- 3
 b + c c + a a + b
Ví dụ 8. Tìm x, biết:
a) ; b) 
 Giải
✓ Tìm cách giải. Đối với dạng toán này chúng ta chú ý kiến thức sau:
 • và B cùng dấu.
 • và B khác dấu.
✓ Trình bày lời giải
a) và x - 2 cùng dấu.
mà x - 2 0 hoặc hoặc x < 1.
Vậy với x > 2 hoặc x 0
b) 2x - 4 và 9- 3x cùng dấu, nên ta có trường hợp sau:
 • Trường hợp 1: ;
 • Trường hợp 2: loại.
Vậy với 2 < x < 3 thì 
✓ Nhận xét. Ngoài cách giải trên của câu b, chúng ta có thể lập luận theo cách sau: e) .
2.3. Thực hiện các phép tính sau:
a) ;
b) .
2.4. Rút gọn: .
(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
2.5. Tìm x, biết:
 3 7
a) + x = - ; b) ;
 5 13
 x + 5 x + 6 x + 7 x + 8
c) ; d) + = + .
 2015 2014 2013 2012
2.6. Tính:
 1 1 1 1
P = 1+ (1+ 2)+ (1+ 2 + 3)+ (1+ 2 + 3+ 4)+ ...+ (1+ 2 + 3+ ...+ 16)
 2 3 4 16
 1 1 1
2.7. Tìm giá trị nguyên dương của x và y , sao cho: + =
 x y 5
2.8. Tìm số nguyên x, y biết:
 1 1 y x 1 1 x 1 3
a) = + ; b) - = ; c) - = .
 x 6 3 6 y 2 4 y 4
2.9. Tính tổng M = x + y + z , biết:
 19 19 19 7x 7y 7z 133
 + + = + + =
x + y y + z z + x y + z z + x x + y 10
 1 1 1
2.10. Tìm các số hữu tỉ x, y,z thỏa mãn: x + y = ;y + z = ;z + x =
 2 3 6
2.11. Cho biểu thức . Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 7 5
a) A = + + + ...+ + ; b) < A <
 51 52 53 99 100 12 6
2.12. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó tích 3 số bất kì là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 100 số đó là một số dương.
b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Cho 20 số nguyên khác 0: a1,a2 ,a3,...,a20 có các tính chất sau:
+ a1 là số dương.
+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương. d) 
e) 
2.3.
a) 
b) 
2.4. 
2.5. 
a) 
b) 
 - 7
c) 4x - 9 = 0 hoặc 2,5+ = 0
 3
 - 7
suy ra 4x = 9 hoặc x = - 2,5
 3
 9 - 5 - 7 15
x = hoặc x = : =
 4 2 3 14 a) 
vì là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị
 1+ 2y 1 3 -1 -3
 x 6 2 -6 -2
Từ đó suy ra 
b) 
 và y là ước của 6, mà Ư(6)= {1;2;3;6;- 1;- 2;- 3;- 6}
Từ đó ta có bảng sau:
 x - 3 1 2 3 6 -1 -2 -3 -6
 y 6 3 2 1 -6 -3 -2 -1
Từ đó suy ra 
c) 
 và y là ước của 4, mà Ư(4)= {1;2;4;- 1;- 2;- 4} nên ta có bảng giá trị:
 x - 3 1 2 4 -1 -2 -4
 y 4 2 1 -4 -2 -1
Từ đó suy ra 
2.9. Từ đề bài suy ra: 
Từ đề bài, ta có: 
 hay M = 7
2.10. Ta có: b) Theo đề bài ta có trong ba số a2 ;a3;a4 tồn tại ít nhất một số âm.
Giả sử a2 0 nên a3 < 0
Xét a1.a2.ak < 0 với mà 
Vậy tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Ta có:
Mà 
Cũng như vậy: 
Mặt khác. 
Từ các điều kiện (điều phải chứng minh).
2.14. Đặt ;
Ta có 
 (1)
Mặt khác 
 D 1
 < (2)
1010 2
Từ (1) và (2) hay A > B
2.15. Giả sử trong 100 số nguyên dương a1;a2 ;...;a100 thỏa mãn: Không có hai số nào bằng nhau.
Khi đó 
 mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy có ít nhất 2 trong số 100 số nguyên dương đã cho bằng nhau.
2.16. Vì nên