Chuyên đề bồi dưỡng HSG - Chuyên đề 19: Tính chất tia phân giác của một góc. Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Hình học 7

 Chương 
Chuyên đề 19. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG 
PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của 
góc đó (h.19.1).
2. Đảo lại, điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì 
nằm trên tia phân giác của góc đó. 
3. Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm 
này cách đều ba cạnh của tam giác đó (h.19.2).
4. Trong một tam giác, hai đường phân giác của hai góc ngoài và đường phân giác của góc trong không 
kề cùng đi qua một điểm (h.19.3).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax / /BC. Lấy 
điểm O trên tia Ax, điểm M trên AB và điểm N trên AC sao cho ·AMO ·ANO. Chứng minh rằng OMN 
là tam giác cân.
 Giải (h.19.4)
* Tìm cách giải.
Ta có Ax / /BC nên dễ thấy Ax là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC. Vì điểm O 
nằm trên tia phân giác này nên ta vẽ OH  AB, OK  AC để vận dụng tính chất cách đều hai cạnh của 
điểm O. Từ đó dùng phương pháp tam giác bằng nhau để chứng minh OM ON. 
* Trình bày lời giải. Ta có: B· AK K· AC 90 (vì B· AC 90) ; 
B· KA K· AH 90 (vì ·AHK 90). 
Mặt khác, K· AC K· AH nên B· AK B· KA, suy ra BAK cân tại B.
Xét ABH có O là giao điểm của hai đường phân giác của góc A và góc H. Suy ra BO là đường phân 
giác của góc B.
Xét BAK cân tại B có BO là đường phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó BO đi qua 
trung điểm M của AK.
Vậy ba điểm B, O, M thẳng hàng.
C. Bài tập vận dụng
• Tính góc đo, tính độ dài
19.1. Cho tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của đường phân giác góc B với đường phân giác góc ngoài 
tại đỉnh C.
Cho biết ·AKC 65, tính số đo của góc ABC.
19.2. Cho tam giác ABC. Ba đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại O. Cho biết B· OC 150, tính số 
đo của góc EDF.
19.3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau Tại O. Cho biết 
OA 8cm. 
Tính khoảng cách từ O đến ba cạnh của tam giác.
19.4. Cho tam giác ABC, AB 3cm, AC 5cm, BC 6cm. Gọi O là giao điểm các đường phân giác của 
góc B, góc C. Vẽ OH  BC. 
Tính các độ dài HB và HC.
• Chứng minh tia phân giác
19.5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ tam giác OBC vuông tại O sao cho O và A thuộc hai nửa mặt 
phẳng đổi nhau bờ BC.
Chứng minh rằng tia OA là tia phân giác của góc BOC.
19.6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm N nằm giữa M và C. Vẽ 
BH  AN. Chứng minh rằng khi điểm N di động thì tia phân giác của góc BHN luôn đi qua một điểm cố 
định. C· Ax ·ACy x
Suy ra 90 
 2 2
 · ·
 · CAx ACy x x
Xét AKC có AKC 180 180 90 90 
 2 2 2
 x
Vì ·AKC 65 nên 90 65 x 50. 
 2
19.2. (h.19.8)
 Bµ Cµ
Xét BOC có B· OC 180 
 2
 180 B· AC B· AC
 180 90 
 2 2
 B· AC
Mà B· OC 150 nên 90 150 
 2
 B· AC 120 
Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia đối của các tia AB, AC.
 µ µ µ µ
Dễ thấy A1 A2 A3 A4 60. 
Xét ABD có AC là đường phân giác ngoài tại đỉnh A; BO 
là đường phân giác trong không kề. Hai đường phân giác này cắt nhau tại E, suy ra DE là đường phân 
giác góc ngoài tại đỉnh D của ABD
Chứng minh tương tự ta được DF là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh D của ACD. 
Suy ra DE  DF (hai đường phân giác của hai góc kề bù), do đó E· DF 90. 
19.3. (h.19.9)
Vì O là giao điểm các đường phân giác của góc B, góc C nên AO 
là đường phân giác góc A, do đó
O· AB O· AC 45. 
Vẽ OH  AC thì HAO vuông cân tại H, suy ra AH OH. 
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
 2
AH 2 OH 2 OA2 2OH 2 8 8 OH 2 4 OH 2. 
Vậy khoảng cách từ O tới mỗi cạnh của tam giác là 2cm. 
19.4. (h.19.10) 
Vẽ thêm OK  AB; OI  AC. 
 AOK AOI (cạnh huyền, góc nhọn) AK AI. 
Chứng minh tương tự ta được BK BH; CI CH. a) Xét ABC có hai đường phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O. Suy ra tia AO là đường phân giác thứ 
ba.
Từ đó ta được B· AO C· AO C· AD 
 B· AE 60. 
 BAE BAO g.c.g BE BO.
 CAD CAO g.c.g CD CO.
Do đó BDE BDO (c.g.c)
 DE DO. (1)
 CED CEO (c.g.c) DE OE. (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD OE DE nên ODE đều.
b) Ta có B· DE B· DO (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
C· ED C· EO (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
Xét ODE có hai đường phân giác của góc D, góc E cắt nhau tại A, suy ra OA là đường phân giác của 
góc DOE.
19.9. (h.19.15)
• Tìm cách giải
Giả sử đã vẽ được MN / / BC sao cho BM CN BC. 
Lấy điểm D BC sao cho BD BM, khi đó CD CN. 
 µ µ µ µ µ µ
 BMD cân tại B M1 D1 mà M 2 D1 (cặp góc so le trong) nên M1 M 2 
 µ µ
Chứng minh tương tự ta được N1 N 2 . 
Xét AMN có D là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh M và N, suy ra AD là đường 
phân giác của góc A.
• Cách vẽ MN
- Vẽ đường phân giác AD của ABC
- Trên cạnh BA lấy điểm M sao cho BM BD; 
- Từ M vẽ MN / / BC N AC . 
Khi đó MN là đoạn thẳng cần vẽ.
• Chứng minh
 µ µ µ µ
Theo cách vẽ ta có MN / / BC, do đó M 2 D1 (so le trong) mà M1 D1 (hai góc ở đáy của tam giác 
 µ µ
cân) nên M 2 M1 
Xét AMN có D là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại đỉnh M nên 
 µ µ
ND là đường phân giác ngoài tại đỉnh N,do đó N1 N 2 . Xét ADK có AC là đường phân giác của góc trong tại đỉnh A.
Mặt khác, AB  AC nên AB là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A.
Xét ADK có B là giao điểm của một đường phân giác góc trong và đường phân giác góc ngoài không 
kề nên tia KB là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh K.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Xét ADK có O là giao điểm của hai đường phân giác nên KO là đường phân giác của góc K.
Suy ra KO  KB (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù). (1)
Chứng minh tương tự ta được KO  KC . (2) 
Từ (1) và (2), suy ra ba điểm B, K, C thẳng hàng. 
19.13. (H.19.19)
Giả sử góc xOy có đỉnh O nằm ngoài tờ giấy, còn lại một 
phần của hai cạnh nằm trong tờ giấy. Ta vẽ đường thẳng 
chứa tia phân giác của góc xOy như sau:
- Lấy A Mx và B Ny; 
- Vẽ các tia phân giác của góc MAB và NBA, chúng cắt 
nhau tại I;
- Vẽ các tia phân giác của góc BAx và ABy, chúng cắt nhau 
tại K;
- Vẽ đường thẳng IK, đường thẳng này chứa tia phân giác của góc xOy. Thật vậy, xét OAB có I là giao 
điểm của các đường phân giác của góc A, góc B. còn 
K là giao điểm của các đường phân giác ngoài tại đỉnh 
A, đỉnh B. Do đó I, K cùng nằm trên đường phân giác 
của góc xOy, tức là đường thẳng IK chứa tia phân giác 
cúa góc xOy.
19.14. (h.19.20)
Điểm O là giao điểm hai đường phân giác của góc B 
và góc C nên AO là đường phân giác của góc A. Vẽ tia 
At là tia đối của tia AB.